接著前一篇：數(shù)學(xué)思想方法揭秘-3-1(原創(chuàng))繼續(xù)講解。回前言。
作者：王國(guó)波
第二個(gè)是要總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)反思提高，提煉各種方法各種知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)，形成自己的思想方法和模式套路。
這個(gè)涉及到解題過(guò)程中的第4步，回顧反思，反思解題過(guò)程中的成與敗，得與失。對(duì)自己提問(wèn)，自我質(zhì)疑，自我反省，進(jìn)而總結(jié)提高。當(dāng)然在解題過(guò)程第2步我們也要善于運(yùn)用反思反省和逆向思維。
任何數(shù)學(xué)思想方法都有一定的模式或套路，格物致知，要在數(shù)學(xué)思想方法層面悟道，需要在實(shí)踐活動(dòng)中也就是解題過(guò)程中領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的精妙之處。庖丁解牛的故事中技進(jìn)于道，與此類似，在學(xué)習(xí)過(guò)程中我們也要有善于歸納總結(jié)的習(xí)慣，從實(shí)踐活動(dòng)中歸納總結(jié)，提煉升華出思想結(jié)晶和真知灼見(jiàn)。例如我們?cè)诮鉀Q一個(gè)問(wèn)題時(shí)，有的問(wèn)題中存在不變性約束，例如8個(gè)數(shù)字12345678，這些不同的數(shù)字可組成多個(gè)8位數(shù)，數(shù)量是8的階乘，問(wèn)這些數(shù)字中有多少個(gè)質(zhì)數(shù)。其實(shí)敏銳的人有洞見(jiàn)的人根本不用歸納總結(jié)規(guī)律，或者說(shuō)他們的歸納總結(jié)在腦中一閃而過(guò)，自己都沒(méi)意識(shí)到有歸納總結(jié)，就能知道這里面有個(gè)不變的約束，不變的特征和規(guī)律：每個(gè)8位數(shù)的數(shù)字和都相同。聯(lián)想到等差數(shù)列求和，1+…+8，并且這個(gè)和并不要精確算出來(lái)，精確-模糊(近似)在問(wèn)題中的辯證運(yùn)用，和是3的倍數(shù)，沒(méi)有質(zhì)數(shù)。
其他問(wèn)題中也可能存在不變性約束或不變量、不變的關(guān)系，在學(xué)習(xí)中就要總結(jié)提煉出思想方法，例如變中有不變的思想。例如列方程解應(yīng)用題，列方程解題或方程思想可以用‘一句話的本質(zhì)來(lái)概括：就是根據(jù)不變量，根據(jù)等量關(guān)系列出方程式。關(guān)系和一些已知條件就是不變的約束。如果兩個(gè)變量只能列出一個(gè)方程式，那就要挖掘題目中隱藏的不變量、不變的約束或關(guān)系來(lái)列出另一個(gè)方程式。例如年齡問(wèn)題中，兩人的年齡差通常總是不變的，我們可以利用這個(gè)來(lái)列方程列等式，此處的不變也體現(xiàn)了'算兩次思想'，從兩(多)個(gè)角度或方式途徑來(lái)計(jì)算同一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的量或關(guān)系。
剛才提到'一句話本質(zhì)'，假傳萬(wàn)卷書(shū)，真?zhèn)饕痪湓挘芏嘀R(shí)點(diǎn)和方法都有'一句話的本質(zhì)'或精練的高觀點(diǎn)，用一兩句話或少數(shù)幾句話就能概括提煉出其背后的本質(zhì)，要有這樣的認(rèn)識(shí)和理解。本質(zhì)和高觀點(diǎn)通常是核心的、簡(jiǎn)潔和高屋建瓴的，而不是冗長(zhǎng)的。對(duì)數(shù)學(xué)方法，要盡量自己推敲，歸納總結(jié)概括出'一句話本質(zhì)'或掌握其背后的本質(zhì)認(rèn)識(shí)才算真領(lǐng)悟掌握，才能不被難題的表象所迷惑，才能有意識(shí)的清醒地自覺(jué)利用這些思想，才能較快想到適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法來(lái)解決，而不是自發(fā)地或蒙昧狀態(tài)下運(yùn)用。例如對(duì)集合思想，理解深刻了，對(duì)幾何中的點(diǎn)，即使題目中沒(méi)有提到集合和軌跡這兩個(gè)詞，根據(jù)題目情況會(huì)自覺(jué)研究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡(軌跡是點(diǎn)的集合)并利用它來(lái)解題。
解題過(guò)程中卡殼時(shí)，就要進(jìn)行反思或調(diào)整思路，梳理下是否把所有已知條件都用好了用足了，考試題中的已知條件一般不可能是多余的，是否把已知條件、特征、規(guī)律、關(guān)系等解題線索都用好了，如何才能把題目的解題線索用好。是否認(rèn)真觀察過(guò)題目的圖形和算式并完整挖掘發(fā)現(xiàn)了里面的解題線索。重新審題，題目中的每句話是否還蘊(yùn)含有深意，是否還要深入挖掘其充要條件加以運(yùn)用。歸納總結(jié)現(xiàn)有的解題方法和思路有何特點(diǎn)和問(wèn)題、不足，有何共同點(diǎn)?；诂F(xiàn)有方法的特點(diǎn)，否定該方法從而尋找新方法，打破思維定勢(shì)，一計(jì)不成再生一計(jì)，或者說(shuō)在原有方法基礎(chǔ)上加以調(diào)整。
解題最后，無(wú)論是否做出來(lái)，都要回顧反思，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)。對(duì)沒(méi)做出來(lái)的題包括做錯(cuò)的題，要對(duì)照答案對(duì)自己提問(wèn)：為何沒(méi)想到，原因在哪，問(wèn)題在哪一步，是審題疏忽，還是因?yàn)橛行┲R(shí)點(diǎn)沒(méi)掌握好，是計(jì)算失誤、還是有些數(shù)學(xué)方法不會(huì)用、還是數(shù)學(xué)思想方法沒(méi)有意識(shí)或不夠熟練。對(duì)做出來(lái)的題，要進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用的精妙，能否換一種思路去解。無(wú)論自己是否能做出來(lái)，對(duì)只有解題方法，卻沒(méi)有提及它所用到的數(shù)學(xué)思想方法的題，都要找出其背后對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法或總結(jié)提煉解題方法中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，加以揣摩體會(huì)，消化吸收，融合到自己的解題方法知識(shí)體系中去。吃一塹長(zhǎng)一智，就這樣反思反省，找出自己的不足和薄弱點(diǎn)，加以改進(jìn)提高。
例如我在解題總結(jié)回顧時(shí)，就體會(huì)到在使用關(guān)系思想建立關(guān)系時(shí)，有時(shí)要和穩(wěn)定的對(duì)象(數(shù)學(xué)元素，例如一個(gè)點(diǎn)，一條線段)建立關(guān)系才合適，有時(shí)要和變化的對(duì)象建立關(guān)系，何種情況下適合和前者，何種情況下適合后者，這其中的微妙之處，就要能體會(huì)總結(jié)出來(lái)。
總之就是解題之后，對(duì)解題過(guò)程中做的好的地方，成功的地方要總結(jié)升華，運(yùn)用正反饋鞏固，以后越來(lái)越熟練地重用總結(jié)出的經(jīng)驗(yàn)；做的不好的(例如錯(cuò)題或思考過(guò)程中沒(méi)想到的)，失敗的地方要反思反省，運(yùn)用負(fù)反饋調(diào)節(jié)，以后要改進(jìn)調(diào)整。
對(duì)一些已知條件，有的運(yùn)用起來(lái)有先后順序之分，有些條件在解題最前面用是沒(méi)啥效果的，這些都是在解題過(guò)程中總結(jié)出的經(jīng)驗(yàn)，也是些小技，還有些不寫(xiě)了。
第三個(gè)是觀察能力、識(shí)別分辨能力，舉一反三的能力
這個(gè)涉及到解題過(guò)程中的第1步，審題。
碰到問(wèn)題，要先審題，把題目搞明白，還要觀察，發(fā)現(xiàn)題目中隱藏的特征、特點(diǎn)、關(guān)系、規(guī)律、充要條件等，解題中很可能要利用到這些發(fā)現(xiàn)的東西。另一個(gè)就是根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)和性質(zhì)，也就是問(wèn)題的‘’形‘’，敏銳地識(shí)別出/聯(lián)想/類比出它和先前問(wèn)題或已有知識(shí)的類似地方，例如先前熟悉的題型和模式、知識(shí)點(diǎn)、已知問(wèn)題，也就是‘’神‘’，本質(zhì)，重用它們來(lái)解決問(wèn)題。從形似到神似到本質(zhì)，不能換個(gè)馬甲就認(rèn)不出了。識(shí)別不出來(lái)，那原有的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)就利用不上，也就意味著所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)是死的。
第四個(gè)是要建立融匯貫通的網(wǎng)路化知識(shí)體系和思想體系
? 對(duì)數(shù)學(xué)中的各種概念要掌握其內(nèi)涵和外延，這是基礎(chǔ)?；诟拍顏?lái)進(jìn)行聯(lián)想是概念的一個(gè)基本應(yīng)用。先前提到過(guò)聯(lián)想這種數(shù)學(xué)思想方法，聯(lián)想是一種思維中的心理活動(dòng)，由此及彼。聯(lián)想有多種方式，基于概念來(lái)展開(kāi)聯(lián)想是一種方式，例如對(duì)概念，我們通常會(huì)想到其定義、內(nèi)涵和外延以及關(guān)聯(lián)的的知識(shí)點(diǎn)，例如題目中出現(xiàn)三角形，要能聯(lián)想到三角形的內(nèi)角和、面積公式、正余弦定理等等，碰到直角三角形除了這些之外肯定要聯(lián)想到勾股定理等。如果是解決具體問(wèn)題，聯(lián)想一般不能天馬行空，思維或聯(lián)想的發(fā)散和收斂（定向）不說(shuō)了。要注意的是,聯(lián)想也有相反聯(lián)想,例如從黑想到白,這個(gè)也是反向思維的運(yùn)用。
? 對(duì)概念和知識(shí)點(diǎn)，在學(xué)習(xí)它們時(shí)，要主動(dòng)敏銳地聯(lián)想到它們和其他已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)點(diǎn)和概念有啥區(qū)別，有啥聯(lián)系/關(guān)系，比較它們有啥相同和不同，要知曉它們的區(qū)別和聯(lián)系/關(guān)系，在認(rèn)識(shí)事物時(shí)，要有這種習(xí)慣和意識(shí)。質(zhì)疑和發(fā)散，在學(xué)習(xí)時(shí)可以發(fā)散下思維，用一些疑難問(wèn)題場(chǎng)景case來(lái)驗(yàn)證和挑戰(zhàn)所學(xué)的東西，激發(fā)自己研究在這些場(chǎng)景下如何運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題，從而加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的深入了解和靈活運(yùn)用。這樣學(xué)習(xí)，就像滾雪球，越滾越大，把所學(xué)知識(shí)融入到自己的知識(shí)體系中，各種知識(shí)條分縷析，但又融會(huì)貫通，建立起橫向、縱向的多維度多層次的聯(lián)系，形成知識(shí)體系，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，才能更好掌握運(yùn)用，左右逢源，游刃有余，就像神經(jīng)元突觸相互連接的越多，通路就多，思維就靈活。例如在前面的漫談1中已經(jīng)提到學(xué)習(xí)平均數(shù)時(shí)要能想到它和抽屜原理的內(nèi)在關(guān)系，這樣知識(shí)點(diǎn)就形成了聯(lián)系，形成了網(wǎng)絡(luò)，消除知識(shí)孤島。學(xué)遞歸，就要主動(dòng)想到它和遞推的區(qū)別和聯(lián)系；學(xué)正方形就要想到它和長(zhǎng)方形的區(qū)別和聯(lián)系。
? ? 思想體系也是這樣，也要形成一個(gè)體系和網(wǎng)絡(luò)。知識(shí)網(wǎng)絡(luò)和思想網(wǎng)絡(luò)最終都是為我們解題時(shí)的思維過(guò)程服務(wù)的，解題好比地圖導(dǎo)航中建立和搜索從起點(diǎn)到終點(diǎn)的道路網(wǎng)絡(luò)，從中找出一些路線，數(shù)學(xué)解題的思維過(guò)程類似于導(dǎo)航，就是探索題目已知條件與結(jié)論之間的解題過(guò)程。在探索過(guò)程中，我們大腦中的思維運(yùn)作是一個(gè)網(wǎng)絡(luò)化導(dǎo)航的過(guò)程，具有發(fā)散、跳躍、反思、定向、收斂的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)問(wèn)題、知識(shí)體系和思想方法體系三者緊密聯(lián)系。在網(wǎng)絡(luò)化導(dǎo)航過(guò)程中，需要知識(shí)體系網(wǎng)絡(luò)和思想體系網(wǎng)絡(luò)來(lái)支撐網(wǎng)絡(luò)化導(dǎo)航，沒(méi)有良好的知識(shí)網(wǎng)咯和思想體系網(wǎng)絡(luò)來(lái)做基礎(chǔ)，對(duì)難題難以找出有效的通路：解題思路和解題過(guò)程。
第五個(gè)自學(xué)，就是看好書(shū)實(shí)戰(zhàn)，自學(xué)自悟
? 首先要有興趣，這個(gè)不只是針對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，其他學(xué)科都要有興趣才行。沒(méi)興趣除非是天才，不可能悟道數(shù)學(xué)思想方法。
? 從初中甚至小學(xué)高年級(jí)開(kāi)始，要注重培養(yǎng)自學(xué)能力。
? 數(shù)學(xué)思維要在實(shí)踐中訓(xùn)練鍛煉，在掌握基礎(chǔ)知識(shí)的前提下，有好的數(shù)學(xué)書(shū)籍，至少要有一兩本數(shù)學(xué)思想方法的書(shū)籍，用適當(dāng)難度適當(dāng)數(shù)量的題實(shí)戰(zhàn)，通過(guò)實(shí)戰(zhàn)進(jìn)行數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，運(yùn)用和體會(huì)如何利用數(shù)學(xué)思想方法來(lái)解這些題，勤于思考，善于總結(jié)，在實(shí)戰(zhàn)中自學(xué)數(shù)學(xué)真不難。
? 上培訓(xùn)班和學(xué)校老師主導(dǎo)下的不注重思維訓(xùn)練不注重思想方法的高強(qiáng)度刷題，搞題海戰(zhàn)術(shù)，是一將功成萬(wàn)骨枯的玩法，追求的是短期結(jié)果，不是長(zhǎng)久之計(jì)，誤人子弟，不是正道。要知道題目題型和花樣是無(wú)窮無(wú)盡的，工作后獨(dú)立從事技術(shù)工作碰到的問(wèn)題也是多種多樣的，怎能刷的完？這樣刷題，鍛煉的是機(jī)械的反應(yīng)，事倍功半，難以量變產(chǎn)生質(zhì)變，難得要領(lǐng)，難以提升學(xué)生的思維層次，學(xué)生一旦獨(dú)自面對(duì)新題型新問(wèn)題就傻眼束手無(wú)策，因?yàn)樗麤](méi)有從刷題中掌握方法論掌握數(shù)學(xué)思想方法。再說(shuō)很多教學(xué)的老師自己并沒(méi)有親自做題沒(méi)有自己思考，是拿著現(xiàn)成的解題過(guò)程解題答案來(lái)教，這樣的教學(xué)誰(shuí)不會(huì)？
? 要在有限的時(shí)間內(nèi)去面對(duì)無(wú)限可能的問(wèn)題，我們應(yīng)該是在做題時(shí)根據(jù)自己的實(shí)際情況，在掌握好基礎(chǔ)知識(shí)的前提下，選擇有價(jià)值的經(jīng)過(guò)思考之后才能做出來(lái)的有一定難度的題來(lái)做，在做題中過(guò)程中注意鍛煉自己的數(shù)學(xué)思維能力，運(yùn)用和體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法。對(duì)這些題無(wú)論是成功做出來(lái)還是沒(méi)做出來(lái)，都不是解題的最終結(jié)束，最后都要進(jìn)行回顧，總結(jié)反思解題過(guò)程中運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法的得與失，經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，以及暴露出來(lái)在知識(shí)點(diǎn)和概念掌握方面的不足。做題實(shí)戰(zhàn)最主要的目的是為了錘煉數(shù)學(xué)思維能力，掌握一套數(shù)學(xué)思想方法論，提升自己的思維品質(zhì)。思維能力鍛煉出來(lái)了思維品質(zhì)提升了，以后即使從事非數(shù)學(xué)專業(yè)的工作也能受益終生。鐵打的營(yíng)盤流水的兵，以不變應(yīng)萬(wàn)變以少勝多才是正道，不變的少的是數(shù)學(xué)思想方法，我們通常用到的數(shù)學(xué)思想方法大概有30多種，顯然遠(yuǎn)沒(méi)有題目和問(wèn)題多。這樣學(xué)習(xí)，比題海戰(zhàn)術(shù)效果要好很多。
? 書(shū)很多，時(shí)間有限，要讀好書(shū)讀經(jīng)典。現(xiàn)在糟粕書(shū)很多，要能分辨好書(shū)。什么才是好書(shū)，好的數(shù)學(xué)書(shū)一般要做到深入淺出，知識(shí)體系完整，循序漸進(jìn)，要對(duì)書(shū)中內(nèi)容、解題方法、解題規(guī)律解題技巧進(jìn)行歸納總結(jié)和比較，對(duì)知識(shí)點(diǎn)要有它和其他知識(shí)點(diǎn)之間的區(qū)別和聯(lián)系的講解，這個(gè)前面提到過(guò)。如想學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法，想悟大道，就買有數(shù)學(xué)思想方法內(nèi)容的書(shū)來(lái)看，翻開(kāi)書(shū)的目錄，如果有聯(lián)想、類比、歸納、分類、抽象、轉(zhuǎn)化(化歸)、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，再稍微看下對(duì)應(yīng)章節(jié)的內(nèi)容，看一兩道題，如果感覺(jué)講的比較透徹，對(duì)自己思維有啟發(fā)有收獲，那基本就還不錯(cuò)。如果我當(dāng)數(shù)學(xué)老師，講授基本知識(shí)點(diǎn)之外，會(huì)給學(xué)生推薦高、中、低三種層次的好書(shū)讓他們選擇去自學(xué)，當(dāng)然也會(huì)結(jié)合具體的數(shù)學(xué)題來(lái)講解解題技巧、思維過(guò)程和數(shù)學(xué)思想方法，啟發(fā)式教學(xué)，但不會(huì)要求初高中學(xué)生必須聽(tīng)老師講課，鼓勵(lì)自學(xué)，鼓勵(lì)提前學(xué)。
對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí),還是理論和實(shí)踐結(jié)合,紙上得來(lái)終覺(jué)淺,最后還是離不開(kāi)做題實(shí)戰(zhàn)。人要自知,自己應(yīng)該是最了解自己學(xué)習(xí)上的缺點(diǎn)和不足的,要知道數(shù)學(xué)知識(shí)體系,對(duì)照這些知識(shí)體系，對(duì)比發(fā)現(xiàn)自己的不足在哪里，薄弱點(diǎn)在哪。再找適合自己,能幫助自己提高的,要能思考下才能做出來(lái)的有價(jià)值的題來(lái)刷,有意識(shí)的運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法和解題策略。做題最后要進(jìn)行反思，這個(gè)前面已經(jīng)提到過(guò)。這就是在解題中逐漸領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思維之道的過(guò)程。
為學(xué)日益，知識(shí)點(diǎn)要掌握的多，注重知識(shí)面的廣度。悟道數(shù)學(xué)思維，在思想層面要為道日損，也就是每做一道有價(jià)值的題都能對(duì)數(shù)學(xué)思想方法和解題策略的理解更加深刻，思想層次提升，越來(lái)越精煉越深邃，大道至簡(jiǎn)，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用越來(lái)越純熟，越來(lái)越自然，不留痕跡，向無(wú)為而無(wú)不為的境界靠近，這樣鍛煉數(shù)學(xué)思維，不需要刷太多的題。
我們的教材和教學(xué)方式存在嚴(yán)重問(wèn)題，培訓(xùn)機(jī)構(gòu)性價(jià)比不高，也是缺少有深度的思想方法和思維過(guò)程的啟發(fā)引導(dǎo)，所以學(xué)有余力的(老師的大多數(shù)作業(yè)一看就會(huì)的學(xué)生)想要培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，建議在初中階段，在上完老師的課之后，剩下大部分時(shí)間主要是看好書(shū)好的參考書(shū)自學(xué)，自己看有思想方法的書(shū);高中更要自學(xué)，要有自由支配的時(shí)間去自學(xué)，要能自己主導(dǎo)自己的學(xué)習(xí)時(shí)間和學(xué)習(xí)內(nèi)容,不要被別人主導(dǎo)。除非碰到明師，但明師有幾個(gè)，所謂數(shù)學(xué)特級(jí)教師都不一定悟道，遑論悟道還有層次深淺，有名不一定有明，所以能碰到幾個(gè)明師？即使有明師，也只是偶爾點(diǎn)撥下，還是要自己實(shí)踐。通過(guò)這樣的思維訓(xùn)練，一路下來(lái)，至少大學(xué)理工科本科階段不用聽(tīng)老師講課，自學(xué)就行。怎樣檢驗(yàn)這樣的自學(xué)方式是否適合自己？如果這樣學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)成績(jī)或理工科成績(jī)比大多數(shù)同學(xué)好或比別人輕松，碰到新題型新問(wèn)題能較快找到解題思路和解題方法，大多數(shù)難題的解題思路用自己掌握的這套數(shù)學(xué)思想方法論和解題策略能自圓其說(shuō)能自洽，并且自己確實(shí)是運(yùn)用這套方法論和解題策略探索出解題思路和解題方法的，那這樣自學(xué)就是對(duì)路的，否則還是跟隨老師。
我們的教育方式培養(yǎng)出來(lái)的學(xué)生很多沒(méi)有數(shù)學(xué)思維，沒(méi)有掌握數(shù)學(xué)思想方法，不知道怎么學(xué)數(shù)學(xué)，沒(méi)悟大道，到老都是迷糊的。等到他們做家長(zhǎng)了，大盲帶小盲，大迷糊帶小迷糊，指導(dǎo)不了孩子的數(shù)學(xué)和物理學(xué)習(xí)，對(duì)如何解數(shù)學(xué)難題沒(méi)有自己的一套思想思維方法論和解題策略。家庭條件好些的就上培訓(xùn)班，人傻錢多的活例子。其實(shí)只要掌握正確的學(xué)習(xí)方法，對(duì)大多數(shù)學(xué)生，只要有興趣，愿意靜下心來(lái)自學(xué)，通過(guò)自學(xué)，數(shù)學(xué)真不難，和老師和學(xué)校好壞關(guān)系不大。初高中，在老師課堂上掌握了基礎(chǔ)知識(shí)，高中有些學(xué)生自己都能自學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)上的基礎(chǔ)知識(shí)。家長(zhǎng)買幾本好些的數(shù)學(xué)思想方法書(shū)籍讓孩子在家或?qū)W校自學(xué)，自己思考，一遍看不懂就多看幾遍。自己看書(shū)思考，印象深刻，幾十年都不容易忘記。如果有好的數(shù)學(xué)書(shū)籍，老師用這些書(shū)籍教學(xué)或?qū)W生自學(xué)，其他情況再差，例如所謂的差學(xué)校，對(duì)大多數(shù)學(xué)生只要肯自學(xué)肯思考也是可以學(xué)好數(shù)學(xué)的。明白些的老師找些好的題目和試卷來(lái)講解數(shù)學(xué)思想方法和訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解題技能，這個(gè)也不錯(cuò)，但我更推薦買好的數(shù)學(xué)書(shū)籍自學(xué)，只要一支筆幾張紙幾本好的書(shū)就行。自學(xué)數(shù)學(xué)也比花錢上培訓(xùn)班強(qiáng)多了，上培訓(xùn)班來(lái)回奔波浪費(fèi)時(shí)間和金錢，并且培訓(xùn)班大多學(xué)的是雕蟲(chóng)小技，不悟大道，培養(yǎng)依賴?yán)蠋煹膲牧?xí)慣，丟掉了培養(yǎng)自學(xué)能力的好機(jī)會(huì)，貽害終身。初中生還要上培訓(xùn)班學(xué)數(shù)學(xué)是很挫的，基礎(chǔ)知識(shí)絕大多數(shù)學(xué)校都可以教好，掌握基礎(chǔ)知識(shí)后學(xué)生自己看好書(shū)自學(xué)提高，所以數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和老師及學(xué)校好壞關(guān)系不大，主要是學(xué)生自己的事情，物理學(xué)習(xí)也是這樣，其他學(xué)科的學(xué)習(xí)幾乎也是這樣，這樣學(xué)習(xí)就抹平了所謂學(xué)校的差別和地域的區(qū)別，和上哪所初高中學(xué)校和大學(xué)沒(méi)多大關(guān)系，即使不上大學(xué)，很多專業(yè)通過(guò)自學(xué)都能成才?，F(xiàn)在網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)設(shè)施和互聯(lián)網(wǎng)、電商、資訊信息、出版業(yè)、交通、物流這樣發(fā)達(dá)，不出戶知天下，寒門學(xué)子農(nóng)村學(xué)校的初高中孩子也能通過(guò)自學(xué)和大城市的幾乎對(duì)齊，真在初高中掌握了數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)大多數(shù)理工科專業(yè)，如果不考慮文憑，至少本科階段不需要上大學(xué)不需要老師，在家自學(xué)也能學(xué)的很好，不就是那幾本書(shū)，自學(xué)還能不受制老師和學(xué)校，挑選好書(shū)來(lái)學(xué)。除非操作性示范性強(qiáng)的或很前沿的，例如學(xué)游泳最好找老師。誰(shuí)說(shuō)沒(méi)有好老師，好書(shū)就是好老師！用好書(shū)自學(xué)就是好老師在教你在點(diǎn)撥你，就是在與明師對(duì)話，真悟道明師本來(lái)就非常少，況且在現(xiàn)實(shí)生活中是很難碰到的！這是現(xiàn)實(shí)情況也是大實(shí)話，信不信由你。這樣自學(xué)，何樂(lè)而不為？初高中，非要浪費(fèi)那多時(shí)間在去培訓(xùn)班的路上，非要浪費(fèi)錢去上沒(méi)有數(shù)學(xué)思維之道的培訓(xùn)班？事倍功半，其出彌遠(yuǎn)，其知彌少！成為高層次人才要立足于自學(xué)。
自學(xué)，搞清楚知識(shí)體系和知識(shí)結(jié)構(gòu)是怎樣的，再找對(duì)應(yīng)的好的書(shū)籍學(xué)習(xí)。把知識(shí)講清楚講透徹的書(shū)較多，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，還要看有關(guān)數(shù)學(xué)思維數(shù)學(xué)思想方法的書(shū)籍，但真正算得上數(shù)學(xué)思維明師的人極少，國(guó)內(nèi)幾乎沒(méi)有。把數(shù)學(xué)思維方法和思想方法講的比較透徹通透比較系統(tǒng)的書(shū)幾乎沒(méi)有，數(shù)學(xué)思維數(shù)學(xué)思想方法的好書(shū)是相對(duì)而言相比較而言，好比矮子中的長(zhǎng)子。
如何找到好書(shū)，找明眼人推薦或一些網(wǎng)站上有推薦。對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科，講數(shù)學(xué)思想方法的書(shū)籍，在淘寶上用‘?dāng)?shù)學(xué)思想’或‘?dāng)?shù)學(xué)思維’或’解題策略’或‘解題方法’關(guān)鍵詞搜一下，例如有本浙江大學(xué)出版社的<更高高妙的中考數(shù)學(xué)>，我看了下目錄，內(nèi)容應(yīng)該還湊合，好像這個(gè)出版社還有高中版。也可以用'數(shù)學(xué)競(jìng)賽'或‘奧數(shù)’關(guān)鍵詞搜，這些競(jìng)賽書(shū)中有些稍微講述了一些數(shù)學(xué)思想方法或解題技巧解題策略。就像看新聞一樣，看過(guò)的一般比沒(méi)看過(guò)的知道的要多一些，看過(guò)奧數(shù)書(shū)的比沒(méi)看過(guò)的了解的數(shù)學(xué)知識(shí)要多一些，但不能只看奧數(shù)書(shū)，很多奧數(shù)書(shū)大多也是偏重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)，在數(shù)學(xué)思維方面的點(diǎn)化熏陶是不夠的，所以還要學(xué)習(xí)透徹悟道數(shù)學(xué)思維人士的文章和書(shū)籍，彌補(bǔ)奧數(shù)書(shū)在數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練上的不足?？催@些競(jìng)賽書(shū)的目的不一定是參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，我們主要目的是掌握書(shū)中的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，這個(gè)才是核心。這類書(shū)籍中也有很多是濫竽充數(shù)的，有的一般般，不深刻，例如某大學(xué)校長(zhǎng)寫(xiě)的<<數(shù)學(xué)基本思想18講>>,這種書(shū)就比較雞肋，食之無(wú)味，要注意識(shí)別。80年代，中國(guó)科大數(shù)學(xué)系幾個(gè)教授寫(xiě)的書(shū)還不錯(cuò)，號(hào)稱奧數(shù)五虎上將：常庚哲、嚴(yán)鎮(zhèn)軍、單墫、蘇淳、杜錫錄，他們都曾是國(guó)家隊(duì)奧數(shù)教練，名至實(shí)歸，但他們也沒(méi)有編寫(xiě)出算得上通透系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維數(shù)學(xué)思想方法的書(shū)籍。
? 也可以看些思維方法論/思維學(xué)/創(chuàng)新方面的書(shū)籍或認(rèn)知學(xué)、思維心理學(xué)、學(xué)習(xí)心理學(xué)、教育心理學(xué)方面的書(shū)籍。
? 要培養(yǎng)這樣的思考習(xí)慣和學(xué)習(xí)方法，要悟道得道，自悟數(shù)學(xué)中的大道，提升自己的思想境界，別被其他因素誤導(dǎo)誤道。
? 如上，在學(xué)習(xí)方法上悟道，在思考方法上悟道，知曉了這些，理工科學(xué)習(xí)真不難。大學(xué)階段，現(xiàn)在有圖書(shū)館和互聯(lián)網(wǎng)，真不怎么需要老師，不需要經(jīng)常去上課，自學(xué)就行，自學(xué)很好。
? 這樣學(xué)習(xí)這樣自學(xué)，不要急功近利，開(kāi)始可能感覺(jué)比平常方式學(xué)習(xí)的人要慢些，但一旦悟道，以后就不可同日而語(yǔ)。
