作者：王國波
原創(chuàng)數(shù)學(xué)思想方法揭秘系列，以自身自學(xué)數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)結(jié)合哲學(xué)思想來悟道數(shù)學(xué)思維。閱讀本篇文章之前，強(qiáng)烈建議按順序從前言看起。
上一篇：數(shù)學(xué)思想方法揭秘-3-5(原創(chuàng))。
這篇文章先講主要(關(guān)鍵&重點(diǎn))與次要的辯證關(guān)系在數(shù)學(xué)思維過程中的運(yùn)用，就是辯證法中的主要矛盾與次要矛盾、矛盾的主要方面和次要方面的實(shí)際運(yùn)用。
如果對辯證法中的主要矛盾知識點(diǎn)不熟悉，可以先看看百度百科上的主要矛盾。
一個復(fù)雜的問題或事物，它通常包含影響或決定它的多種因素，這些因素(部分或全部)可能是相互獨(dú)立的，更有可能是相互聯(lián)系相互牽制，錯綜復(fù)雜的。對一些復(fù)雜的問題，我們可以分析它包含的因素，找出決定或影響它的主要因素(主要矛盾)，從抓主要矛盾入手，優(yōu)先關(guān)注和聚焦于主要矛盾，適當(dāng)兼顧考慮次要矛盾，提綱挈領(lǐng)找到解決問題的突破口，正所謂擒賊先擒王。
第18題（初中題）
為何按R的值進(jìn)行枚舉而不是Q？也是因?yàn)樯厦娴牡仁街蠷比Q要關(guān)鍵，Q的值和R的平方在大多數(shù)情況下(R取4、5、6、7、8、9時)不在一個數(shù)量級。在此等式右邊，數(shù)量大的起決定作用，也就是和Q相比，R是矛盾的主要方面。其實(shí)用Q進(jìn)行枚舉來試驗(yàn)下，和用R來枚舉對比，就馬上明白優(yōu)劣了。有時在解題中通過多次試驗(yàn)試探，在試驗(yàn)中進(jìn)行對比、反思總結(jié)、揚(yáng)棄、優(yōu)選也是正常的。并不是說數(shù)量大就一定是主要的關(guān)鍵的，要看具體問題和具體情況，在這個等式中是這樣。
總結(jié)與點(diǎn)評：這題運(yùn)用了抓主要對象、關(guān)鍵對象的策略、估值思想、分類討論、枚舉(窮舉)。
主要與次要：辯證法矛盾論中提到主要矛盾、次要矛盾以及矛盾的主要方面和次要方面，教導(dǎo)我們要抓主要矛盾和矛盾的主要方面，在這道題中就得到實(shí)踐運(yùn)用，可見辯證法不是空洞的，要在具體的實(shí)踐中運(yùn)用和體會。通過觀察、分析、比較，識別出主要矛盾和次要矛盾或矛盾的主要方面和次要方面，識別出關(guān)鍵對象特殊對象。這些對象在問題中起到主導(dǎo)支配作用，擒賊先擒王，解題時抓住主要對象關(guān)鍵對象，圍繞它，以它為中心為重點(diǎn)，從它入手找突破口，提綱挈領(lǐng)，利用好它，處理好它。此題多處地方用到了識別出主要(關(guān)鍵、重點(diǎn))對象和抓主要的解題策略。另外我們在解方程和因式分解時使用主元法，本質(zhì)也是運(yùn)用了主要與次要中的抓主要思想。
? ?抓主要矛盾和關(guān)鍵對象，把握好利用好這些關(guān)鍵的對象和關(guān)鍵屬性關(guān)鍵特征。這些在傳統(tǒng)文化中也有類似的論述，例如見機(jī)行事、天機(jī)，“機(jī)(也作幾)”就是萬事事物的關(guān)鍵或主要矛盾，就是萬事萬物變化的樞紐，或者說叫關(guān)鍵環(huán)節(jié)、關(guān)鍵點(diǎn)、要害、機(jī)關(guān)、玄關(guān)(至玄至妙之機(jī)關(guān)，玄牝之門)、玄竅、玄機(jī)、題眼。機(jī)既然可作”幾”，這表明它可能在形態(tài)上比較細(xì)微，看上去微不足道不起眼，但不要輕視它的作用，很多時候它是解決問題的關(guān)鍵。
? 我們要洞察"機(jī)”點(diǎn)，也就是察機(jī)，相關(guān)的還有知機(jī)、待機(jī)、乘機(jī)、造機(jī)(主動創(chuàng)造有利的契機(jī))，這些在《孫子兵法》中都有精辟的論述，包括權(quán)謀規(guī)劃(對應(yīng)解題策略)，解題和打仗有些類似之處，都是解決問題，看看孫子兵法對悟道數(shù)學(xué)思維有助益。
? 提到主要次要，大家可能會聯(lián)想到平等與等級(在這個問題上下文中，用尊卑，歧視不太合適，所以用等級)。平等(對稱)在很多場景包括日常生活中是應(yīng)該提倡的，先前的博文中，我們也曾運(yùn)用對稱性來解決數(shù)學(xué)問題，但社會上有些場景還是需要存在合理的等級制度，需要有一個核心，需要有關(guān)鍵主要的角色對象存在，類似地，在數(shù)學(xué)解題中，有時也要分辨、識別出核心(主要對象)，抓主要對象來提綱挈領(lǐng)，要圍繞關(guān)注主要對象，從主要對象找到解題突破口，不要眉毛胡子一把抓。這和社會上喊的要緊密團(tuán)結(jié)在核心周圍同出一轍，何其相似。所以再次強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法不神秘，它們就在日常生活中，道在日用，關(guān)鍵是看你能不能從日常生活中提煉升華，靈活移植到其它領(lǐng)域，例如數(shù)學(xué)領(lǐng)域。
抓主要矛盾，也運(yùn)用在抽象中，在抽象過程中去粗取精，去偽存真，就是抓主要矛盾，提煉本質(zhì)。
估值：估算可能的取值范圍，從而幫助做出判斷決策或縮小相關(guān)聯(lián)對象的取值范圍。此題多處地方都運(yùn)用了估值。
需要強(qiáng)調(diào)的是觀察，它在日常生活工作中必不可少，在數(shù)學(xué)解題中也是這樣，幾乎每道題中都會用到。通過仔細(xì)敏銳有目的的觀察，發(fā)現(xiàn)題目的特點(diǎn)特征，發(fā)現(xiàn)題目中數(shù)學(xué)對象隱藏的特點(diǎn)、特征、規(guī)律、關(guān)系，觀察發(fā)現(xiàn)的東西都有可能是解題線索和解題突破口。這題處處都運(yùn)用了觀察，例如通過觀察，發(fā)現(xiàn)是個主要對象關(guān)鍵對象；通過觀察等式2，發(fā)現(xiàn)要對右邊的9Q-9P-
進(jìn)行估值；通過觀察，發(fā)現(xiàn)等式2左邊的9P-
是否為0也很關(guān)鍵，提醒我們把它作為分類的標(biāo)準(zhǔn)；通過觀察
=9P，發(fā)現(xiàn)等式左邊是平方數(shù)，發(fā)現(xiàn)等式右邊的9也是個平方數(shù)(
)，這些就是觀察發(fā)現(xiàn)的特征，從而得出P也應(yīng)該是個平方數(shù)。此題用到觀察的地方就不一 一列舉了，看上面的解題過程自己體會。
數(shù)學(xué)解題的本質(zhì)：關(guān)系思想和辯證的解題策略
? 辯證法中講矛盾的相互轉(zhuǎn)化，萬事萬物都存在聯(lián)系，有聯(lián)系就有關(guān)系。整個宇宙可建模為各種對象/事物(對象包含各種屬性信息，屬性一般用數(shù)據(jù)來度量)，以及對象之間的聯(lián)系和關(guān)系，數(shù)學(xué)是研究數(shù)量之間的關(guān)系和空間形式的，數(shù)學(xué)對象也是這樣，它們之間也存在各種關(guān)系。
? ? 在日常生活中，很多人遇到困難喜歡找熟人找朋友走關(guān)系、找關(guān)系、利用關(guān)系來辦事，在數(shù)學(xué)中也是這樣，需要發(fā)現(xiàn)關(guān)系、創(chuàng)建關(guān)系、利用關(guān)系、改善關(guān)系、轉(zhuǎn)化關(guān)系。
? 數(shù)學(xué)對象的關(guān)系舉例：大小關(guān)系例如a小于b、倒數(shù)關(guān)系、相反數(shù)關(guān)系、平方關(guān)系、三角形面積與底邊&高之間的關(guān)系、直角三角形三條邊之間的各種關(guān)系(主要體現(xiàn)為勾股定理，或用勾股定理來表達(dá)，還有三角函數(shù)正弦余弦正切等)，方程 a+b = 12表達(dá)刻畫了一種關(guān)系，函數(shù)是對自變量和因變量之間對應(yīng)/映射關(guān)系的刻畫表達(dá)。定理、公式、方程、函數(shù)、集合、等式、不等式、二次函數(shù)曲線圖像、向量運(yùn)算、微積分等都是對關(guān)系的刻畫和表達(dá)，同時它們也是數(shù)學(xué)研究的數(shù)學(xué)對象。
? 更進(jìn)一步，甚至連關(guān)系都是對象，也就是把關(guān)系自身也作為對象。
? 關(guān)系之間也可能存在各種聯(lián)系/關(guān)系，例如因果、充要條件、必要條件、充分條件通常是對象之間或關(guān)系之間的關(guān)系聯(lián)系的邏輯表達(dá)。
? 關(guān)系之間有層次和包含關(guān)系，例如除了A對象和B對象之間的關(guān)系，對A對象，進(jìn)入到其內(nèi)部，它內(nèi)部的子對象之間存在關(guān)系，A對象和它內(nèi)部的子對象之間也存在關(guān)系，也就是整體和局部之間存在各種關(guān)系。一個復(fù)雜的關(guān)系可能包含多個相對簡單的關(guān)系。
? 數(shù)學(xué)思想方法中，方程有方程思想，函數(shù)有函數(shù)思想，但對‘關(guān)系’卻沒有對應(yīng)的思想， 而關(guān)系是數(shù)學(xué)研究的主題之一，但奇怪的是幾乎沒有哪本數(shù)學(xué)書籍包括數(shù)學(xué)思想的書籍明確提到”關(guān)系思想“，都只是提到“關(guān)系”，網(wǎng)上也只有百度百科上有一處提到關(guān)系思想，如下圖，但內(nèi)容其實(shí)是關(guān)于函數(shù)的，函數(shù)也只是關(guān)系的其中一種，網(wǎng)址https://baike.baidu.com/item/%E5%85%B3%E7%B3%BB%E6%80%9D%E6%83%B3/19147669
? ? ? 本人認(rèn)為應(yīng)該名正言順地把關(guān)系思想這個概念明確提出來，定義出來，關(guān)系思想不只是適用于數(shù)學(xué)領(lǐng)域，它是普遍適用的一種非常重要的思想。正因?yàn)槿绱?，?yīng)該把它作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法加入到數(shù)學(xué)思想方法體系中，它在數(shù)學(xué)思想方法體系中應(yīng)有非常重要的位置，屬于高層次的思想。關(guān)系和關(guān)系思想是兩個不同的概念，雖然它們之間有聯(lián)系，就像方程和方程思想一樣，是不同的兩碼事兩個概念，熟悉方程并不意味著具有方程思想。
? ? ? 對關(guān)系思想，本人定義如下：關(guān)系思想是辯證法中的普遍聯(lián)系觀點(diǎn)在思想方法中的變現(xiàn)和具體反應(yīng)，當(dāng)我們遇到任何事情或解決任何問題時，一定不要忘了運(yùn)用聯(lián)系(關(guān)系)分析的方法，要始終關(guān)注關(guān)系，深入研究關(guān)系，抓住關(guān)系把握關(guān)系，例如發(fā)現(xiàn)挖掘關(guān)系、識別關(guān)系、表達(dá)關(guān)系、評估關(guān)系、繁衍關(guān)系、變換關(guān)系、看透關(guān)系、構(gòu)造關(guān)系、利用關(guān)系。根據(jù)普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)，眾多對象（萬事萬物）之間的關(guān)系形成一個整體的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，就像我們四通八達(dá)的城市道路交通網(wǎng)一樣。
? ?事物之間的聯(lián)系(關(guān)系)就是紐帶和橋梁，就是天然的思維向?qū)季S線索，我們的思維順著這些紐帶，抓著這些紐帶順藤摸瓜，一路探索形成解題思路，通過它們引導(dǎo)我們的思維，它們是解題思路的帶路黨?；蛘哒f這些紐帶就是一條思維的小河，是最有可能通向遠(yuǎn)方的目的地(在數(shù)學(xué)解題中就是結(jié)論和答案)的通道，顯然應(yīng)該借助它們，在它們的基礎(chǔ)上加寬加長加深，打通各段互不聯(lián)通的小河，最終到達(dá)目的地,而不是從零開始費(fèi)事費(fèi)力地另辟蹊徑。
? 在旅游中攀登懸崖峭壁，為了安全順利地通過，我們大多會沿著事先開鑿的小路抓著鐵鏈繩索一路行走，否則無路可走，這些小路和鐵鏈就好比數(shù)學(xué)解題中的聯(lián)系(關(guān)系)，抓住它們才容易推進(jìn)問題解決問題。
? 庖丁解牛之道也是順應(yīng)事物的規(guī)律和聯(lián)系，順著牛身體結(jié)構(gòu)中的縫隙順勢而為(順著結(jié)構(gòu)中聯(lián)系最薄弱的地方)，不過這個縫隙在數(shù)學(xué)思維數(shù)學(xué)解題中就是數(shù)學(xué)對象之間的聯(lián)系和各種特征，我們要利用好這些聯(lián)系和特征，借助它們來解題。
? ? 在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，關(guān)系是第一類對象，它對應(yīng)的關(guān)系思想，通常包含如下內(nèi)容：
? ? 發(fā)現(xiàn)關(guān)系、識別關(guān)系：關(guān)系有顯(明顯直接的、顯式的)有隱(隱藏的、間接的、微小不起眼的、隱式的)，所以我們要通過觀察、分析、聯(lián)想、類比、抽象等手段來發(fā)現(xiàn)來挖掘出對象/事物之間、關(guān)系之間的各種關(guān)系，特別是本質(zhì)的聯(lián)系/關(guān)系，這就是關(guān)系的發(fā)現(xiàn)和識別。
? ? 繁衍關(guān)系：數(shù)學(xué)對象或數(shù)學(xué)對象之間或關(guān)系之間，可以通過推理產(chǎn)生出/創(chuàng)造出新的關(guān)系/聯(lián)系,例如我們通過邏輯推理除了產(chǎn)生新的結(jié)論，一般也可能伴隨得出新的關(guān)系。解方程有時將兩個方程式相加或相減或其他運(yùn)算產(chǎn)生一個新的方程式，可以理解成對關(guān)系的組合。解題方法中的綜合法就是對關(guān)系的繁衍，通過已知條件進(jìn)行推理得出新的結(jié)論。
? 變換關(guān)系：根據(jù)需要，我們可以對關(guān)系進(jìn)行變形和改造，特別是不熟悉的關(guān)系、不好處理的棘手的關(guān)系。代數(shù)中的各種運(yùn)算和變形，幾何中的加輔助線和變換，如平移、旋轉(zhuǎn)、反射，這些通常是對關(guān)系進(jìn)行變換、改造、繁衍。
? 表達(dá)關(guān)系：把關(guān)系翻譯成數(shù)學(xué)語言，例如等式、不等式、函數(shù)、方程、幾何圖形、圖像、集合、向量。這些都是關(guān)系的表現(xiàn)形式。
? ? 看透關(guān)系：洞察數(shù)學(xué)對象之間存在的關(guān)系，另一種是入門三分地對已有的關(guān)系，看透關(guān)系的表現(xiàn)形式背后的本質(zhì)內(nèi)涵。
? ? 構(gòu)造關(guān)系：拉關(guān)系，創(chuàng)造關(guān)系。
? ? 利用關(guān)系：最終就是要利用關(guān)系來達(dá)成我們的目的，來解決問題。
? ?數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式，注意其中的數(shù)量關(guān)系，空間形式和結(jié)構(gòu)也主要是各種關(guān)系。數(shù)學(xué)對象如數(shù)、量、方程、函數(shù)、集合、幾何圖形、點(diǎn)、線、面、面積、導(dǎo)數(shù)等等。數(shù)學(xué)對象數(shù)學(xué)對象之間的關(guān)系是數(shù)學(xué)研究的重點(diǎn)，數(shù)學(xué)題中存在各種數(shù)學(xué)對象，所以我們解數(shù)學(xué)題要時刻碰到關(guān)系，要時刻運(yùn)用到關(guān)系，要時刻處理好關(guān)系。
? 已知條件除了是數(shù)據(jù)信息(例如邊長是5)之外，很多已知條件描述的是數(shù)學(xué)對象之間的關(guān)系。代數(shù)和幾何結(jié)構(gòu)、規(guī)則、算法、定理都蘊(yùn)含有關(guān)系都刻畫表達(dá)了數(shù)學(xué)對象之間的關(guān)系或約束了數(shù)學(xué)對象之間的關(guān)系，例如算法表示的是輸入和輸出的某種關(guān)系，勾股定理刻畫表達(dá)的是直角三角形三條邊之間的某種關(guān)系，可以把規(guī)則、算法、定理理解成關(guān)系的化身，或把它們當(dāng)關(guān)系來使用。我們使用邏輯推理主要也是依靠關(guān)系。我們在生活中習(xí)慣利用社會關(guān)系來"走關(guān)系"，有關(guān)系就好辦事。
? 對每道數(shù)學(xué)題，從起點(diǎn)(題設(shè)、已知條件)到目標(biāo)終點(diǎn)(結(jié)論、答案)的解題過程中的每一步幾乎都是使用關(guān)系來不斷地轉(zhuǎn)化問題，不熟悉轉(zhuǎn)化成熟悉，未知轉(zhuǎn)化成已知，不好處理轉(zhuǎn)化成好處理，和目標(biāo)較遠(yuǎn)轉(zhuǎn)化成越來越接近，從一種形式轉(zhuǎn)化成另一種形式，從而一步步向終點(diǎn)靠近。不斷地轉(zhuǎn)化問題，也就是不斷地變化，從起點(diǎn)一步步變化，最終到終點(diǎn)。
? 在漫談3的第1題中，我們通過聯(lián)想類比，在第1題和將軍飲馬和壁虎爬墻之間建立了聯(lián)系和關(guān)系，從而類推出要試著用兩點(diǎn)之間直線最短的定理和思路來解決問題，朝這個方向努力，就自然聯(lián)想到熟悉的長方體的展開；第7題，我們觀察圖形的特點(diǎn)，利用該幾何圖形閉合和拆分的辯證關(guān)系以及對應(yīng)關(guān)系。第9題是解方程，這個方程自身就是一種關(guān)系，但這個關(guān)系中還隱藏有其他關(guān)系。我們觀察該方程的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)了隱藏的倒數(shù)關(guān)系。有些題利用了數(shù)與形的辯證關(guān)系來轉(zhuǎn)化問題，有些題利用了抽象和具體的辯證關(guān)系。
? ? 眾多關(guān)系組成關(guān)系網(wǎng)，有關(guān)系就要利用，靈活利用好就能左右逢源，就能順利實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，不能坐以待斃不去利用。
? ? 善于發(fā)現(xiàn)/洞察關(guān)系、善于創(chuàng)造/繁衍關(guān)系、善于變換/改造關(guān)系、善于表達(dá)刻畫關(guān)系、善于利用關(guān)系來解題應(yīng)該成為一種思想：關(guān)系思想。關(guān)系思想，其實(shí)就是辯證法中萬物普遍聯(lián)系的思想觀點(diǎn)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題一定要有關(guān)系思想意識，因?yàn)殛P(guān)系在解題過程中是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化變化的橋梁。解題思路一般要有一定的憑據(jù)(why)，為何思路是這樣，為何這樣做這樣變化。要有一定的理由和根據(jù)(邏輯)，不是想當(dāng)然，除了直覺和靈感，很多不是憑運(yùn)氣或隨意思考，不是全憑經(jīng)驗(yàn)或類似題目的解題方法的簡單模仿，而解題思路的產(chǎn)生源泉和憑據(jù)就是數(shù)學(xué)思想方法包括關(guān)系思想和解題策略，也就是數(shù)學(xué)思想和解題策略對探索解題思路起到指導(dǎo)啟發(fā)作用。
? 在解數(shù)學(xué)難題時，找關(guān)系最簡單的是直接把題目中的已知條件轉(zhuǎn)化翻譯成數(shù)學(xué)對象，例如方程、函數(shù)、等式、不等式、集合、幾何圖形、圖表等，這些數(shù)學(xué)對象就是對關(guān)系的刻畫表達(dá)。除了這些已知條件中明顯蘊(yùn)含的關(guān)系，我們還要通過觀察和審題發(fā)現(xiàn)題目中隱藏的特征、特點(diǎn)、規(guī)律，分析識別出題目中的矛盾、難點(diǎn)，這很大程度上也是為了尋找關(guān)系，因?yàn)樘卣?、特點(diǎn)、規(guī)律一般都蘊(yùn)含有某些關(guān)系，這個尋找隱藏關(guān)系的過程通常要運(yùn)用聯(lián)想、類比、比較等數(shù)學(xué)思想方法。接下來來我們運(yùn)用前面介紹的數(shù)學(xué)思想方法利用好題目中的關(guān)系來幫助我們解題，包括創(chuàng)造關(guān)系，改造關(guān)系，加上對題目中矛盾(此處的矛盾是指辯證法中的矛盾，不是邏輯矛盾)和難點(diǎn)的改造和轉(zhuǎn)化、消除(對矛盾與難點(diǎn)的識別、轉(zhuǎn)化、改造、消除可以體會第三篇中的矛盾分析法)。這樣就實(shí)現(xiàn)了對難題的成功解題。
? 通過關(guān)系思想來解題，來轉(zhuǎn)化問題轉(zhuǎn)化矛盾，要注意兩點(diǎn)：第一點(diǎn)首先是要找出關(guān)系，不管是淺顯的直接的關(guān)系還是隱藏的關(guān)系，甚至是主動創(chuàng)造新的關(guān)系，想辦法讓對象之間發(fā)生關(guān)系來產(chǎn)生新對象和新關(guān)系，想法讓關(guān)系之間發(fā)生關(guān)系來產(chǎn)生新的關(guān)系。如何找關(guān)系和創(chuàng)造關(guān)系，主要是依靠數(shù)學(xué)思想方法和觀察以及審題。另一點(diǎn)是在找關(guān)系利用關(guān)系時要靈活調(diào)整思維的視角和方向，要講策略講辯證，例如正向解決問題比較困難，那我們就逆向來解決，也就是正難則反的辯證策略；具體問題不好解決就上升到抽象層次來就解決，也就是抽象化策略。這兩點(diǎn)在數(shù)學(xué)思想方法揭秘-3的解題思維過程中已經(jīng)有講述和體現(xiàn)。
? 在數(shù)學(xué)思想方法的最上層就是觀察、關(guān)系、特征、轉(zhuǎn)化、辯證、反思。
下一篇：數(shù)學(xué)思想方法揭秘-5（原創(chuàng)）。
王國波? 2019.1.13于廣州
