? ? 解密數(shù)學(xué)思維之道系列。
? ? 我思故我在，我心生萬法。
? ? 不求大道出迷途，縱負(fù)賢才豈丈夫。
? ? 思維為王，維解密數(shù)學(xué)思維之道，悟道數(shù)學(xué)思想方法。啟迪思維，開慧增智，大徹大悟，圓融無礙。
? ? 高屋建瓴，上(形而上)下(形而下)貫通，闡前人之所未發(fā)，述前人之所未言，醍醐灌頂，大泄天機(jī)，從廣度和深度兩方面系統(tǒng)地深入透徹地揭開數(shù)學(xué)思維之謎。
? ? 數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)的靈魂，這個(gè)系列闡述數(shù)學(xué)思維之道，不講數(shù)學(xué)知識。數(shù)學(xué)課本和很多參考書上的數(shù)學(xué)知識太多了，并且知識容易學(xué)，很多可自學(xué)，而領(lǐng)悟無形的數(shù)學(xué)思維，相對困難一些。
? ? 有很多關(guān)于數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)思想方法論的書籍，包括數(shù)學(xué)家波利亞廣受好評的<怎樣解題>，國內(nèi)很多學(xué)者也寫過這方面的書籍，很多是換湯不換藥，沒有新意沒有發(fā)展，幾乎都不通透不系統(tǒng)(不完整)，看幾本這些書籍的目錄就知道了，不需要看內(nèi)容，也沒時(shí)間去看。當(dāng)然這些書籍作為初級的數(shù)學(xué)思維和思想方法參考書籍還是不錯(cuò)的，但向上一步，系統(tǒng)地透徹通透地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思維之道，看這些書籍就有些勉強(qiáng)了。
作為數(shù)學(xué)思維領(lǐng)域的業(yè)余人士，雖然幾十年不玩數(shù)學(xué)，但看到我們的數(shù)學(xué)教育一直是偏重?cái)?shù)學(xué)知識的輸灌，鮮有真正的數(shù)學(xué)思維熏陶；另一個(gè)問題是整個(gè)數(shù)學(xué)思維體系不系統(tǒng)不通透，這一點(diǎn)從知名和不知名的數(shù)學(xué)教授們寫的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)方法論書籍&文章中可以看出來，幾乎都是盲人摸象或隔靴搔癢，半生不熟。忍不住班門弄斧，把自己在初高中(80年代)自學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)對數(shù)學(xué)思維的一些感悟作為主體內(nèi)容，遂有本系列文章。
? ? 本系列先前在iteye網(wǎng)站wanshi.iteye.com上，本系列原鏈接，現(xiàn)在搬遷到簡書。
? ? 如何閱讀：從第一篇也就是本篇開始按順序讀，反復(fù)多讀幾遍。
? ? 數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思維能力在各行各業(yè)日常生活中都需要，都有滲透，數(shù)學(xué)的重要性不用多談，數(shù)學(xué)可以給其他學(xué)科和各行各業(yè)賦能，學(xué)好了數(shù)學(xué)可以反哺其他領(lǐng)域，例如在理工科科研領(lǐng)域，可以運(yùn)用各種數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思維，即使不在科研領(lǐng)域，不需要使用高深的數(shù)學(xué)知識，我們從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中鍛煉熏陶出來的嚴(yán)謹(jǐn)/靈活/系統(tǒng)/批判的數(shù)學(xué)思維也有助于思考日常生活中的問題。數(shù)學(xué)是鍛煉思維的體操，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，如果不止于滿足日常生活中的買菜購物等活動(dòng)，除了學(xué)習(xí)基本的知識之外，更重要的是訓(xùn)練培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維能力，用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)去思考問題和解決問題的能力。數(shù)學(xué)思維能力鍛煉出來了，不限于數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域，在各行各業(yè)中從事工作特別是科研工作都能受益。
? ? 首先要明白什么是思維、思想、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法。
? ? 思維是一種精神活動(dòng),即在表象、概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析、綜合、比較、歸納、聯(lián)想、類比、判斷、猜測、推理等認(rèn)識活動(dòng)的過程。思維以感知為基礎(chǔ)又超越感知的界限。通常意義上的思維，涉及所有的認(rèn)知或智力活動(dòng)。它探索與發(fā)現(xiàn)事物的內(nèi)部本質(zhì)聯(lián)系和規(guī)律性，是認(rèn)識過程的高級階段。更詳細(xì)的介紹參見思維-百度百科，思維方法參見思維方法-百度百科，這兩個(gè)百科一定要看，如果想系統(tǒng)地了解思維方面的知識，那就要看思維學(xué)的書籍。
? ? 數(shù)學(xué)思維也就是人們通常所指的數(shù)學(xué)思維能力，即能夠用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)去思考問題和解決問題的能力，它是一種能力而不是知識，思維能力主要是指：會(huì)觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、猜想、分析、綜合、抽象和概括；會(huì)用歸納、演繹和類比進(jìn)行推理；會(huì)合乎邏輯地、準(zhǔn)確地闡述自己的思想和觀點(diǎn)；能運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、思想和方法，辨明數(shù)學(xué)關(guān)系，形成良好的思維品質(zhì)。更詳細(xì)的講述參見百度百科。
? ? 思想一般也稱“觀念(理念)或主義”，是一種客觀存在反映在人的意識中經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的具有系統(tǒng)性、理論性、概括性的認(rèn)知結(jié)果。掌握某種思想后，思想可以反作用于思維，這個(gè)反作用可能是促進(jìn)也可能是阻礙思維：我們就可以把它作為工具，在后續(xù)的思考過程中重用，提高思考的效率，但并不保證正確性，因?yàn)榭赡苁褂玫氖清e(cuò)誤的思想，或不適用于問題場景的思想。
? ? 思維和思想的聯(lián)系與區(qū)別，思想是由思維產(chǎn)生的，思想是思維的結(jié)果和產(chǎn)物，思維是思考的過程，思想是思考后的結(jié)果，思想產(chǎn)生之后，它又會(huì)(反)作用或影響后面的思維，就像我們發(fā)明了生產(chǎn)工具之后，這些工具會(huì)影響我們的生產(chǎn)和生產(chǎn)過程。
? ? 對思維方式和思想方法的聯(lián)系與區(qū)別，幾乎所有思維和思想書籍、很多人都避而不講，或講不清楚，一團(tuán)漿糊，大多數(shù)人經(jīng)常張冠李戴，把思想當(dāng)做思維，例如互聯(lián)網(wǎng)思維，其實(shí)應(yīng)該是互聯(lián)網(wǎng)思想。這里給出本人的理解。在思維過程中，我們會(huì)采用一些思維方式進(jìn)行思考，例如聯(lián)想和類比，還會(huì)運(yùn)用一些思想方法，例如轉(zhuǎn)化、分類討論。在思維過程中，思維方式與思想方法在本質(zhì)上大體是形式與內(nèi)容的關(guān)系，思維形式與思維內(nèi)容。形式與內(nèi)容是哲學(xué)范疇中的一對矛盾關(guān)系，它們相互聯(lián)系相互影響。形式是外在的，內(nèi)容是內(nèi)在的。例如一個(gè)故事，它的內(nèi)容可以通過多種外在形式表現(xiàn)出來，例如用小說(書籍)、電影(視頻)等。更準(zhǔn)確地說，思維方式?jīng)Q定思維的形式，也就是”怎么想"，例如是聯(lián)想，還是類比，還是逆向思維，或其他思維方式；思想方法決定或影響思維的內(nèi)容，決定想的內(nèi)容，決定”想什么內(nèi)容，對內(nèi)容做些什么操作”。
? ? 有很多種形式的思維方式，也有很多種類的思想(觀念)。思維方式描述“怎么想”，也就是描述思考的外在形式風(fēng)格，它決定思維的大體方向和策略，我們注重思維靈活性和方式的多樣性，而各種思想描述的是應(yīng)用它(思想)來思考時(shí)它的內(nèi)在運(yùn)作模式和內(nèi)容，我們注重思想的先進(jìn)性、思想內(nèi)容和使用的正確性。也可以這樣理解，思維是一個(gè)大的過程框架，這個(gè)框架中可以嵌套和組合各種思維方式(小框架)，在這些小框架中，用各種數(shù)學(xué)思想來做填充內(nèi)容，來指導(dǎo)思維活動(dòng)。
? ? 思維方式就是思考(想)的方式，它決定了我們”怎么想”，例如當(dāng)我們運(yùn)用聯(lián)想思維、類比思維、逆向思維中的其中一種時(shí)，我們的思維方式明顯是不一樣的。而思想方法主要決定或影響我們”想什么”，決定或影響我們想的內(nèi)容或內(nèi)容取向以及對內(nèi)容的各種操作和變換，”想什么內(nèi)容，對內(nèi)容做些什么操作”。例如我們看到落葉，可以觸發(fā)我們的聯(lián)想思維，也可以用逆向思維或綜合運(yùn)用多種思維方式。而想的內(nèi)容主要是由思想決定的，一個(gè)悲觀思想的人和一個(gè)樂觀思想的人看到落葉，假設(shè)都是觸發(fā)他們倆的聯(lián)想思維，也就是他們的思維形式是一樣的，都是聯(lián)想，相同的”怎么想”，但他們想到的內(nèi)容(”想什么”)可能是不一樣的，悲觀思想的人想到的可能是惆悵或萬物凋零肅殺，樂觀思想的人想到的是葉落歸根，回到大地母親的懷抱。再比如，解數(shù)學(xué)題時(shí)運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?amp;變換，也就是對內(nèi)容進(jìn)行變形&變換的操作。
? 數(shù)學(xué)思想是指對數(shù)學(xué)知識和方法形成的規(guī)律性的理性認(rèn)識，是人們在認(rèn)識、學(xué) 習(xí) 、應(yīng)用數(shù)學(xué)中總結(jié) 、提煉 、歸納和概括出來的思想精華，是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)后產(chǎn)生的結(jié)果，是對數(shù)學(xué)知識發(fā)生過程 的升華，是數(shù)學(xué)思維的結(jié) 晶。數(shù)學(xué)思想直接或間接支配著數(shù)學(xué)活動(dòng) ，是數(shù)學(xué)方法的靈魂，是解決數(shù)學(xué)問題的根本策略，是把知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁。通過數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)的能力才會(huì)有一個(gè)大幅度的提高。掌握數(shù)學(xué)思想，就是掌握數(shù)學(xué)的精髓。
? 數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的外在表現(xiàn)形式，是數(shù)學(xué)思想的具體化，是人們?yōu)榻鉀Q數(shù)學(xué)問題而采用的手 段 、途徑和行為方式 中所包含的可操作的規(guī)律或模式，例如配方法、待定系數(shù)法。數(shù)學(xué)方法應(yīng)以數(shù)學(xué)思想為指南。
? 在本系列中，把數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)思想方法。
? 還有一點(diǎn)要加以區(qū)別，就是數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思維能力是不同的，它們的層次不一樣，數(shù)學(xué)知識是魚，數(shù)學(xué)思維能力是漁。魚和漁都要有，兩者要兼得。學(xué)數(shù)學(xué)要厚積薄發(fā)，厚積就是知識要豐富，大多數(shù)知識學(xué)起來不難，花時(shí)間而已，但這樣還不夠，還要注意薄發(fā)，也就是在學(xué)習(xí)知識和解決問題等實(shí)踐中要提煉出其中的精髓和關(guān)鍵核心：總結(jié)領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，掌握各種思維方法的運(yùn)用，鍛煉思維能力。
? 本系列主要講述在數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)下如何進(jìn)行數(shù)學(xué)思維，不是講數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的，但在講述過程中會(huì)用到一些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，閱讀者要事先掌握基礎(chǔ)知識。
? 數(shù)學(xué)思維主要是關(guān)于”怎么想(怎么思考)”和”想什么(思考什么)”。很多覺得數(shù)學(xué)難學(xué)的人，其實(shí)他們所謂的難，大多是因?yàn)椴恢涝趺聪牒筒恢老胧裁?，也就是難在思維而不是覺得數(shù)學(xué)知識難學(xué)，當(dāng)然有些知識也比較難學(xué)，但在初高中，幾乎沒有難學(xué)的數(shù)學(xué)知識。很多時(shí)候，一道數(shù)學(xué)難題，老師一講或自己看解題方法，方法中所用的知識都會(huì)，但就是想不出來這個(gè)解題方法。
? 要解決數(shù)學(xué)思維中"怎么想"和"想什么"這兩大問題，很顯然要涉及到思維學(xué)、數(shù)學(xué)思想方法、思維策略和解題策略、心理學(xué)、認(rèn)知學(xué)。巧婦難為無米之炊，不能空想，所以也涉及到數(shù)學(xué)知識體系和知識結(jié)構(gòu)?？茖W(xué)的科學(xué)是哲學(xué)，如果進(jìn)一步往高層研究，也就是向形而上的方向繼續(xù)升華，就涉及到哲學(xué)，特別是辯證法。綜合起來，整個(gè)數(shù)學(xué)思維理論體系也就自然而然包括這些涉及的內(nèi)容。
? 很多人覺得數(shù)學(xué)難，到底難在什么地方？初高中數(shù)學(xué)，大多數(shù)學(xué)生幾乎都可聽懂、學(xué)會(huì)大部分知識，也就是掌握知識通常并不難，主要難在如何思維，不知道如何思考問題，不同意。很多較難的題，自己不會(huì)做，一看答案或老師一講，發(fā)現(xiàn)用的都是已掌握的數(shù)學(xué)知識，所以不是沒學(xué)好知識，而是思維能力有問題，好比擁有很多食材(知識)卻不會(huì)做菜，不知道如何思考問題，不知道思考什么，想不起來學(xué)過的知識，所以一聽就懂一考就糊。當(dāng)然有時(shí)題目做不出來也可能是知識的原因，有些知識沒學(xué)過或不熟練，知識結(jié)構(gòu)不合理或知識組織混亂無序，到用的時(shí)候巧婦難為無米之炊，所以前面講過魚和漁要兼得。
? 碰到問題，開始階段如何破題，如何找到解題突破口走出解題的第一步，思路是怎樣的，如何形成解題思路？沒有鍛煉好思維能力，幾乎是狗咬刺猬-無從下口，干著急不知道變通，束手無策。
? 了解思維能力的重要性之后，再來探討為何很多學(xué)生存在學(xué)習(xí)障礙和解題思維障礙？為何思維能力不行？
? 原因是多方面的，部分原因肯定在學(xué)生，但這里拋開學(xué)生個(gè)人的因素，看看其他方面的原因：數(shù)學(xué)教材、師資力量和課堂教學(xué)。
? 初高中數(shù)學(xué)教材幾乎都是知識，沒有數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)容，真正透徹悟道數(shù)學(xué)思維的老師太少，課堂教學(xué)能啟迪數(shù)學(xué)思維的不多，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力是一句空話，落地效果差。
? 我們要認(rèn)識到掌握知識和培養(yǎng)能力是兩個(gè)不同的方面，用我們熟知的陰陽來類比，知識屬陽，相對來說，它是可見實(shí)在的，能力屬陰，在大腦中，相對來說是無形的，帶有靈性的特質(zhì)。解決問題除了要知識，還要靠能力。知識大多是成熟的，學(xué)校和培訓(xùn)班主要是教知識，并且有較多相關(guān)的書籍可以系統(tǒng)地自學(xué)，也很好傳授，掌握知識相對容易的多，而能力難以傳授，學(xué)校和培訓(xùn)班不重視能力的培養(yǎng)，即便想培養(yǎng)能力，但由于多種原因， 也心有余而力不足，也很少有書籍講解如何培養(yǎng)能力，即使有也是比較空泛和概括性的，需要自己多思考總結(jié)才能有提高。上述問題的原因就在于知識和能力的非均衡發(fā)展，將知識轉(zhuǎn)化為解題能力上出了問題，沒有掌握深度思考問題的思維和思想方法論。并不是掌握的知識多就意味著解題能力強(qiáng)。給你一堆上好的食材，你能把它們變成一桌美味？對大多數(shù)人來說是不能，需要有掌握廚藝的人利用好這些食材，發(fā)揮出它們的價(jià)值。與此類似，掌握的知識再多，不會(huì)運(yùn)用或不知道要運(yùn)用哪些就是解題能力低下。將數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化成解題能力需要有思維和數(shù)學(xué)思想方法來做指導(dǎo)。數(shù)學(xué)思想方法是比配方法、換元法這些方法層次更高的。數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)我們的思維，在它的指導(dǎo)下探索解題突破口，在問題和知識之間穿針引線，形成解題思路。所以說思維能力比知識更重要，至少同等重要。
? 但在現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)教育中，由于真正領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思維的老師極其稀少，整個(gè)數(shù)學(xué)教育在熏陶鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方面幾十年來一直是心有余而力不足，即使是后來所謂的素質(zhì)教育也是如此，誤人子弟。這也是文章標(biāo)題所講的“錯(cuò)用心”，用錯(cuò)了心，我們接受的是錯(cuò)誤的不到位的數(shù)學(xué)教育。
? 本人在高中階段主要靠自學(xué)數(shù)學(xué)，物理也是，也不做老師的作業(yè)，太簡單，幾乎把初等數(shù)學(xué)玩爛了，可以說融會(huì)貫通，悟了數(shù)學(xué)思維之道解題之道。畢業(yè)后曾在某研究所工作，后來改行軟件行業(yè)，曾先后在中興、華為、阿里、大疆工作，做過技術(shù)專家和技術(shù)總監(jiān)。
? 本來想低調(diào)，但看到很多學(xué)生和家長被線上線下的機(jī)構(gòu)和大多數(shù)所謂老師們忽悠，不忍心，創(chuàng)作了數(shù)學(xué)思想方法揭秘系列，期望能正本清源，撥云見日，撥亂反正，讓一些對數(shù)學(xué)感興趣的人能真正明白數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)研究的真諦，這個(gè)系列的內(nèi)容絕大多數(shù)是我在高中階段就已經(jīng)領(lǐng)悟的，也是多年前就想闡述的。學(xué)校以及線上(網(wǎng)上)和線下的各類培訓(xùn)機(jī)構(gòu)，無論是日常教學(xué)、奧數(shù)競賽培訓(xùn)還是數(shù)學(xué)思維培訓(xùn)，都偏重教知識和近乎直接告訴解題方法，而知識和解題方法對大多數(shù)學(xué)生來說是容易掌握和理解的，難點(diǎn)在解題方法是怎么想出來的，探索解題方法的正確數(shù)學(xué)思維過程是怎樣的，把探索解題方法的思維活動(dòng)所思所想講出來，這才是最應(yīng)該傳授給學(xué)生的。對想培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的學(xué)生，授人以漁(思維之道)才是本，而不是授人以魚(數(shù)學(xué)知識和解題方法)這種末，當(dāng)然我們應(yīng)該本和末都要。但現(xiàn)實(shí)情況是本末倒置，偏重末，都不重視數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)思維的教學(xué)和訓(xùn)練，不注重講述探索解題方法的思維過程，沒有掌握這些思想方法，對有難度的數(shù)學(xué)題，難以探索出解題方法，不注重探索解題方法的思維過程，學(xué)生錯(cuò)失熏陶數(shù)學(xué)思維的機(jī)會(huì)，失去了通過解題來鍛煉數(shù)學(xué)思維的價(jià)值。有的即使傳授數(shù)學(xué)思想方法，但也大多是掛羊頭賣狗肉，對數(shù)學(xué)思想方法一知半解，小學(xué)階段還可以找他們補(bǔ)補(bǔ)基礎(chǔ)知識。初中學(xué)生，掌握基礎(chǔ)知識后，要逐步轉(zhuǎn)向自學(xué)，購買好的數(shù)學(xué)書籍自學(xué)，特別是數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟。也不是博士教授或清華北大畢業(yè)的老師教就厲害，悟道數(shù)學(xué)思想方法的很少，博士教授大多數(shù)在這方面沒悟道，所以不要迷信他們能幫你悟道數(shù)學(xué)，好的數(shù)學(xué)思想方法的書籍也較少，大多數(shù)書籍比較空洞膚淺，假傳萬卷書，真?zhèn)饕痪湓?，悟道的鳳毛麟角，真能透徹領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法并能在解題實(shí)踐中靈活運(yùn)用的人和書不多。另外數(shù)學(xué)考高分只是數(shù)學(xué)還行的必要條件，真的數(shù)學(xué)高人還要悟道數(shù)學(xué)思想方法，這個(gè)才是充要條件，必然考高分。此外只是數(shù)學(xué)好，但在大學(xué)本科大多數(shù)其它理工科課程還要依賴?yán)蠋熤v課，還要專心花較多時(shí)間學(xué)的是偽數(shù)學(xué)高人，這點(diǎn)高效自學(xué)能力都沒有能算數(shù)學(xué)好？會(huì)自學(xué)的另一個(gè)特點(diǎn)是要知道這領(lǐng)域的知識體系是怎樣的，有哪些經(jīng)典的書籍，能識別書籍的好壞和是否適合自己，垃圾書有很多。
本系列偏重講數(shù)學(xué)思想方法和它在解題中的具體運(yùn)用。數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)知識的精髓，是將知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，大海航行靠舵手，數(shù)學(xué)思想方法指引解題方向和解題思路，也是探索解題突破口的敲門磚和金剛鉆。所謂數(shù)學(xué)思想，就是對數(shù)學(xué)知識和方法的本質(zhì)認(rèn)識，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識。所謂數(shù)學(xué)方法，就是解決數(shù)學(xué)問題的根本程序，是數(shù)學(xué)思想的具體反映。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，是道，是數(shù)學(xué)中的思維之道，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)的行為。運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題的過程就是感性認(rèn)識不斷積累的過程，當(dāng)這種量的積累達(dá)到一定程序時(shí)就產(chǎn)生了質(zhì)的飛躍，從而上升為數(shù)學(xué)思想。若把數(shù)學(xué)知識看作一幅構(gòu)思巧妙的藍(lán)圖而建筑起來的一座宏偉大廈，那么數(shù)學(xué)方法相當(dāng)于建筑施工的手段，而這張藍(lán)圖就相當(dāng)于數(shù)學(xué)思想。注：這段話大多數(shù)引用自勤學(xué)教育網(wǎng)，講的不錯(cuò)。
? ? 有的書上是將數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法分開講，認(rèn)為是兩個(gè)概念，也有的將它們合在一起。在本系列中將兩者合在一起，統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)思想可以理解為一種高層次的數(shù)學(xué)方法，例如聯(lián)想、類比、歸納、轉(zhuǎn)化就屬于數(shù)學(xué)思想，和通常的數(shù)學(xué)方法在不同的層次而已，在本系列中我們重點(diǎn)講這些思想而不是講諸如平方法、換元法、消元法這些低層次的數(shù)學(xué)方法。如果再細(xì)分，可分為四層，分別對應(yīng)數(shù)學(xué)方法的道、法、術(shù)、器。
? ? 本人原創(chuàng)'數(shù)學(xué)思想方法揭秘'系列文章真正揭開數(shù)學(xué)家的思維秘密，啟迪學(xué)生數(shù)學(xué)思想。老師和培訓(xùn)機(jī)構(gòu)偏重知識的輸貫，教的主要是知識，不注重思想方法的教學(xué)和思維訓(xùn)練，不注重講解探索解題突破口和醞釀解題思路的幕后思維過程，而這個(gè)思維過程思維活動(dòng)才是學(xué)生真正要掌握的，更進(jìn)一步，這個(gè)思維過程思維活動(dòng)，要有正確的思想方法論來作思維指導(dǎo)，這樣才能高效探索出解題突破口，而這些在現(xiàn)實(shí)的教學(xué)中卻不受重視或即使有也執(zhí)行的不好，在高中階段，學(xué)校還沒有一本含有數(shù)學(xué)思想方法的教材，而是主要靠老師在講題過程中滲透一點(diǎn)點(diǎn)，遑論滲透的一點(diǎn)點(diǎn)還不一定講的到位。如果想悟道數(shù)學(xué)思想方法，就把這個(gè)系列文章多讀幾遍。
? ? 數(shù)學(xué)解題，特別是有難度的題，很多時(shí)候即使你掌握的知識再多也感覺束手無策，無從下手。前面說過數(shù)學(xué)思想方法是將知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，是尋找解題突破口的敲門磚和金剛鉆。巧婦難為無米之炊，現(xiàn)實(shí)情況是我們不缺米和食材，中等智力的學(xué)生在學(xué)校高強(qiáng)度刷題的鍛煉下，基礎(chǔ)知識應(yīng)該說沒有問題，缺的是能把米和食材變成一桌好飯菜的巧手，數(shù)學(xué)思想方法就是這樣的巧手和廚藝。數(shù)學(xué)思想不是萬能的，只有數(shù)學(xué)思想但沒有足夠的數(shù)學(xué)知識就會(huì)心有余而力不足，所以我們要平衡發(fā)展數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)知識，兩者相互配合才能具有優(yōu)秀的解題能力。
? 知識是死的，用將帥的關(guān)系來類比，知識是將是人力資源，而思想是帥和帥掌握的兵法，知識要有思想方法這個(gè)帥來調(diào)動(dòng)它們，指揮它們，組織調(diào)度它們，否則空有一身武藝卻找不到北(找不到解題突破口，不能開局，沒有好的轉(zhuǎn)化橋梁，知識再多也不能變現(xiàn)成能力，只能歇菜)或無章法地空耗精力，英雄無用武之地。思想是靈魂，是智慧，是解題方法的母親，不知母焉知子，不知母的結(jié)果就是難產(chǎn)，對難題找不到突破口。我們幾十年的數(shù)學(xué)教育一直是在誤人子弟，有的也講數(shù)學(xué)思想方法，但太膚淺，也不系統(tǒng)?？窟@些學(xué)校、機(jī)構(gòu)、老師有效果，但數(shù)學(xué)思維上不了層次。悟道數(shù)學(xué)思維的老師非常少，即便是所謂奧數(shù)金牌教練，他們在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域浸淫多年，絕大多數(shù)只能算”無它，唯手熟爾”，很難說他們對數(shù)學(xué)思維的領(lǐng)悟有多深。
對掌握基礎(chǔ)知識的學(xué)生，建議初高中數(shù)學(xué)，部分時(shí)間要用好書自學(xué)。
? 缺少數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)思維能力的教育，即便是理工科博士，也不過學(xué)的數(shù)學(xué)知識多一些，在數(shù)學(xué)思維能力上并不比高中生強(qiáng)多少，可能還不如一些高中生。
? 看到數(shù)學(xué)教育的亂象，不忍心，創(chuàng)作了數(shù)學(xué)思想方法揭秘系列文章，站出來告訴大家數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的真相，消除數(shù)學(xué)難學(xué)的天大誤會(huì)，揭開數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的真諦，悟數(shù)學(xué)思想之道，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)靈活批判全面的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。思維方法、思想方法也可以理解成一種思維習(xí)慣，一旦養(yǎng)成，終身受益，初中懂了，高中來乃至工作中也能用，只是具體使用的知識可能有不同，帥沒變，變的是將(不同的知識)，知識容易遺忘，而思想一輩子都難忘記。思維方法、思想方法和知識都要掌握好，不能偏廢，而實(shí)際情況是一直偏重知識的學(xué)習(xí)，不只是數(shù)學(xué)教育，小初高乃至大學(xué)的整個(gè)教育都是偏知識輸灌型而不是思維智慧型教育，思維型教育不是不學(xué)知識，而是要知識與思維能力兼得。如果對部分學(xué)生進(jìn)行思維智慧型教育，中國這多學(xué)生，培養(yǎng)出眾多錢學(xué)森式的人才真不難。但由于知識輸灌型，把一些天賦較高的學(xué)生糟蹋了，思維能力沒鍛煉好，思維不開竅，不會(huì)自學(xué)，這就是誤人子弟。
? 給數(shù)學(xué)有興趣往高層次發(fā)展的做個(gè)思想啟蒙，靜下心來反復(fù)多讀幾遍再去看其他數(shù)學(xué)思想方法的書籍就容易多了。
? 發(fā)前人之所未發(fā)，見前人之所未見，文章要有新意，要有創(chuàng)新。本系列融匯辯證法和中國傳統(tǒng)文化，對數(shù)學(xué)思維之道作了透徹的闡述，雖然很早就有前人論述過辯證法和數(shù)學(xué)的關(guān)系，但對辯證法在數(shù)學(xué)思維中的運(yùn)用，幾乎沒有得到透徹的闡述。此外提出和引入了一些新的數(shù)學(xué)思想方法如關(guān)系思想、矛盾分析法、化學(xué)反應(yīng)思想等。對如何破解幾何難題也做了深入的討論。本系列對于數(shù)學(xué)解題的講解，偏重于講述大腦中的思維過程，講述如何運(yùn)用數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)思想方法來指導(dǎo)解題思維過程，來探索解題突破口。思維過程是學(xué)生最最需要掌握的，但恰好也是我們在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中做的最不好的，也是最難的，最欠缺的，思維過程和其中的思想方法是靈動(dòng)的，不容易用公式化規(guī)范化的語言來描述。
? ? 這幾篇文章較透徹地闡釋了辯證法(聯(lián)系觀&關(guān)系思想、矛盾觀、運(yùn)動(dòng)發(fā)展觀關(guān)系思想、矛盾觀、整體觀、運(yùn)動(dòng)發(fā)展觀等)在數(shù)學(xué)解題中的巨大指導(dǎo)作用，用具體的數(shù)學(xué)題讓學(xué)習(xí)者真正明白辯證法如何指導(dǎo)解題實(shí)踐，而不是讓它淪為空洞?；庌q的代名詞，再比如老生常談的'要辯證地看問題'，這句話更多時(shí)候是口頭禪，光說不練，也不知道怎么練！這些方面，很多數(shù)學(xué)思想方法書籍和文章講的很空泛，高來高去，不接地氣，即使有講也沒講透徹，本系列填補(bǔ)了這個(gè)空白。通過這個(gè)系列，系統(tǒng)地透徹地闡述了數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)思想方法以及辯證法在解題中如何具體運(yùn)用。
? 簡略從客觀和主觀方面講下數(shù)學(xué)題的難度，也就是為何難?？陀^上，數(shù)學(xué)題的難度主要是因?yàn)榇嬖诿?，此處的矛盾是指辯證法中的矛盾，不是邏輯推理中的邏輯矛盾。簡單的題，順風(fēng)順?biāo)?，從已知條件到結(jié)論很直接，一馬平川。我們經(jīng)常講經(jīng)濟(jì)基礎(chǔ)決定上層建筑，生產(chǎn)力決定生產(chǎn)關(guān)系，以及生物學(xué)中講的結(jié)構(gòu)決定功能，其實(shí)也可以理解成兩者要匹配要適應(yīng)，如相互之間不適應(yīng)不匹配就會(huì)出負(fù)面的阻礙發(fā)展的問題。對有難度的題，一般是已知條件和結(jié)論之間存在矛盾和或已知條件之間存在矛盾，矛盾就是不一致，不適應(yīng)，就會(huì)產(chǎn)生解題障礙，導(dǎo)致難以直接從已知條件順利得出結(jié)論。例如一道幾何題，圖形中的一些元素(例如一些線段)比較分散，相距較遠(yuǎn)，難以發(fā)生關(guān)聯(lián)或關(guān)系不密切，而關(guān)系不密切就難以得出結(jié)論，想一想氫氣和氧氣分開就難以發(fā)生關(guān)系，難以發(fā)生化學(xué)反應(yīng)產(chǎn)生水，一樣的道理，這就是題目中存在的矛盾導(dǎo)致題目有難度。而作為解題者，我們就要識別出這些矛盾，想法化解矛盾，想法轉(zhuǎn)化矛盾，想法翻山越嶺或其他方式跨過障礙。對幾何題，我們作輔助線或幾何變換，例如作平移(移動(dòng)位置)，把那些相距較遠(yuǎn)的幾何元素聚攏在一起，讓關(guān)系變得密切，那就容易產(chǎn)出結(jié)論。但要識別矛盾、化解矛盾，轉(zhuǎn)化矛盾，要有一套成熟的思想方法論來指導(dǎo)我們進(jìn)行有效思考，找到題目中的破綻，探索解題突破口，醞釀出解題思路。剛才說的作輔助線和幾何變換，但如果沒掌握數(shù)學(xué)思想方法，難以快速作出正確的輔助線。前面提到過，我們的教學(xué)不重視數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，這樣就導(dǎo)致很多學(xué)生覺得數(shù)學(xué)難學(xué)，這就是主觀上覺得難，但有人悟道了數(shù)學(xué)思想方法，思想上開竅覺悟了，他從主觀上就不覺得有多難,因?yàn)樗枷雽哟胃?，以道馭術(shù)，思維靈活開闊辯證，有章法，正所謂會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小。
? ? 講數(shù)學(xué)思維的書籍較多，包括數(shù)學(xué)家波利亞的一些書籍，但都不完善，不通透，且思想層次也不高，給人感覺是隔靴搔癢。本系列融匯數(shù)學(xué)思想方法、思維學(xué)、哲學(xué)辯證法、個(gè)人感悟、數(shù)學(xué)家波利亞書籍中的一些觀點(diǎn)與方法、創(chuàng)造學(xué)、心理學(xué)、認(rèn)知學(xué)、傳統(tǒng)文化的相關(guān)內(nèi)容，形成了一套系統(tǒng)、完善、透徹的數(shù)學(xué)思維方法論體系。
? ? 相對而言，思想比知識重要，思維過程比解題方法重要，閱讀該系列文章，要注意學(xué)習(xí)文中的思維過程，學(xué)習(xí)如何運(yùn)用各種數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行思考從而探索出解題方法，如果只是關(guān)注每道題的解題方法，就是丟了西瓜撿了芝麻。
? 我不是從事數(shù)學(xué)教育的，對數(shù)學(xué)思想方法在具體思想方法層面、哲學(xué)層面(辯證法)和傳統(tǒng)文化層面、實(shí)踐層面的一些感悟和經(jīng)驗(yàn)主要來自初高中階段的自學(xué)。光說不練是不行的，理論要經(jīng)過實(shí)踐的反復(fù)檢驗(yàn)，知行合一，后面會(huì)用結(jié)合一些數(shù)學(xué)題來講解思維過程中如何運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法包括解題策略來探索解題方法。
? 本系列目的是傳授數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)思想方法，講述如何用數(shù)學(xué)思維包括數(shù)學(xué)思想方法來指導(dǎo)點(diǎn)撥自己的思維過程思維活動(dòng)，不是為了講數(shù)學(xué)題，數(shù)學(xué)思維也不只局限于數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，在其他各種領(lǐng)域也有運(yùn)用。只不過為了把抽象的無形的數(shù)學(xué)思維&數(shù)學(xué)思想講清楚，在傳授過程中借助數(shù)學(xué)題的具體解題過程來說理而已。
本系列是業(yè)余時(shí)間創(chuàng)作的，由于時(shí)間原因，對一些(數(shù)學(xué))思維方法和數(shù)學(xué)思想方法沒有用專門的篇章去講述，例如對熟知的聯(lián)想思維、類比思維只作了簡短的介紹，這些可通過本系列的例題講解去學(xué)習(xí)領(lǐng)會(huì)。這些思維方法，看幾道例題的思維過程就了解了。本系列的主要目的是建立系統(tǒng)的通透的數(shù)學(xué)思維體系。
? ? 格物致知，初學(xué)者靜下心來從頭到尾按順序把這些文章多讀幾遍，多揣摩回味，要有共鳴的感覺，再看今日頭條‘?dāng)?shù)學(xué)思維之道’中的例題，進(jìn)一步學(xué)習(xí)領(lǐng)悟如何運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法。潛移默化，把數(shù)學(xué)思想方法嵌入到自己的潛意識中變成一種思維習(xí)慣思維方式，相信最終能有收獲。
? 本人簡書和頭條上的文章和解題方法都是原創(chuàng)。
不求大道出迷途，縱負(fù)賢才豈丈夫，上士聞道，勤而行之，下士聞道，大笑之。祝有緣人能悟道數(shù)學(xué)思想方法！打破所謂數(shù)學(xué)難學(xué)的錯(cuò)誤觀念！
? 本立道生，圓融無礙，觀天之道，執(zhí)天之行，盡矣。
? 下一篇：數(shù)學(xué)思想方法揭秘-1(原創(chuàng))。
? 王國波2019.5.11于廣州
