? ? 回前言。
? ? 作者：王國(guó)波
? ? 本系列先前在iteye網(wǎng)站上，現(xiàn)搬遷到簡(jiǎn)書(shū)。
? ? 本系列適合有志于在數(shù)學(xué)上悟大道的人士，作為數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)思想方法論的啟蒙。
? ? 本系列為原創(chuàng),有感于社會(huì)上非常多的家長(zhǎng)和學(xué)生誤以為數(shù)學(xué)和物理難學(xué),不知道數(shù)學(xué)思想方法和思維方法的重要性。問(wèn)題的主要原因是社會(huì)上、網(wǎng)絡(luò)上和學(xué)校數(shù)學(xué)教育絕大多數(shù)都是誤人子弟,偏重于教具體知識(shí),缺少思想方法、思維方法、思維過(guò)程的教學(xué)。
? ? 首先我們要知曉能力和知識(shí)的區(qū)別，每門功課都有學(xué)科知識(shí)和學(xué)科思維，思維能力培養(yǎng)和知識(shí)傳授是教學(xué)的兩個(gè)方面。雖然教育界一直在喊鍛煉思維能力提高思維素養(yǎng)的口號(hào)，但實(shí)際情況是心有余而力不足：我們的小初高和大學(xué)本科的教育一直是偏重知識(shí)的傳授，幾乎每門功課在培養(yǎng)孩子們的學(xué)科思維方面都做的不到位，大打折扣，是跛腿式的教育，只有一條腿在走路，弱化學(xué)生思維方法的教育就導(dǎo)致知識(shí)也難以學(xué)好，即使掌握了很多知識(shí)也不會(huì)靈活運(yùn)用，因?yàn)闆](méi)有思想方法論和思維方法做指導(dǎo)，沒(méi)有在思想上領(lǐng)悟開(kāi)竅，即使掌握再多的知識(shí)仍是沒(méi)有靈性的書(shū)呆子。沒(méi)有思想作指導(dǎo)的思維是呆板的片面的胡思亂想，碰到難題往往就束手無(wú)策，無(wú)所適從，難以產(chǎn)生思路，因?yàn)椴恢廊绾蜗?，不知道想什么，這就是思維障礙。具有思維障礙，掌握再多的知識(shí)也難以轉(zhuǎn)化成能力。思維能力和思想方法是靈魂，鍛煉出有思想方法做后盾的深度思考能力，有靈魂，知識(shí)才能如魚(yú)得水，源頭要有活水。
? ? 數(shù)學(xué)思維方法和數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂,是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的世界觀和方法論，思想比形而下的知識(shí)和方法重要。不注重用正確的數(shù)學(xué)思想方法論來(lái)給學(xué)生洗腦，沒(méi)有用正確的思想武裝頭腦，或根本就沒(méi)思想，沒(méi)有思想高度，這樣的教學(xué)導(dǎo)致學(xué)生不同程度存在數(shù)學(xué)思維障礙。假傳萬(wàn)卷書(shū)，另一個(gè)是數(shù)學(xué)思維與思想方法書(shū)籍和文章不通透，在深度和廣度不夠，有的講的不全面,有的不接地氣太理論化,有的空泛如隔靴搔癢不透徹,高(形而上)不成低不就(形而下),所以根據(jù)自身自學(xué)數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)作了該系列。
思維能力的7個(gè)指標(biāo)和數(shù)學(xué)思維能力構(gòu)成
如何才能稱得上具有良好的高品質(zhì)數(shù)學(xué)思維，其衡量標(biāo)準(zhǔn)主要有7點(diǎn)。
1.數(shù)學(xué)思維的靈活性
? 數(shù)學(xué)思維必須具有靈活性，善于變通，拒絕呆板。對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題，能從多維度多視角去看問(wèn)題思考問(wèn)題，思路受阻時(shí)能迅速敏捷地調(diào)整解題思路/解題策略，反思分析總結(jié)先前的方法中存在的問(wèn)題，否定先前的方法，打破先前的思維定勢(shì)做出調(diào)整或徹底改變，一計(jì)不成再生一計(jì)，迅速找到新的解題方向和解題方法。數(shù)學(xué)的靈活性要求必須真懂辯證法，多維度地變化思維，而不只是在哲學(xué)中學(xué)過(guò)但不會(huì)在解題實(shí)踐中運(yùn)用，要在數(shù)學(xué)解題實(shí)踐中運(yùn)用辯證法來(lái)指導(dǎo)思維過(guò)程。
2.數(shù)學(xué)思維的批判性
? 注意批判性不是貶義的那種批判或批評(píng)，它是指要有辨別力、洞察力、判斷力，要有審慎思辨的態(tài)度，要講理性講邏輯。對(duì)已有的解題方法和理論不盲從，不迷信權(quán)威，能獨(dú)立思考，有質(zhì)疑并驗(yàn)證的習(xí)慣。例如在解題過(guò)程中根據(jù)題目的已知條件檢查自己的解題思路，不斷地對(duì)自己提問(wèn)來(lái)驗(yàn)證自己的思路進(jìn)而調(diào)整糾正取舍；學(xué)會(huì)對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)算；多總結(jié)反思反省自己解題方法中的問(wèn)題和不足，加以改進(jìn)提高。
3.數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性
? 思考問(wèn)題符合邏輯無(wú)矛盾、準(zhǔn)確。
4.數(shù)學(xué)思維的系統(tǒng)性
? 考慮問(wèn)題系統(tǒng)全面，縝密無(wú)遺漏。
5.數(shù)學(xué)思維的廣闊性
? 思維開(kāi)闊發(fā)散開(kāi)放，拓展思維空間，從多維度多方面多角度考慮問(wèn)題，靈活調(diào)整變化，例如一題多解。
6.數(shù)學(xué)思維的深刻性
7.數(shù)學(xué)思維的創(chuàng)新性
? 這7個(gè)指標(biāo)是從多維度多層次多角度相互補(bǔ)充的。嚴(yán)謹(jǐn)性體現(xiàn)在邏輯思維上，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)公式數(shù)學(xué)定理上，體現(xiàn)在塑造實(shí)事求是求真務(wù)實(shí)的態(tài)度上；靈活性，在思考問(wèn)題時(shí)不能死板、不能循規(guī)蹈矩思維定勢(shì)、僵化固化和機(jī)械教條，要有辯證思維，靈活變通，鮮活開(kāi)放，系統(tǒng)全面，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要深刻理解和運(yùn)用辯證法和數(shù)學(xué)解題策略。講辯證，這是一直被強(qiáng)調(diào)和提倡的，而形而上學(xué)機(jī)械教條，在書(shū)本上是經(jīng)常被批駁的，但如果沒(méi)有領(lǐng)悟到如何在具體實(shí)踐中運(yùn)用辯證法，辯證法很容易變成口頭文字上的詭辯，高來(lái)高去，空對(duì)空不接地氣。在本系列中，將主要從實(shí)踐層面講述如何把辯證法靈活應(yīng)用到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題思維過(guò)程中，讓它落地變現(xiàn)，真正能指導(dǎo)實(shí)踐。
? 數(shù)學(xué)思維能力是如上所述的思維品質(zhì)在解決問(wèn)題等實(shí)踐活動(dòng)中的具體化和體現(xiàn)，是表象與內(nèi)在的關(guān)系，虛與實(shí)的關(guān)系。如果思維能力不強(qiáng)，即使再有思維再有靈活性、批判性，面對(duì)問(wèn)題也是束手無(wú)策，一籌莫展，抓不住問(wèn)題的本質(zhì)和關(guān)鍵，找不出解題方向和突破口&起點(diǎn)&切入點(diǎn)，找不出規(guī)律和特征。
? 在7個(gè)思維能力指標(biāo)上要有長(zhǎng)進(jìn)，必須要用正確的數(shù)學(xué)思想方法和解題策略來(lái)武裝頭腦，用它們來(lái)引導(dǎo)和驅(qū)動(dòng)自己的思維，展現(xiàn)思維的嚴(yán)謹(jǐn)縝密、邏輯理性而又不失系統(tǒng)全面、靈活辯證、批判性，也就是指導(dǎo)我們?nèi)绾嗡伎迹?b>在研究、學(xué)習(xí)或解題的思維過(guò)程中怎么想和想什么，做什么和怎么做。
? 數(shù)學(xué)思維能力構(gòu)成
? 觀察力、洞察力 、理解力、領(lǐng)悟力、預(yù)見(jiàn)力、判斷力、決策力、選擇力、想象力、推理力、聯(lián)結(jié)力、直覺(jué)力、鑒賞力 、運(yùn)算力、質(zhì)疑力、分析力、抽象力、創(chuàng)造力、審美力、把控力、記憶力。
數(shù)學(xué)思維體系與數(shù)學(xué)思想方法
? 數(shù)學(xué)思維有多種思維形式，例如聯(lián)想、類比等，數(shù)學(xué)思維體系中的思維形式是思維學(xué)中的子集。
思維活動(dòng)有兩大要素，這兩大要素是形式與內(nèi)容的關(guān)系，外在與內(nèi)在的關(guān)系。第一要素是”怎么想”，也就是思維的外在形式，我們要熟悉多種思維形式。第二個(gè)要素是”想什么”，也就是思維的內(nèi)容，內(nèi)在。主要靠多種思想方法來(lái)指導(dǎo)我們看問(wèn)題思考問(wèn)題時(shí)的觀點(diǎn)(指導(dǎo)我們可用哪些觀點(diǎn)來(lái)看問(wèn)題)、引導(dǎo)我們高效找到”想的內(nèi)容”(啟發(fā)我們的思維內(nèi)容,引導(dǎo)我們?cè)撓胄┦裁?，指導(dǎo)我們對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題采取各種行動(dòng)，例如數(shù)學(xué)對(duì)象的進(jìn)行各種操作：變形、配方、平方等。例如數(shù)形結(jié)合思想指導(dǎo)我們對(duì)代數(shù)題可以考慮代數(shù)式的幾何意義，想到對(duì)應(yīng)的幾何圖形，借助圖形的直觀特征來(lái)解題。
思維的形式與思維的內(nèi)容是辯證統(tǒng)一的，思維形式和思想方法一起決定思維的起點(diǎn)或突破口、思維的方向和視角。沒(méi)有思想或思想貧瘠膚淺，那我們的思維活動(dòng)就很空洞，大腦一片空白。
? 碰到問(wèn)題要先有方案和計(jì)劃，要先搞清楚問(wèn)題，先知道做什么，然后才是怎么做。對(duì)數(shù)學(xué)題，特別是難題，我們學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)通常是被動(dòng)的，是工具，它沒(méi)有驅(qū)動(dòng)力和生命力或多少智慧，要靠思維方法論來(lái)驅(qū)動(dòng)它們，指揮它們，利用它們，來(lái)把它們串起來(lái)組織起來(lái)，而解題方法是怎么想出來(lái)的怎么探索出來(lái)的？怎么解決”妙法難思”的問(wèn)題？
數(shù)學(xué)思維方法論(思維方法、數(shù)學(xué)思想方法、解題(思維)策略)的作用與意義
? 為何很多掌握了數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)生存在數(shù)學(xué)思維障礙？也就是不知道”怎么想(思維形式)“，不知道”想什么(思維內(nèi)容)“、想不到、思維不嚴(yán)謹(jǐn)不全面不高效不辯證、胡思亂想。
? 為何要掌握數(shù)學(xué)思維，要領(lǐng)悟思想方法和思維策略？肯定是它們對(duì)我們有作用和意義，值得我們?nèi)パ芯克鼈儭?/p>
? ? 不談數(shù)學(xué)思維方法和數(shù)學(xué)思想方法在其他方面的作用和價(jià)值，在解題思維層面(這里的題不一定是數(shù)學(xué)題，也可以是其他領(lǐng)域的問(wèn)題，問(wèn)題也可以有大有小)，它們最直接最主要的作用就是具有思維功能：?jiǎn)l(fā)&引導(dǎo)&提醒我們“怎么想(思維形式)”、“想些什么(思維內(nèi)容)”，“怎么看(看問(wèn)題的思維眼光&視角&方向)”、"要做什么(意圖)“、"怎么做"、"(思維)起點(diǎn)是什么"，誘導(dǎo)激發(fā)我們產(chǎn)生思維念頭、對(duì)策、靈光閃現(xiàn)。也就是在思維形式、思維內(nèi)容、思維主客體三方面起到引領(lǐng)作用，拓展思維空間，幫助我們消除思維障礙，高效地探索發(fā)現(xiàn)，高效地找到問(wèn)題突破口和解題思路。每一種思維方法都會(huì)指導(dǎo)我們“怎么想”，例如聯(lián)想思維指導(dǎo)我們要由此及彼地思考，類比思維指導(dǎo)我們根據(jù)從相同或相似的其他事物類推另一事物的特征&規(guī)律或借鑒解決方案。每一種數(shù)學(xué)思想都會(huì)啟發(fā)我們的思維內(nèi)容(想些什么)或思維方向或思維視角，例如方程思想指導(dǎo)我們要找等量關(guān)系列方程，“找等量關(guān)系列方程”就是在方程思想指導(dǎo)下出現(xiàn)的思維內(nèi)容或念頭，而特殊思想指導(dǎo)我們要考慮特殊情況。你對(duì)各種思想方法和思維方法掌握的越多領(lǐng)悟的越深刻，或者說(shuō)你領(lǐng)悟了通透系統(tǒng)的思維方法論或思維框架&模型，當(dāng)你碰到問(wèn)題，就容易想到。反過(guò)來(lái)，就容易出現(xiàn)思維障礙：不知道怎么想，不知道想些什么、不知道要做些什么、不知道變通改變思維視角和方向。
思維方法論給思維功能賦能：大家都知道大腦具有思維功能，可以理解為思維功能的硬件是大腦，要有良好的思維能力，還需要給大腦配備好的思維軟件，即好的思維操作系統(tǒng)：通透系統(tǒng)的思維方法論(思維方法+思想方法+元認(rèn)知)。計(jì)算機(jī)中只有硬件和操作系統(tǒng)還不行，還要安裝應(yīng)用軟件和工具庫(kù)，而各種學(xué)科知識(shí)(陳述型知識(shí))就好比計(jì)算機(jī)中的各種應(yīng)用軟件(工具軟件)和工具庫(kù)。思維操作系統(tǒng)管理&調(diào)度&激活這些應(yīng)用軟件。大腦中沒(méi)有安裝好的思維操作系統(tǒng)，思維能力低下是必然的。思維鍛煉和熏陶就是不斷地升級(jí)思維操作系統(tǒng)，讓它越來(lái)越好。
? 數(shù)學(xué)思維方法論、數(shù)學(xué)思想方法、解題策略在思考數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，讓我們的思維能高效正確地運(yùn)轉(zhuǎn)，看透問(wèn)題本質(zhì)，它們可以在思維的外在形式和思維的內(nèi)容兩個(gè)維度指引和啟發(fā)我們?cè)趺聪?、想什么、做什么、怎么?操作)、用什么樣的數(shù)學(xué)眼光和觀點(diǎn)去看問(wèn)題，指引和調(diào)節(jié)思維方向和思維視角。
? 到這里，建議先回到<<數(shù)學(xué)思想方法揭秘-前言>>一文，重新閱讀其中的“思維形式和思維內(nèi)容”部分。思維方法主要決定思維形式，它啟發(fā)引導(dǎo)我們”怎么想“，例如聯(lián)想思維指引我們或提醒啟發(fā)我們要聯(lián)想，類比思維指引啟發(fā)提醒我們要類比。如果不知道數(shù)學(xué)思維工具箱中有哪些思維方法，碰到問(wèn)題時(shí)，就不容易想到要采用這些思維方法。而各種數(shù)學(xué)思想方法啟發(fā)引導(dǎo)我們”想什么“，讓我們的思維有內(nèi)容，大腦不至于一片空白。例如方程思想啟發(fā)提醒我們關(guān)注問(wèn)題中隱藏的方程模式，要我們想到方程，要找出問(wèn)題中的等量關(guān)系列方程。思維方法和思想方法的區(qū)別在<<前言>>中已經(jīng)講解過(guò)，在實(shí)際運(yùn)用時(shí)或講解思維方法時(shí)，思想方法和思想方法通常是合在一起使用的，水乳交融的，例如“相似聯(lián)想”這種聯(lián)想思維方法，其實(shí)是相似性思想加聯(lián)想思維。知識(shí)是僵死的，在有靈性的思維方法和思想方法的啟發(fā)引導(dǎo)下，我們就容易激活&調(diào)動(dòng)&組織&編排&利用大腦中沉睡的僵死知識(shí)，讓這些知識(shí)派上用場(chǎng)，發(fā)揮作用，把這些知識(shí)轉(zhuǎn)化為解題能力，否則這些僵死的知識(shí)是不會(huì)主動(dòng)解決問(wèn)題的。為何很多學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)知識(shí)，但碰到有些難度的問(wèn)題，所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)利用不上，一看答案所用的數(shù)學(xué)知識(shí)都學(xué)過(guò)，但自己當(dāng)時(shí)就是想不到，所學(xué)的知識(shí)不能變現(xiàn)轉(zhuǎn)化為能力？原因就在于我們的學(xué)校數(shù)學(xué)教育和培訓(xùn)班普遍在學(xué)生思維訓(xùn)練方面一直是心有余而力不足，主要是灌輸數(shù)學(xué)知識(shí)，缺乏到位的思維訓(xùn)練，即便是頭部的(悟性好、有些學(xué)習(xí)天賦)很多學(xué)生也沒(méi)有得到通透系統(tǒng)的思維訓(xùn)練，容易出現(xiàn)思維障礙。巧婦難為無(wú)米之炊，有時(shí)候是由于我們數(shù)學(xué)知識(shí)掌握不好導(dǎo)致問(wèn)題沒(méi)有解決，這都不是啥問(wèn)題，去學(xué)知識(shí)就行，初高中知識(shí)很容易學(xué)，很多可以自學(xué)，相比較而言，無(wú)形的思維難以掌控，難以領(lǐng)悟思維之道，這也是寫(xiě)這個(gè)系列的原因，力圖傳授通透系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維之道思維方法論。
思想是行動(dòng)的指南，在思想觀點(diǎn)的引領(lǐng)下指引啟發(fā)我們看問(wèn)題的視角和方向，有什么樣的思想就有什么樣的行動(dòng)，在數(shù)學(xué)解題思維過(guò)程中，有什么樣的思想就有什么樣的解題操作，例如對(duì)代數(shù)題，如果運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，我們就會(huì)思考代數(shù)式的幾何意義，構(gòu)造對(duì)應(yīng)的幾何圖形。數(shù)學(xué)思想就是數(shù)學(xué)的基本觀點(diǎn)，是對(duì)數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。學(xué)的知識(shí)多并不意味就有智慧，并不意味會(huì)靈活運(yùn)用。數(shù)學(xué)考試成績(jī)好，甚至能在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中獲獎(jiǎng)也并不表示數(shù)學(xué)真正好，真正好是要有智慧，也就是要能領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)思維之道，而數(shù)學(xué)思想就是數(shù)學(xué)中的智慧和道，沒(méi)有悟道，即使小初高階段能獲獎(jiǎng)但沒(méi)有悟道數(shù)學(xué)思維，也很可能后繼乏力。
? 大海航行靠舵手，數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)難題的金手指、敲門磚、思維的火花塞、金剛鉆、橋梁紐帶、魚(yú)餌、藥引子、催化劑、導(dǎo)火索，是黑暗中的指路明燈。很多數(shù)學(xué)難題和奧數(shù)題的解題方法是怎么想出來(lái)的？難題開(kāi)頭難或中間卡殼時(shí)，如何探索出解題方向解題思路和解題方法，其實(shí)這個(gè)也是有章可循的，真不需要有天才的頭腦，就是靠一套數(shù)學(xué)思想方法(包括解題策略)來(lái)做指導(dǎo)，運(yùn)用它們來(lái)推導(dǎo)探索出具體問(wèn)題的解題突破口、解題方法和或看清問(wèn)題本質(zhì)，來(lái)做已知和未知(包括解題中間環(huán)節(jié)和答案結(jié)論)的溝通橋梁，來(lái)穿針引線建立幾個(gè)對(duì)象之間的聯(lián)系，來(lái)穿針引線形成解題思路和解題方法，最終把知識(shí)點(diǎn)串起來(lái)組織起來(lái)解決問(wèn)題。星星之火可以燎原，對(duì)數(shù)學(xué)難題，沒(méi)有數(shù)學(xué)思想方法這個(gè)火花，后面的熊熊大火也就是解題思路和解題方法難以產(chǎn)生，數(shù)學(xué)思想方法也類似小雞破殼而出前關(guān)鍵的一啄，沒(méi)有這一步，很難找到題目中隱藏的解題突破口和解題方向。
? 訓(xùn)練良好的數(shù)學(xué)思維能力，主要是在教學(xué)中啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生的思路，在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法，例如聯(lián)想、類比、歸納、轉(zhuǎn)化、抽象等思想方法，輸貫數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)學(xué)生在分析問(wèn)題解決問(wèn)題過(guò)程中運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法來(lái)探索出題目的解題方法。只有知識(shí)沒(méi)有思想，在解題時(shí)對(duì)知識(shí)的運(yùn)用是被動(dòng)的，自發(fā)的，盲目的，局限的，而有了思想覺(jué)悟，解題就是主動(dòng)的、自覺(jué)的、有意識(shí)的、辯證靈動(dòng)的、高屋建瓴的、批判的、高觀點(diǎn)指導(dǎo)下的。掌握了知識(shí)不一定掌握思想，例如掌握了方程知識(shí)，不一定具有方程思想，就看你是自發(fā)還是自覺(jué)使用方程來(lái)解題，如果在半迷糊蒙昧狀態(tài)下使用，或還需要題目文字中用'方程'兩個(gè)字來(lái)明確提示你才意識(shí)到，那就是自發(fā)，還沒(méi)有這種思想意識(shí)，方程思想還沒(méi)入心入腦。
? 知識(shí)點(diǎn)是死的，對(duì)難題，像迷霧一樣看不清前進(jìn)的道路和方向，很多時(shí)候只能模糊猜測(cè)到要用哪些知識(shí)點(diǎn)，有的根本想不到要用哪些知識(shí)點(diǎn)或用上熟悉的知識(shí)點(diǎn)也解決不了問(wèn)題，無(wú)法形成和展開(kāi)自己的解題思路和解題方法，此時(shí)就需要有數(shù)學(xué)思想方法來(lái)?yè)茉埔?jiàn)日，做開(kāi)路先鋒探路者，來(lái)做問(wèn)題域到解決方案域的橋梁和藥引子，運(yùn)用它們來(lái)探索出解題方法和解題過(guò)程，使解題思路和解題方法自然呈現(xiàn)出來(lái)，由隱到顯，從模糊到清晰。在探索過(guò)程中隨著解題方法的逐漸清晰和成形，此時(shí)感覺(jué)難題已經(jīng)不太難了，思路脈絡(luò)和解題方法已經(jīng)變得清晰明朗可見(jiàn)了，像簡(jiǎn)單熟悉的題一樣，此時(shí)自然而然就知道要運(yùn)用哪些知識(shí)點(diǎn)，所以說(shuō)知識(shí)點(diǎn)需要數(shù)學(xué)思想方法來(lái)盤(pán)活、來(lái)激活調(diào)動(dòng)它們，否則它們就在你腦中沉睡。
數(shù)學(xué)思維方法論、數(shù)學(xué)思想方法、思維策略&解題策略是數(shù)學(xué)領(lǐng)域形而上的大道，是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)本質(zhì)和思想規(guī)律觀點(diǎn)的總結(jié)概括。
? 常用的數(shù)學(xué)思維方式和數(shù)學(xué)思想方法具體有哪些，總結(jié)如下：
? 思維方式：思維的分類維度比較多，例如邏輯思維與非邏輯思維、創(chuàng)新思維與常規(guī)思維，求同思維與求異思維、理性思維與感性思維、橫向思維與縱向思維、建構(gòu)思維與求解思維、經(jīng)驗(yàn)思維與科學(xué)思維。從思維的形式來(lái)分，有：聯(lián)想、類比 、歸納、演繹、抽象邏輯思維、逆向思維、形象思維&具象思維、觀察與試驗(yàn)思維、相似性思維、直覺(jué)思維、靈感思維、發(fā)散思維、組合(聚合)思維、決策思維、辯證思維、系統(tǒng)思維、結(jié)構(gòu)化思維、溯源思維、多視角思維&立體思維、屬性(性質(zhì))思維、層次思維、棋局思維(謀局&做局、識(shí)局、破局、控局、算局、定局)、(情景&context)場(chǎng)景思維、柔性思維。
? 思想方法：分類思想&分組與整合&歸并&配對(duì)思想、枚舉(窮舉)&遍歷思想、關(guān)系思想&網(wǎng)絡(luò)化思想、轉(zhuǎn)化思想&化歸&轉(zhuǎn)譯&轉(zhuǎn)移、數(shù)學(xué)變換思想、代換思想&置換思想、等價(jià)(等效)思想、本質(zhì)思想、數(shù)形結(jié)合、分析思想、要素思想、互逆思想、主線思想&主題思想、確定性思想、簡(jiǎn)約(簡(jiǎn)縮)思想、分離思想、賦義思想、有無(wú)思想、母體思想、篩選、隱含條件思想、符號(hào)化思想、集合思想&集束&族系思想、對(duì)應(yīng)思想、方程思想、函數(shù)思想、假設(shè)思想、均衡&中道思想、平均思想、特殊化思想&極端性思想(考慮特殊情況或極端情況：特殊值、特殊對(duì)象、特殊情況、最大值、最小值、最優(yōu)值、最差值、最理想&最糟糕情況、邊界&臨界值、端點(diǎn)值) 、無(wú)窮遞降思想、極限思想、估值思想、試驗(yàn)思想、對(duì)稱思想和對(duì)偶思想、補(bǔ)美思想與完形思想、算兩次思想、周期思想、運(yùn)動(dòng)思想、階段思想(過(guò)程&流程思想)&中途點(diǎn)思想、遞推和遞歸思想、整體思想/整體觀/系統(tǒng)思想、模型思想、模式思想、結(jié)構(gòu)思想、基底思想/基本量思想/最小維度思想、變基思想、模糊思想、秩序/有序化思想、順序思想、比較思想、規(guī)約化&歸一化思想&單位1思想、放縮思想、多樣性思想、比例思想、局部調(diào)整思想、逼近(漸進(jìn))思想、遍歷思想、迭代思想、優(yōu)化思想、優(yōu)先級(jí)思想&權(quán)重思想、微積分思想、分層(層次)思想、構(gòu)造思想、組合(集成/重組/重構(gòu))思想、配湊思想、遷移/轉(zhuǎn)移思想、算法思想、計(jì)算思想(通過(guò)計(jì)算運(yùn)算來(lái)解題。數(shù)形結(jié)合中的數(shù)就意味著它包含有計(jì)算思想。另外有些關(guān)系、規(guī)律、特征在解題開(kāi)始階段看不出來(lái)，要經(jīng)過(guò)計(jì)算之后才能凸顯出來(lái))、分而治之思想、概率思想&隨機(jī)思想、采樣思想、統(tǒng)計(jì)思想、編碼思想&標(biāo)識(shí)(編號(hào))思想、離散思想、工具思想/功能思想/功用(效應(yīng))思想、角色思想、合理合理推理&猜想&設(shè)想&想象、傳遞性思想、核心(中心)思想、對(duì)象化&概念化思想、移植與雜交思想、原子與元化思想、維度思想&最小維度思想&公理化思想、媒介(中介)思想、參數(shù)化思想、守恒思想(變中有不變思想)、常變思想、調(diào)節(jié)(調(diào)整)與調(diào)和思想、兼容(兼容并蓄)擴(kuò)展思想、相對(duì)性思想、擬合思想&模擬思想、虛擬化&虛構(gòu)思想、變格思想(升格/降格/縮格/更格/分格)、統(tǒng)一性思想、標(biāo)準(zhǔn)化思想、最小作用量思想、齊次思想、齊物&平等思想、動(dòng)態(tài)生成&構(gòu)建思想、增殖效應(yīng)思想&繁衍&推演思想、數(shù)學(xué)美(審美/美感)思想、參照系思想、理想化思想、外推思想、族系思想。
思想方法按詞性可分為兩種：名詞(概念)型思想與動(dòng)詞型思想。
名詞型思想，比如方程思想、函數(shù)思想、關(guān)系思想。
動(dòng)詞型思想，比如組合思想、運(yùn)動(dòng)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類思想、構(gòu)造思想。
在小學(xué)階段就應(yīng)該開(kāi)始進(jìn)行數(shù)學(xué)思維形式和思想方法啟蒙，在高中階段就應(yīng)該領(lǐng)悟掌握這里面的絕大多數(shù)。
思維策略和解題策略：學(xué)習(xí)思維策略，最好先了解下元認(rèn)知。元認(rèn)知就是對(duì)認(rèn)知的認(rèn)知。是個(gè)人對(duì)自己的認(rèn)知加工過(guò)程的自我覺(jué)察、自我評(píng)價(jià)和自我調(diào)節(jié)。解題策略就是解題時(shí)遵循的總體方法和原則，一般是靈活的，變通的，柔性的。俗話說(shuō)當(dāng)局者迷，旁觀者清，這些策略好像一位旁觀者或監(jiān)工者，對(duì)思維起點(diǎn)、思維方向、思維視角起到指導(dǎo)、調(diào)節(jié)、變通、反思、優(yōu)化、監(jiān)控的作用，在解題中對(duì)解題思路和方向進(jìn)行調(diào)整，防止思維出軌或即便偏離正確軌道也能及時(shí)調(diào)整到正確軌道，防止思維呆板僵化或陷入思維定勢(shì)或即便陷入呆板狀態(tài)也能及時(shí)反省意識(shí)到，從而擺脫。
解題思維策略主要有：
? 1）基于辯證法和辯證思維對(duì)立面進(jìn)退互化的轉(zhuǎn)化策略。具體的進(jìn)退互化策略非常多，至少幾百種，常見(jiàn)的一些有：
? ? 抽象-具體策略&抽象到具體-具體到抽象/抽象化策略&具體化策略，碰到抽象問(wèn)題，如果難以解決就想法具體化；碰到具體問(wèn)題，如果難以解決就抽象化，一句話抽象不行就具體，具體不行就抽象，要靈活辯證地利用抽象和具體的辯證關(guān)系來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)化變通。
? ? 直接-間接策略、復(fù)雜-簡(jiǎn)單簡(jiǎn)化/簡(jiǎn)化策略、一般-特殊/一般化策略&特殊化策略、主要-次要、主-從、已知-未知、陌生-熟悉、正向-逆向&正難則反、高次-低次、高維-低維、整體-局部、數(shù)字/常量-變量、相等-不等，還有很多，例如內(nèi)-外，數(shù)-形、矛-盾，都是根據(jù)辯證法辯證思維中的一些對(duì)立統(tǒng)一的概念和矛盾關(guān)系或關(guān)聯(lián)關(guān)系來(lái)采取靈活的變通策略。后面會(huì)有一套辯證思維詞匯表配合該策略的實(shí)際運(yùn)用。
? ? 對(duì)立面進(jìn)退互化的策略，要結(jié)合矛盾分析法找出問(wèn)題中存在的和諧的、不和諧的各種因素。
? 2）基于特征驅(qū)動(dòng)的策略。
? 3）基于關(guān)系思想的策略。
? 4）基于模式識(shí)別的策略。
? 5）基于合理推理、合情設(shè)想&意圖、合情猜想的策略。
? 6）基于監(jiān)控反思調(diào)整的重認(rèn)識(shí)策略。
? ? ? 在解題過(guò)程中思維受阻時(shí)，要運(yùn)用監(jiān)控反思調(diào)整策略擺脫思維困境。
? 7）避重就輕策略。從薄弱地方入手，繞過(guò)難以直接解決的因素，體會(huì)下庖丁解牛的故事就大體明白了。
? ? ? ? 在解題過(guò)程中，要關(guān)注和評(píng)估當(dāng)前解題方法的復(fù)雜性和進(jìn)展情況，例如覺(jué)得方法繁瑣，運(yùn)算量大、出現(xiàn)蠻力求解、求解困難時(shí)，此時(shí)要對(duì)該方法的好壞優(yōu)劣、適用性、正確性有所警覺(jué)質(zhì)疑，是否此路不通？回頭是岸，要及時(shí)調(diào)整思路和方法或甚至放棄轉(zhuǎn)向探求新思路和新方法。
? ? ? 對(duì)有難度的問(wèn)題，在解題受阻時(shí)，要反問(wèn)提醒自己，多維度地發(fā)散反思：是否陷入思維定勢(shì)?問(wèn)題中不和諧的因素(痛點(diǎn))有哪些？當(dāng)前方法和思路的特點(diǎn)和切入途徑？如何利用好已知條件？是否還有一些條件沒(méi)有充分利用？是否還有一些隱藏的條件或線索沒(méi)有發(fā)現(xiàn)？遍歷自己的數(shù)學(xué)知識(shí)庫(kù)，還有哪些數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法沒(méi)有使用？是否有些知識(shí)不熟悉？還有哪些思維方法和思想方法沒(méi)有使用?解題操作還能怎么變一下？數(shù)學(xué)對(duì)象還能怎么變化一下？思維視角、思維方向還能怎么變一下切換一下？還有哪些對(duì)象和問(wèn)題沒(méi)有考慮到？還能發(fā)現(xiàn)哪些關(guān)系？還能建構(gòu)哪些關(guān)聯(lián)關(guān)系？是否還隱藏著一些模式&模型？是否能建構(gòu)一種新的數(shù)學(xué)模式&模型把數(shù)學(xué)對(duì)象納入到模式中?
? ? ? 這樣不斷地反問(wèn)，誘導(dǎo)自己產(chǎn)生新的解題念頭，從而有可能產(chǎn)生解題突破和轉(zhuǎn)機(jī)。
? ? ? 解題完成后，也要反思總結(jié)自己的感悟、得失（心得體會(huì)）、經(jīng)驗(yàn)，提煉思想方法，完善自己的思維方法體系。
? 思維原則
? ? 合情合理原則、熟悉化原則、數(shù)學(xué)美原則（和諧化、簡(jiǎn)單化、有序化、統(tǒng)一化、標(biāo)準(zhǔn)化）、充分利用條件原則/用好條件(用好用足原則)、直觀化原則、具體化原則、開(kāi)放性原則、條件集中原則、模式化原則、系統(tǒng)化思考原則(包含了辯證思考)等。
? ? 合情合理原則是思維也是數(shù)學(xué)思維需要遵循的的第一原則(首要原則)，包含合情與合理兩部分，合情和或合理地分析思考，合情合理地設(shè)想&猜想&推理&想象，合情合理不排斥大膽想象。邏輯思維和非邏輯思維都要遵守該原則，此外不要把此處的”合理”狹義地理解為為百分之百的符合邏輯才算合理，非邏輯思維，例如直覺(jué)、想象、聯(lián)想、類比等就不符合嚴(yán)格的（百分之百）邏輯，這些非邏輯思維應(yīng)該理解為廣義的合理。
? 鍛煉邏輯思維能力不難，甚至可以說(shuō)很容易，難在鍛煉各種非邏輯思維能力。只偏重訓(xùn)練邏輯思維的數(shù)學(xué)教育是不及格的教育，是對(duì)數(shù)學(xué)思維錯(cuò)誤的理解，數(shù)學(xué)思維高手的思維功底，更多地體現(xiàn)在非邏輯思維能力方面，非邏輯思維才是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、發(fā)明創(chuàng)新的利器。
? ? 上述這些原則是通用的原則，每種思維方法和思想方法自身還有自己的一些原則，例如對(duì)數(shù)學(xué)思想方法中的分離思想而言，高內(nèi)聚低耦合原則是運(yùn)用分離思想通常需要遵循的原則，一般情況下不要逾越。
? 解題策略和數(shù)學(xué)思想是左右手的關(guān)系，好比太極圖中的陰陽(yáng)魚(yú)，一剛一柔，相互配合，相互協(xié)作，相互協(xié)調(diào)，相互聯(lián)系又相互調(diào)節(jié)制衡，達(dá)到一種動(dòng)態(tài)的和諧平衡，一陰一陽(yáng)之謂道。
? 這些數(shù)學(xué)思想方法和解題策略可以說(shuō)每一種都提供了思考問(wèn)題/看問(wèn)題的不同的視角或觀點(diǎn)，從總體上，它們之間也有一定的層次關(guān)系和結(jié)構(gòu)，如下圖1，有些思想之間是相互滲透交融，其中關(guān)系思想和解題策略是高層次的、形而上的數(shù)學(xué)思想方法，其他思想方法相對(duì)而言都是形而下的，都是從這兩個(gè)具體化和派生出來(lái)的，例如方程思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想，就是因?yàn)榇嬖陉P(guān)系，例如數(shù)形結(jié)合思想就是因?yàn)榇嬖跀?shù)和形的關(guān)系。更進(jìn)一步，可以說(shuō)整個(gè)數(shù)學(xué)思想方法論體系包括解題策略思維策略都是為了指導(dǎo)我們的思維和行動(dòng)，讓思維和行動(dòng)能靈活變化，數(shù)學(xué)思維的本質(zhì)是變化，就是辯證法中所講的運(yùn)動(dòng)變化。只有在運(yùn)動(dòng)發(fā)展過(guò)程中不斷地去合道，不斷地從多維度多層次靈活辯證理性地去探尋事物的本質(zhì)規(guī)律。絕對(duì)的運(yùn)動(dòng)變化，對(duì)應(yīng)相對(duì)的靜止不變，在認(rèn)識(shí)事物的過(guò)程中，有個(gè)不變的，就是思想方法論，成熟的方法論是相對(duì)不變的。
聯(lián)想，思維由此及彼是運(yùn)動(dòng)變化;抽象，去粗取精，去偽存真，提煉本質(zhì)，是運(yùn)動(dòng)變化;分析綜合是運(yùn)動(dòng)變化；轉(zhuǎn)化化歸更是運(yùn)行變化。這是在無(wú)形的思維和決策層面的運(yùn)動(dòng)變化，在行動(dòng)操作層面更是運(yùn)動(dòng)變化，就拿數(shù)學(xué)解題過(guò)程舉例，解題過(guò)程中的各種運(yùn)算、變形、變換也是運(yùn)動(dòng)變化。
事物的發(fā)展規(guī)律包括思維規(guī)律思想方法論和解決問(wèn)題的方法本來(lái)就客觀存在，也就是道本來(lái)就存在，我們只不過(guò)是去合道，與道相合相應(yīng)，發(fā)現(xiàn)它，體認(rèn)它。
沒(méi)有哪種數(shù)學(xué)思想方法是萬(wàn)能的，在解決具體數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，一般是綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思想方法，有機(jī)結(jié)合起來(lái)使用。
數(shù)學(xué)思想方法和解題方法的區(qū)別和關(guān)系
? 數(shù)學(xué)思想方法和具體問(wèn)題具體題目的解題方法的關(guān)系，就像漁和魚(yú)，難題的解題方法是隱藏在渾水中的魚(yú)，不能一眼看見(jiàn)它，洞見(jiàn)它，此時(shí)需要用漁把魚(yú)釣出來(lái)，類似地，需要運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法把解題方法找出來(lái)探索出來(lái)，數(shù)學(xué)思想方法是方法的方法。
? 數(shù)學(xué)思想方法和具體問(wèn)題的解題方法的關(guān)系，也可用另一種方式來(lái)比喻，是母與子的關(guān)系。數(shù)學(xué)思想方法是母，具體的解題方法是子，由母產(chǎn)子，要有一套數(shù)學(xué)思想方法論來(lái)做指導(dǎo)。不知母，焉知子？不知母的結(jié)果就是難產(chǎn)或產(chǎn)出歪瓜裂棗，就是難以高效地想出解題方法或想出來(lái)的是較繁瑣的方法。但在我們的多年的教育中，不管是數(shù)學(xué)還是其他學(xué)科，不管是先前的應(yīng)試教育和現(xiàn)在所謂的素質(zhì)教育都不注重思想方法的培養(yǎng)。對(duì)語(yǔ)文教育例如寫(xiě)作，有寫(xiě)作思想方法論教學(xué)生如何寫(xiě)出一篇好作文的教學(xué)嗎？在數(shù)學(xué)教育中，有數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)內(nèi)容嗎？不管是學(xué)校的教材和教學(xué)，以及各種校外奧數(shù)培訓(xùn)機(jī)構(gòu)，幾乎都不注重訓(xùn)練數(shù)學(xué)思想方法，最多是擠牙膏似的所謂滲透點(diǎn)數(shù)學(xué)思想方法，蜻蜓點(diǎn)水輕輕帶過(guò)。大多教的是知識(shí)點(diǎn)和低級(jí)低層次的數(shù)學(xué)方法，例如分?jǐn)?shù)的裂項(xiàng)法、方程的消元法、換元法、配方法，或者讓學(xué)生死記結(jié)論公式，記題型。但學(xué)生不知道這些低層次的數(shù)學(xué)方法體現(xiàn)的是什么數(shù)學(xué)思想方法，例如不知道消元法體現(xiàn)的是轉(zhuǎn)化這種數(shù)學(xué)思想，把未知轉(zhuǎn)化成已知(例如把二元一次方程轉(zhuǎn)化成先前學(xué)過(guò)的已知的一元一次方程)、把不熟悉轉(zhuǎn)化成熟悉、把不好處理轉(zhuǎn)化成好處理。知其然不知其所以然，碰到新的題型，低層次的方法存在較大局限性，適用范圍有限，學(xué)生就束手無(wú)策，傻眼沒(méi)新思路了，再說(shuō)學(xué)生總要走上社會(huì)要獨(dú)立解決新問(wèn)題的。不是說(shuō)這些不重要，這些是低層次的形而下的，有較大局限性，只教這些是不夠的，要有普適性指導(dǎo)性強(qiáng)的數(shù)學(xué)思想方法。
? 數(shù)學(xué)思想方法的三種層次：
? 思想理論指導(dǎo)實(shí)踐。圖1中低層次的數(shù)學(xué)方法在我們平常的教學(xué)中就有傳授，它具有實(shí)踐性，是包含有具體操作步驟的方法，適用面較窄(如待定系數(shù)法一般只在多項(xiàng)式分解中使用)，不具有方法論的意義，我們大多把它們稱為數(shù)學(xué)方法而不是數(shù)學(xué)思想方法，較高層次的數(shù)學(xué)方法是屬于邏輯學(xué)中的數(shù)學(xué)思維方法， 平常的教學(xué)中也有傳授。而高層的數(shù)學(xué)思想方法具有理論指導(dǎo)性，適用面教廣，層次高。低層和較高層的數(shù)學(xué)方法體現(xiàn)高層的數(shù)學(xué)思想，它們是數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)解題中落地實(shí)施的手段和工具。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)方法的升華。
? 在該系列中，我們主要講述較高層次和高層次的數(shù)學(xué)思想方法，特別是高層次的數(shù)學(xué)思想方法。這些思想方法還可進(jìn)一步劃分為更精細(xì)的層次和結(jié)構(gòu)，其中轉(zhuǎn)化(化歸、變化)和構(gòu)造法是兩種基本的思想方法，構(gòu)造法思想也一定程度上體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，所以大體上可以認(rèn)為其他的數(shù)學(xué)思想方法都可歸結(jié)為轉(zhuǎn)化思想的一種實(shí)現(xiàn)手段，轉(zhuǎn)化思想是高層次的數(shù)學(xué)思想方法。
? 從整個(gè)數(shù)學(xué)思維體系來(lái)分，大致可分為三層：思維層、思想層、實(shí)踐操作執(zhí)行層。配方法、待定系數(shù)法、各種變形&變換&運(yùn)算如幾何中的平移變換等都位于實(shí)踐操作執(zhí)行層。
? 萬(wàn)般神通皆小術(shù)，唯有空空是大道，道和術(shù)，每個(gè)學(xué)科每個(gè)領(lǐng)域都有形而上的道和形而下的術(shù)，都有一套方法論，就看你是否能悟道能領(lǐng)悟它們。先哲說(shuō)過(guò)：以道蒞天下，其鬼不神。掌握了大道，牛鬼蛇神還能神奇？? 數(shù)學(xué)思想方法就是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的大道，它不是陽(yáng)春白雪，不是高高在上高不可攀，一般智力的學(xué)生靜下心來(lái)通過(guò)正確思維訓(xùn)練和熏陶模仿，通過(guò)在解題中運(yùn)用體會(huì)這些思想方法，大多數(shù)人是可以掌握的，即使在小學(xué)高年級(jí)也是可以學(xué)會(huì)大部分的，初中或高中理解掌握起來(lái)就更容易了，大學(xué)就太晚了。這一套數(shù)學(xué)思想方法論是一得永得，一悟永悟。領(lǐng)悟之后，在小初高或以后都能用，其他理工科學(xué)習(xí)也能借鑒，數(shù)學(xué)思想方法論是終身受用。
數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)系
? ? 不是說(shuō)數(shù)學(xué)知識(shí)和低層次的數(shù)學(xué)方法不重要，它們是基礎(chǔ)很重要，肯定要有豐富的知識(shí)儲(chǔ)備，數(shù)學(xué)思想方法雖然重要但也不是萬(wàn)能的，在解題過(guò)程中思想和知識(shí)兩者缺一不可。數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法的關(guān)系好比魚(yú)和水的關(guān)系：只有魚(yú)沒(méi)有水，那魚(yú)會(huì)死，只有數(shù)學(xué)知識(shí)，沒(méi)有數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)知識(shí)是死的，不知怎么用到難題上，門都沒(méi)有，解題思路都沒(méi)有，皮之不存，毛將焉附。只有水沒(méi)有魚(yú)，那就是一灘清水，只有數(shù)學(xué)思想方法卻沒(méi)有掌握足夠的數(shù)學(xué)知識(shí)和低層次的數(shù)學(xué)方法，那就是空談清談，巧婦難為無(wú)米之炊，有心無(wú)力，只有將沒(méi)有兵。數(shù)學(xué)思想方法是金手指，指方向定戰(zhàn)略找解題突破口，是高層次的，數(shù)學(xué)知識(shí)和低層次的數(shù)學(xué)方法是戰(zhàn)術(shù)執(zhí)行，高低搭配良好配合才能解決難題。
? ? 綜上所述，真要有數(shù)學(xué)家的頭腦或良好的數(shù)學(xué)思維能力，在數(shù)學(xué)思維過(guò)程中一定要有數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)和運(yùn)用。那種閹割思維過(guò)程，不講述思維過(guò)程，只注重具體題目的解題方法，不讓學(xué)生明白和領(lǐng)悟解題方法是如何在思維過(guò)程中運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法探索出來(lái)的教學(xué)方法，不給學(xué)生說(shuō)明具體的數(shù)學(xué)方法(例如消元法)體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想方法，這些都是沒(méi)有思想的教學(xué)方法，是教育的失敗,是誤人子弟。點(diǎn)石成金，有幾個(gè)人不熟悉金子的，關(guān)鍵是金子怎么來(lái)的，是那個(gè)能點(diǎn)石成金的手指頭，這樣的手指頭不容易擁有，這個(gè)是難點(diǎn)。對(duì)數(shù)學(xué)難題，如果給出了題目的解題方法和解題過(guò)程，相信大多數(shù)學(xué)生自己都能看懂，不需要老師花功夫講解。但這個(gè)解題方法是怎么想出來(lái)的，把解題方法想出來(lái)的思維過(guò)程，這個(gè)才是關(guān)鍵才是難點(diǎn)，也是大多數(shù)老師和書(shū)籍講不清楚或不愿意講的，這樣好比是直接給你魚(yú)，不傳授漁，給你金子而不訓(xùn)練你點(diǎn)石成金的手指頭。如果要培養(yǎng)數(shù)學(xué)頭腦數(shù)學(xué)思維，我們最需要的是點(diǎn)石成金的手指和漁，而不是金子和魚(yú)，雖然金子和魚(yú)也要，數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)下的思維過(guò)程就是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的金手指和漁，但這個(gè)恰恰在教學(xué)過(guò)程中和學(xué)習(xí)實(shí)踐中被忽視。沒(méi)有思想的教育，造成培養(yǎng)出來(lái)的人自學(xué)能力和思維創(chuàng)新能力不足，缺少質(zhì)疑和否定反思的習(xí)慣，絕大多數(shù)素質(zhì)不高，很少有領(lǐng)軍人物，這可能也是老校友錢學(xué)森提出世紀(jì)之問(wèn)的一個(gè)原因。畢竟大多數(shù)人不可能自覺(jué)悟道數(shù)學(xué)思想方法，我們的教學(xué)方式，導(dǎo)致沒(méi)有掌握數(shù)學(xué)思想方法的人很多，即使數(shù)學(xué)系的學(xué)生，還是其他專業(yè)的博士還是教授，無(wú)論是哪個(gè)學(xué)校，他們大多只是學(xué)的知識(shí)點(diǎn)多，就如同看的新聞多而已，缺少靈活運(yùn)用的思維能力。
數(shù)學(xué)思想方法的重要性
? ? 本人在初中開(kāi)始自學(xué)數(shù)學(xué)，自己領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法。在80年代的農(nóng)村學(xué)校，沒(méi)有現(xiàn)在隨處可見(jiàn)的參考書(shū)籍資料，沒(méi)有網(wǎng)絡(luò)和電腦，想提高只有自學(xué)。高中數(shù)學(xué)和物理幾乎不聽(tīng)老師講課，也不做老師的作業(yè)，因?yàn)橐豢淳蜁?huì)，就靠自學(xué)幾本有些零星數(shù)學(xué)思想的數(shù)學(xué)參考書(shū)，邊學(xué)邊總結(jié)領(lǐng)悟，在高中對(duì)數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)思維有了較深入的領(lǐng)悟，也鍛煉了自學(xué)能力。小初高數(shù)學(xué)一直非常好，喜歡研究總結(jié)解題規(guī)律和數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)思維方法也感興趣，玩數(shù)學(xué)思維必須要了解些思維學(xué)。本系列主體內(nèi)容均來(lái)自初高中階段對(duì)數(shù)學(xué)的領(lǐng)悟。
? ? 1990年高考填自愿時(shí)曾想報(bào)考國(guó)際數(shù)學(xué)大師陳省身所在的南開(kāi)大學(xué)數(shù)學(xué)系，聽(tīng)老師建議上了西交大電氣工程系電器專業(yè)，電氣工程屬于西交大的王牌，電器是王牌中的王牌。北大屬于理科類大學(xué)，在工科類大學(xué)中，90年代以及之前，西交大實(shí)力只在清華之后。下圖是1989年國(guó)家教委聯(lián)合國(guó)家權(quán)威機(jī)構(gòu)在報(bào)紙上公布的工科大學(xué)排名，不是現(xiàn)在社會(huì)機(jī)構(gòu)的排名。老一輩有一些知道有這樣一句話:'北有清華，南有交大'，指的是當(dāng)時(shí)的上海交大，但50年代交大西遷，從上海搬到西安后，交大主體在西交，錢學(xué)森本科老師在西交。至于后來(lái)的衰落，主要是因?yàn)楦母镩_(kāi)放后經(jīng)濟(jì)發(fā)展、地理位置、資金投入等原因，孔雀東南飛是趨勢(shì)。
? 從高中二年級(jí)上學(xué)期開(kāi)始接觸某個(gè)和學(xué)習(xí)無(wú)關(guān)的領(lǐng)域，課余看那方面的書(shū)籍，有時(shí)晚自習(xí)之后外出到河堤上練一會(huì)，幾乎沒(méi)有考大學(xué)的焦慮和壓力，還真不擔(dān)心自己能不能考上大學(xué)。在大學(xué)階段，更是癡迷于那個(gè)領(lǐng)域，很少去上課也很少去圖書(shū)館，去圖書(shū)館也主要是看那領(lǐng)域的雜志，很少去上課，即使上課也是心不在焉和中途逃課，大學(xué)4年絕大多數(shù)時(shí)間就是看那領(lǐng)域的書(shū)籍、打撲克升級(jí)和睡覺(jué)，學(xué)習(xí)沒(méi)放在心上，也不覺(jué)得有必要放心上。大學(xué)考試時(shí)不只是數(shù)學(xué)，其他理工科課程考前突擊學(xué)習(xí)幾天就能考出不錯(cuò)的成績(jī)，別人還以為是天才，數(shù)學(xué)競(jìng)賽也能獲獎(jiǎng)。數(shù)學(xué)思維上了層次，其他理工科課程也能受益。這些就是靠上大學(xué)之前通過(guò)數(shù)學(xué)思想方法鍛煉出來(lái)的數(shù)學(xué)思維能力和自學(xué)能力，靠先前鍛煉出來(lái)的深厚的數(shù)學(xué)思維內(nèi)功。
? ? 個(gè)人覺(jué)得真領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)思想方法，真會(huì)自學(xué)，大學(xué)大多數(shù)理工科專業(yè)不難，至少本科，都是爛大街的知識(shí)，不需要老師教，自學(xué)就行，除非是很前沿的并且是沒(méi)有書(shū)籍的才需要精通的老師傳授和指點(diǎn)。另外真的把數(shù)學(xué)自學(xué)能力鍛煉出來(lái)了，一般會(huì)識(shí)別書(shū)籍的質(zhì)量好壞。理工科的書(shū)籍，看看目錄，翻幾頁(yè)就知道書(shū)籍好不好，書(shū)籍作者的功底怎樣，好的書(shū)籍有較完整的體系，對(duì)概念之間、知識(shí)點(diǎn)之間的區(qū)別與聯(lián)系講的比較清楚，對(duì)難點(diǎn)和重點(diǎn)講的比較透徹，有一些方法論，有一定的思想深度，不能只有干巴巴的知識(shí)。學(xué)校給個(gè)課程表，有圖書(shū)館等資源，找好書(shū)自學(xué)比絕大多數(shù)老師教的效果好多了，并且還節(jié)約時(shí)間。
? ? 畢業(yè)后6年轉(zhuǎn)行到IT行業(yè)，也沒(méi)覺(jué)得軟件編程有多難，看了幾本核心的書(shū)籍，半年就熟悉了軟件知識(shí)體系和核心技能，曾先后在華為(深圳)、阿里(杭州)、大疆創(chuàng)新從事軟件開(kāi)發(fā)，擔(dān)任技術(shù)專家和軟件架構(gòu)師。雖然高中畢業(yè)后就沒(méi)再鉆研數(shù)學(xué)，幾十年后，碰到小初高的難題和奧數(shù)題，雖然是沒(méi)見(jiàn)過(guò)的題型，絕大多數(shù)題仍能運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法探索出解題方法。即使是一些小學(xué)數(shù)學(xué)難題或奧數(shù)題，沒(méi)有掌握扎實(shí)的數(shù)學(xué)思想方法和思維方法，博士教授也是束手無(wú)策無(wú)可奈何。真正數(shù)學(xué)好不只是難度大的考試分?jǐn)?shù)高，這個(gè)只是必要不充分條件，充要條件是掌握數(shù)學(xué)思想方法，這個(gè)真掌握了，考試分?jǐn)?shù)不在話下，考試成績(jī)必然好。悟道了數(shù)學(xué)思想方法論，才能保證思維靈活上層次，才能反哺其他理工科課程的學(xué)習(xí)，要感覺(jué)學(xué)其他理工科課程也輕松，例如物理和其他理工科課程。理工科自學(xué)能力和多年后解決新題型數(shù)學(xué)難題的能力，以及是否能把數(shù)學(xué)思想方法與哲學(xué)思想融匯貫通，相互印證的能力，是驗(yàn)證自己是否真掌握數(shù)學(xué)思想方法，是否在數(shù)學(xué)領(lǐng)域真開(kāi)竅真開(kāi)悟以及悟道層次的一種有效方式。
? 現(xiàn)在的年代接受初等教育和高等教育是很容易的，現(xiàn)在的文盲不是不識(shí)字和沒(méi)知識(shí)的人，而是不會(huì)自學(xué)，不知道思想方法重要性的人，沒(méi)有系統(tǒng)掌握思維方法，沒(méi)有正確思想方法論的人。
是否有必要學(xué)奧數(shù)
? 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，我們除了要掌握數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之外，學(xué)有余力且有興趣在數(shù)學(xué)思維方面進(jìn)一步提升自己的同學(xué)，在初高中階段還要注重接受數(shù)學(xué)思想方法的熏陶和學(xué)習(xí)，這才是本，學(xué)奧數(shù)的主要目的也是為了領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，通常奧數(shù)里面的數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)容多一些，奧數(shù)題也比較適合用來(lái)闡釋數(shù)學(xué)思想方法，當(dāng)然并不一定只有奧數(shù)題才能起到這個(gè)作用，用一些簡(jiǎn)單的題或有些難度的題也適合用來(lái)闡釋數(shù)學(xué)思想方法，所以學(xué)奧數(shù)是末，數(shù)學(xué)思想方法才是關(guān)鍵本質(zhì)，不要本末倒置。
? 大多奧數(shù)培訓(xùn)和數(shù)學(xué)思維培訓(xùn)都是本末倒置和掛羊頭賣狗肉，不注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的奧數(shù)培訓(xùn)班很多，這就是在忽悠學(xué)生和家長(zhǎng)。缺少數(shù)學(xué)思想方法教育的奧數(shù)是走邪路，誤人子弟。參加這樣的培訓(xùn)班，雖然比不參加的要強(qiáng)，但因?yàn)闆](méi)有思想方法，所以只是短期有效果，不能走遠(yuǎn)，難以獨(dú)立解決新的難題。另外即使打著數(shù)學(xué)思維培訓(xùn)的幌子，真正有水平的數(shù)學(xué)思想的培訓(xùn)很少。另一方面是有關(guān)部門不作為，教學(xué)大綱中缺少數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，只提及從牙縫里滲透一點(diǎn)數(shù)學(xué)思想方法，至今沒(méi)有初高中階段的數(shù)學(xué)思想方法課本，只有純教數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的課本。對(duì)老師的數(shù)學(xué)思想方法的水平也沒(méi)有作考核和要求。
哲學(xué)層面的理解
? 數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)思維中的道，但還不是最高的道，它還只是具體學(xué)科中的道。哲學(xué)研究世界觀和方法論，也就是形而上的道，這個(gè)就比數(shù)學(xué)中的道層次要高一些?？茖W(xué)的科學(xué)是哲學(xué)，任何具體科學(xué)或任何學(xué)問(wèn)，沒(méi)有上升到形而上的哲學(xué)層面（道），總是處于形而下（具體學(xué)科中的道和術(shù)），那通常說(shuō)明這種科學(xué)和學(xué)問(wèn)還沒(méi)完全成熟，還不完美，境界還不夠高，類似地，如果個(gè)體/個(gè)人沒(méi)有悟道形而上的道，那就說(shuō)明他的思維層次還不夠高。這里我們來(lái)高大上一下，和哲學(xué)套下近乎，這些數(shù)學(xué)思想再升華到哲學(xué)上，就是辯證法辯證思維：矛盾觀，矛盾對(duì)立統(tǒng)一，相互轉(zhuǎn)化；聯(lián)系觀，萬(wàn)物普遍聯(lián)系/關(guān)系，聯(lián)系的多樣性、普遍性、客觀性等，聯(lián)系是橋梁是紐帶。以及運(yùn)動(dòng)發(fā)展觀，整體觀、質(zhì)變量變、否定之否定。這些哲學(xué)思想必須要能指導(dǎo)具體科學(xué)，指導(dǎo)思考過(guò)程、幫助人們理解思維規(guī)律。
? 聯(lián)想、類比、歸納、抽象等等這些數(shù)學(xué)思想歸根揭底是萬(wàn)物包括數(shù)學(xué)對(duì)象之間存在各種類型的聯(lián)系和對(duì)立統(tǒng)一，才衍生出這些數(shù)學(xué)思想方法來(lái)反應(yīng)聯(lián)系的多樣性和普遍性。
? 即使是知識(shí)點(diǎn)和各種概念，也應(yīng)該要融匯貫通，知曉它們之間的聯(lián)系關(guān)系和區(qū)別，要有這樣的習(xí)慣和意識(shí)。簡(jiǎn)單的如加法和乘法的聯(lián)系，可能學(xué)生們覺(jué)得這個(gè)聯(lián)系太簡(jiǎn)單了，以致于不重視這種習(xí)慣。其實(shí)應(yīng)該給他們多講幾個(gè)深刻些的例子來(lái)重視培養(yǎng)這種習(xí)慣。例如，我在教小孩用抽屜原理解題時(shí)，忽然聯(lián)想類比到平均數(shù)，意識(shí)到抽屜原理和平均數(shù)之間的關(guān)系，抽屜原理就是離散情況下的平均數(shù)，又給他補(bǔ)充講解離散/量子和連續(xù)的區(qū)別和關(guān)系，借助連續(xù)情況下的平均數(shù)讓他理解抽屜原理中有時(shí)加1有時(shí)不加1是為什么，這樣就把零散的知識(shí)點(diǎn)連成片，融匯貫通形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)知識(shí)體系結(jié)構(gòu)，借助對(duì)容易理解的平均數(shù)，加深了對(duì)抽屜原理的理解掌握。在教小孩將軍飲馬問(wèn)題時(shí)，同時(shí)教他光反射定律，將軍飲馬走的最短路線就是光反射時(shí)走的路線，告訴他光真聰明，將軍或馬如果是光，就會(huì)自動(dòng)走最短線路，就不需要你來(lái)解將軍飲馬問(wèn)題了，讓他明白大自然的神奇，也讓他明白事物之間存在各種關(guān)聯(lián)和聯(lián)想類比，再讓他總結(jié)光反射和將軍飲馬中都有對(duì)稱。
數(shù)學(xué)中研究各種關(guān)系包括數(shù)量關(guān)系，要善于觀察發(fā)現(xiàn)題目中隱藏的關(guān)系，利用好關(guān)系。
真能了解萬(wàn)物的普遍聯(lián)系，建立了關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，融匯貫通，沒(méi)有孤島，又加上沒(méi)有知識(shí)盲點(diǎn)，那就會(huì)游刃有余，左右逢源，隨心所欲，思維豈能不靈活？
? 碰到問(wèn)題時(shí)和解題碰壁時(shí)，要多方面多維度反思：反思先前的觀察和審題的視角是否有問(wèn)題，是否能從新的角度來(lái)觀察和審題；反思是否用好和用足了已知條件和結(jié)論；反思先前的思想方法和解題行動(dòng)。在反思基礎(chǔ)上做出調(diào)整。
? 數(shù)學(xué)問(wèn)題千變?nèi)f化,對(duì)應(yīng)地，我們的思維也要靈活地變化。要想既快又準(zhǔn)的解題,總用一套固定的方案是行不通的,必須具有思維的發(fā)散性、靈活變通性：善于根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識(shí),提出靈活的設(shè)想和解題方案，碰壁時(shí)能及時(shí)反思，調(diào)整變換思路，這就是解題策略或思維策略。思維要靈活地變化，但并不是天馬行空，變中也有不變，一定程度上也是有章可循的，這就是升華總結(jié)出來(lái)的一套思想方法論(包括解題策略方法論)。
? 思維要靈活變通，很大程度上離不開(kāi)發(fā)散思維、辯證思維，解題策略：如抽象化原則，利用抽象與具體的辯證關(guān)系來(lái)解題(抽象化原則：當(dāng)覺(jué)得陷入具體化的泥潭中時(shí)，要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行抽象，去粗取精去偽存真，過(guò)濾剝離一些非本質(zhì)的噪聲和干擾因素，得到本質(zhì)的抽象的問(wèn)題描述和本質(zhì)的問(wèn)題模型，在抽象的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究，再把研究結(jié)果運(yùn)用到原來(lái)的問(wèn)題上；具體化原則：當(dāng)對(duì)抽象的問(wèn)題沒(méi)有經(jīng)驗(yàn)，缺少感性認(rèn)識(shí)和理性認(rèn)識(shí)時(shí)，以退為進(jìn)，先研究具體的簡(jiǎn)單的簡(jiǎn)化的情況，得到感性認(rèn)識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、啟發(fā)、規(guī)律，有一些經(jīng)驗(yàn)或理性認(rèn)識(shí)之后再回到抽象問(wèn)題上。總體上，靈活運(yùn)用抽象和具體的關(guān)系進(jìn)行變通就是一句話：抽象不行就具體，具體不行就抽象)，利用一般與特殊的辯證關(guān)系來(lái)解題。解題策略不全是辯證思維，一些解題策略如基于特征驅(qū)動(dòng)的思維、合情推理、合情假設(shè)&合情設(shè)想&猜想&想象、基于意圖的思維等就不屬于辯證思維，但通常在解題中要結(jié)合辯證思維。
? ? 古代典籍例如道德經(jīng)和易經(jīng)中就處處體現(xiàn)辯證思維，例如道德經(jīng)第②章中的'有無(wú)相生，難易相成，長(zhǎng)短相較，高下相傾，音聲相和，前后相隨'。反者道之動(dòng)，我們要善于運(yùn)用辯證法中矛盾的對(duì)立統(tǒng)一相互聯(lián)系相互轉(zhuǎn)化來(lái)解題。在解題過(guò)程中包括反思過(guò)程中，辯證法的矛盾觀，對(duì)立統(tǒng)一，以及普遍聯(lián)系觀等都對(duì)我們的解題思維有助益和指導(dǎo)，在解題中要靈活運(yùn)用如下存在對(duì)立統(tǒng)一辯證關(guān)系的概念來(lái)幫助思考問(wèn)題，這是一套辯證思維詞匯表，指導(dǎo)我們思考過(guò)程中的解題策略，勇于用開(kāi)放的心態(tài)有意識(shí)的打破思維定勢(shì)和機(jī)械教條，走出思維死胡同和思維障礙，多維度多角度全面思考問(wèn)題，數(shù)學(xué)課本中特有的逆運(yùn)算和概念以及存在相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的、相對(duì)的、相反的概念和知識(shí)點(diǎn)在辯證思維詞匯表中就不列出了，例如加與減、加與乘、各種運(yùn)算與逆運(yùn)算(如平方與開(kāi)方、對(duì)數(shù)與指數(shù))、函數(shù)與反函數(shù)、定理與逆定理、數(shù)與形、奇數(shù)與偶數(shù)、代數(shù)與幾何、方程與函數(shù)、方程&等式與不等式、最大值與最小值、點(diǎn)與線、線與面、平面與立體、抽屜原理與平均數(shù)。
辯證思維詞匯表
? 詞匯表內(nèi)容：對(duì)立與統(tǒng)一、和諧與不和諧、互補(bǔ)&相容與互斥、具體與抽象、特殊與一般、直接與間接、思想與方法、形式與內(nèi)容、感性認(rèn)識(shí)與理性認(rèn)識(shí)、直覺(jué)與理性、純粹性和完備性、邏輯思維與非邏輯思維、邏輯與直覺(jué)、二值邏輯思維與多值思維&模糊思維&辯證思維、辯證邏輯與形式邏輯、個(gè)性與共性、求同與求異、重復(fù)與唯一、泛化與窄化、同構(gòu)與異構(gòu)、相同-相近(相似)-相異-相反、相關(guān)與無(wú)關(guān)、相似與接近、局部相同/相近與整體相同/相近、模式與同構(gòu)、狀態(tài)與過(guò)程、問(wèn)題空間與解空間、融合與沖突(分歧)、內(nèi)在與外在、現(xiàn)象(表象)與本質(zhì)、形(象)與質(zhì)(神)、形似與神似、目標(biāo)(目的、意圖)與手段&做什么與怎么做、機(jī)制與策略、過(guò)程與結(jié)果、原因與結(jié)果、條件與結(jié)論(題設(shè)、已知條件與目標(biāo)結(jié)論/答案，證明題中的結(jié)論也相當(dāng)于是已知條件)、充要條件與必要條件&充分條件、等價(jià)(等效)與不等價(jià)、歸納與演繹、合情推理與演繹推理、體與用、形而上與形而下、主要(關(guān)鍵、重點(diǎn))與次要(輔助)、主與次(從、輔)&主與客、主角與配角、動(dòng)與靜、平等與等級(jí)(尊卑、歧視)、自由與約束(限制)、孤立&獨(dú)立與聯(lián)系(聯(lián)合)、依賴與獨(dú)立、部分&個(gè)體&局部與整體&群體&系統(tǒng)&集合、完整與殘缺、元素與集合&個(gè)體與集體、點(diǎn)與線、線與面、平面與立體、平面與曲面、二維與三維&多維、符合(滿足)與違背違反(反例）、不規(guī)則與規(guī)則、規(guī)范與不規(guī)范、形式化與非形式化、質(zhì)變與量變、突變與漸變、結(jié)構(gòu)-(屬性)性質(zhì)-功能(作用)、形式與功能、性質(zhì)與特征、定量與定性、包容與排斥、少數(shù)與多數(shù)、常規(guī)與非常規(guī)、推理與想象&猜想&設(shè)想、否定與繼承、決定性與輔助性、作用與反作用、相關(guān)(關(guān)聯(lián))與無(wú)關(guān)(獨(dú)立)、任意與限定、限定與非限定、物理與邏輯、通用與專用、分裂&分類與統(tǒng)一、線性與非線性、靈活與呆板、破與立、進(jìn)與退、升格與降格、歷史與邏輯、解構(gòu)與重構(gòu)、趨同(同一化、統(tǒng)一化、標(biāo)準(zhǔn)化、規(guī)范化、模式化)與向異、保守與激進(jìn)、理想與現(xiàn)實(shí)、粗略與細(xì)致、良性與惡性、膚淺與深刻、簡(jiǎn)單與復(fù)雜、難與易、已知與未知、確定與待定、確定性與不確定性、可控與不可控、構(gòu)造性與非構(gòu)造性、構(gòu)成與生成、預(yù)設(shè)與生成、發(fā)揚(yáng)(選擇、繼承)與拋棄、取與舍、熟悉與陌生、變量與常量、順應(yīng)與同化、改造(改進(jìn)、變更)與創(chuàng)造、同化&歸一化與異化、障礙(矛盾)與助益、（目標(biāo))意圖與(功能)功用、變化與恒定(穩(wěn)定)、嚴(yán)謹(jǐn)與猜想(想象設(shè)想)、嚴(yán)格與寬松、完備與欠缺、通用與專用、一元與多元/單一與多樣&多元&多面、增與減&遞增與遞減、高與低、目標(biāo)意圖與功能實(shí)現(xiàn)、美與丑、平衡與失調(diào)(傾向)、平均與參差、擬合與逼近、公平(均衡、中庸調(diào)和)與偏向、深度與廣度、和諧與沖突、規(guī)整(秩序)與雜亂、耦合與解耦、緊耦合與松耦合、折疊與展開(kāi)、松散與緊密、分解與組合(聚和)&分與合、分解與重組(重構(gòu))、混亂與秩序(有序)、熵增與熵減、分析與綜合、內(nèi)(里)與外(表）、主觀與客觀、主動(dòng)與被動(dòng)、攻與守、主與從、自變量與因變量、絕對(duì)與相對(duì)、時(shí)間與空間、統(tǒng)一與分裂(分化)、偶然與必然、戰(zhàn)略與戰(zhàn)術(shù)、本(基礎(chǔ))與末、根源與末流、聚與散、先與后、頭與尾、開(kāi)始與結(jié)束、虛與實(shí)、實(shí)在與虛構(gòu)/虛擬、自然物與人造物、存在與構(gòu)造、存在與虛無(wú)、新與舊、有與無(wú)、遞推與遞歸、前驅(qū)與后繼、過(guò)去-現(xiàn)在-未來(lái)、先天與后天、無(wú)為與有為、平衡與失衡、來(lái)與往、凸與凹、直與曲、橫向與縱向、真與假、是-否-未知、成與敗、得與失、長(zhǎng)與短、顯與隱(潛)、有形與無(wú)形、剛與柔&剛性與柔性、明與暗、陰與陽(yáng)、左與右、上與下、前與后、進(jìn)與出、臺(tái)前與幕后、順與逆、升維與降維、高維與低維、升次與降次、高階與低階、弱化(退化&泛化)與強(qiáng)化、疊加與分離、折疊與展開(kāi)、扭曲與還原、開(kāi)放(開(kāi))與封閉(閉)、分(開(kāi))與合、分散(分布)與集中&聚與散、發(fā)散與收斂&定向、放與收、寬泛與嚴(yán)格、允許與禁止、連續(xù)與離散、連貫與跳躍、相同(統(tǒng)一)與不同 (差異)、區(qū)別與聯(lián)系、有限與無(wú)限、極大與極小、精確與近似、模糊與清晰、有序與無(wú)序(混亂)、動(dòng)(運(yùn)動(dòng))與靜(靜止)/靜態(tài)與動(dòng)態(tài)、割(拆分)與補(bǔ)(拼湊)&裁剪與增補(bǔ)、解構(gòu)與整合、忽略與保留、正面與反(側(cè))面、放與縮/放大與縮小/擴(kuò)張推廣&收縮內(nèi)聚、正與反、正道與岐道、順與逆、損與益、消與長(zhǎng)、彼與此、優(yōu)與劣、好與壞、快與慢、大與小、最大與最小、最大(小)與極大(小)、程式化模式化與個(gè)性化&靈活性、微與著、宏觀與微觀、強(qiáng)與弱、用弱(懷柔)與用強(qiáng)、多與少、遠(yuǎn)與近、利與弊、有界與無(wú)界、廣義與狹義、決定與影響、直譯與意譯、先決條件(前置)與后置條件、優(yōu)先與平等、矛盾與和諧、明示與暗示、巧與拙、硬與軟、活性與惰性、對(duì)與錯(cuò)、肯定與否定、經(jīng)驗(yàn)與創(chuàng)新、原型與模型、串聯(lián)與并聯(lián)、馬甲與本真、轉(zhuǎn)化-轉(zhuǎn)移-轉(zhuǎn)換(變換)、改造與構(gòu)造、名詞與動(dòng)詞、想與做、思維與思想、(數(shù)據(jù))信息與方法、想什么與怎么想、P問(wèn)題與NP問(wèn)題、what與how(是什么、想什么、做什么與怎么想、怎么做)、and與or(與和或）、and與not等。
這套詞匯表幾乎囊括了在數(shù)學(xué)思維過(guò)程中需要關(guān)注的對(duì)立面，以及一些相關(guān)的、相近的發(fā)散維度，在"對(duì)立面進(jìn)退互化"解題策略中會(huì)用到這些對(duì)立面。
? 我們熟知數(shù)學(xué)中一些常用的思維方法和策略：數(shù)形結(jié)合、正難則反、抽象到具體、一般到特殊/特殊化、直接到間接(迂回策略)、以簡(jiǎn)馭繁、數(shù)形結(jié)合、進(jìn)退互用、化生為熟、倒順相還、動(dòng)靜轉(zhuǎn)換、分合相輔。其實(shí)基于上面的對(duì)立統(tǒng)一辯證思維詞匯表衍生出來(lái)的“相互結(jié)合、相互轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想和策略遠(yuǎn)遠(yuǎn)不只這10多種，至少可以上百種：例如除了我們熟知的“數(shù)與形”衍生出的“數(shù)形結(jié)合思想”，上面列出的一長(zhǎng)串(至少200多種)存在辯證關(guān)系的每對(duì)概念(概念對(duì))都可以衍生出對(duì)應(yīng)的結(jié)合思想或進(jìn)退互化解題策略，例如辯證思維詞匯表中的”宏觀與微觀”可以衍生出”宏微結(jié)合思想”及”宏微相互轉(zhuǎn)化策略”。再考慮多維度的組合，例如每個(gè)維度有N種策略，那兩個(gè)維度就有種策略，它們都是在數(shù)學(xué)解題中(也不限于數(shù)學(xué)領(lǐng)域，在其他領(lǐng)域也是適用的，例如物理)可能用來(lái)幫助我們切換思維視角和思維方向，確定或重新定位思維起點(diǎn)和切入點(diǎn)(突破口)，進(jìn)而指引我們探索解題途徑的，啟發(fā)我們靈活思維的，例如變更數(shù)學(xué)題的一些形式、變更思維的內(nèi)容或變更解題操作。舉個(gè)例子，辯證思維詞匯表中的抽象與具體，當(dāng)我們碰到抽象的數(shù)學(xué)題時(shí)，如果不好解決，那就變?yōu)榫唧w問(wèn)題，從解決具體問(wèn)題中獲得經(jīng)驗(yàn)啟發(fā)規(guī)律之后，再回到抽象問(wèn)題，此時(shí)可能就有解決方法了，這就是抽象到具體的解題策略，也是辯證法的否定之否定的循環(huán)往復(fù)之道(抽象到具體，再到抽象)，反過(guò)來(lái)就是具體到抽象的策略。
辯證思維詞匯表不可小看，在解題中要能想到這些，時(shí)刻提醒自己要辯證看問(wèn)題，在數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中也會(huì)碰到很多這樣存在對(duì)立統(tǒng)一或相對(duì)的、相互聯(lián)系的或有相似性的一些概念和運(yùn)算，例如乘法與除法、加與減、相反數(shù)、倒數(shù)、遞增與遞減、最大值與最小值、各種反函數(shù)和逆運(yùn)算。每個(gè)學(xué)數(shù)學(xué)的都應(yīng)該有類似如上的一套詞匯表，當(dāng)然也不限于這些，在實(shí)踐中要不斷地豐富它完善它，或根據(jù)具體問(wèn)題、具體題目的已知條件、結(jié)論在數(shù)與形方面的各種特征來(lái)聯(lián)想出&提取出存在辯證關(guān)系(存在相對(duì)的、相似的、相反的、相互聯(lián)系的)概念對(duì)。辯證地看問(wèn)題絕不是很多人理解的那樣，認(rèn)為是一句空話，是?；^的詭辯，在第三篇文章以及后續(xù)的文章中將看到我們實(shí)實(shí)在在地利用一些辯證關(guān)系在幫助解題，例如抽象與具體，一般與特殊，直接與間接、數(shù)形結(jié)合(數(shù)與形)、圖形特征中的封閉與展開(kāi)(數(shù)學(xué)思想方法揭秘3-3中第3題的具體與抽象、第7題中的封閉與展開(kāi)等)。再比如常量/數(shù)字與變量(未知數(shù))，它們的界限和劃分不是一成不變的，在解題時(shí)有時(shí)要把常量/數(shù)字看成變量，看成變量的一個(gè)具體取值，把題目中的變量看成常量，變量和常量角色相互轉(zhuǎn)化，這個(gè)常量與變量的辯證關(guān)系也有具體的解題例子來(lái)作示范。先前講到的抽象和具體的靈活運(yùn)用，正向思維和逆向思維，都是說(shuō)明要靈活辯證的看問(wèn)題，不要固化僵化自己的觀點(diǎn)、視角、思維。這套詞匯表和辯證思維是指導(dǎo)我們靈活變通思考問(wèn)題的，辯證法就是靈活的變化法。在解題反思、解題策略制定、數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用上它們都能發(fā)揮戰(zhàn)術(shù)戰(zhàn)略上的指導(dǎo)作用。解題反思的核心是總結(jié)和識(shí)別解題過(guò)程中的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，肯定要有辯證思維。解題策略例如正難則反的逆向思維、基于特征驅(qū)動(dòng)的思維(基于特征展開(kāi)思維，進(jìn)行聯(lián)想類比等思維活動(dòng))，還有直接不行就間接，抽象不行就具體，具體不行就抽象，這些解題策略其實(shí)都是來(lái)源于這套詞匯表，那一個(gè)不體現(xiàn)辯證思維？數(shù)學(xué)思想方法中的轉(zhuǎn)化，將復(fù)雜轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單、不熟悉變成熟悉，這些也是來(lái)自這套詞匯表，都體現(xiàn)了辯證思維。在比如數(shù)形結(jié)合思想，也是因?yàn)橛袛?shù)與形的辯證關(guān)系。
? 真體會(huì)到如何利用辯證法來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，真在數(shù)學(xué)解題中有實(shí)證，就能體會(huì)到辯證法在數(shù)學(xué)思維過(guò)程中的巨大指導(dǎo)作用，它可幫助我們制定解題策略(廣義上就是思維策略)。學(xué)以致用，理論要用于實(shí)踐，學(xué)了辯證法卻在具體的學(xué)科中例如數(shù)學(xué)中不會(huì)運(yùn)用它，沒(méi)有實(shí)際體會(huì)到它的作用的人，學(xué)的是死的辯證法，碰到難題，連紙上談兵都不如，我們要活學(xué)活用靈活使用。數(shù)學(xué)思想方法體現(xiàn)了辯證法，數(shù)學(xué)思想方法結(jié)合辯證法在數(shù)學(xué)中的靈活運(yùn)用見(jiàn)數(shù)學(xué)思想方法揭秘-3-1、數(shù)學(xué)思想方法揭秘-3-3等文章，將會(huì)看到如何利用辯證法中的一些觀點(diǎn)來(lái)指導(dǎo)解題思維過(guò)程，例如矛盾觀點(diǎn)來(lái)指導(dǎo)我們的解題策略，例如具體與抽象、特殊與一般、直接與間接。
? 從數(shù)學(xué)問(wèn)題域到解決方案域，就是從起點(diǎn)(已知條件)到目標(biāo)終點(diǎn)(答案)的狀態(tài)空間的逐步遷移，在起點(diǎn)到目標(biāo)終點(diǎn)(答案)之間，存在很多路徑或者不知道有什么路徑，特別是最開(kāi)始的路徑，此時(shí)我們要善于運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法和解題策略來(lái)探索/發(fā)現(xiàn)解題路徑解題思路，一步步接近終點(diǎn)。
? 有意識(shí)和無(wú)意識(shí)，自覺(jué)和自發(fā)，科學(xué)和藝術(shù)，從認(rèn)識(shí)論的角度來(lái)講一下。我思故我在，如果你平時(shí)沒(méi)有掌握一些數(shù)學(xué)思想方法或完整的數(shù)學(xué)思想方法論，沒(méi)有辯證思維意識(shí)習(xí)慣，沒(méi)有掌握上面提到的的辯證思維詞匯表，你碰到問(wèn)題就很難有意識(shí)地自覺(jué)利用這些思想方法，就難以辯證思維，難以從辯證思維詞匯表的多角度出發(fā)來(lái)靈活思考問(wèn)題，你的思維層次難以達(dá)到應(yīng)有的高度，不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中，思維靈活性一般也是受限的，你的認(rèn)識(shí)是自發(fā)的，無(wú)意識(shí)的，此時(shí)主要靠你的偶然性因素和無(wú)意識(shí)的習(xí)慣和潛意識(shí)，例如可遇不可求的靈感，靠天才的思維藝術(shù)而不是科學(xué)思維。例如一些幾何題，如果你心中有辯證思維詞匯表中的不規(guī)則和規(guī)則、整體和局部、割與補(bǔ)的辯證關(guān)系概念對(duì)，大腦思緒在它們的引導(dǎo)下，那你就能自覺(jué)識(shí)別出或自覺(jué)認(rèn)識(shí)到幾何圖形的不規(guī)則性，能較快地想到把不規(guī)則圖形修補(bǔ)成規(guī)則圖形來(lái)解題，相反，如果你沒(méi)有掌握這些，那你可能運(yùn)氣好碰巧能認(rèn)識(shí)到圖形的不規(guī)則性或走了較多彎路，花費(fèi)較長(zhǎng)時(shí)間無(wú)意識(shí)自發(fā)地認(rèn)識(shí)到圖形的不規(guī)則性。
? 有意識(shí)思考和無(wú)意識(shí)思考存在辯證關(guān)系，是相互聯(lián)系相互轉(zhuǎn)化的。我們要提高思維能力，一般是先有意后無(wú)意，當(dāng)然也不排斥先無(wú)意再有意，例如靈感直覺(jué)思維到邏輯思維。先有意后無(wú)意：先經(jīng)過(guò)有意識(shí)的思考，逐步培養(yǎng)無(wú)意識(shí)的習(xí)慣，例如我們先有意識(shí)地運(yùn)用本系列講述的數(shù)學(xué)思想方法和策略、各種思維方法(邏輯思維、直覺(jué)思維、發(fā)散思維、辯證思維、批判思維）和辯證思維詞匯表，大腦中就會(huì)逐漸潛移默化，融入到下意識(shí)，變成我們無(wú)意識(shí)的思考習(xí)慣，以后碰到問(wèn)題就能比較自然地運(yùn)用。
