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1. Wilcoxon Signed-rank test

前提：若數(shù)量型匹配（成對）樣本觀測值若成對稱分布，可以用Wilcoxon檢測兩個總體中位數(shù)差異

目標(biāo)：檢測差值成對稱分布的兩個總體中位數(shù)是否有差異：

(1) 給定N對樣本觀測值，其中一個來自總體1，一個來自總體2

(2) 對兩總體中位數(shù)之差進(jìn)行檢測，

H0: 總體1中位數(shù)-總體2中位數(shù)=0 ， H1：總體1中位數(shù)-總體2中位數(shù)≠0

(3) 計算每對差值

(4) 以差值絕對值順序得到秩(rank)

(5) 以差值符號作為秩的符號，得到符號秩

(6) 所有正的符號秩之和為隨機變量 $T^+$ ，計算得值為 $t^+_0$ ,? $T^+$ 作為隨機變量服從 $N(\mu_{T^+}, \sigma_{T^+})$ ,

$\mu_{T^+} = \frac{n(n+1)}{4}, \sigma_{T^+} = \sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}}$ ,? ?n>= 10

(7)? $t^+ 是 t^+_0的連續(xù)矯正后的值$ ， ?

$若 t^ >\mu_{T^+}， p-vlaue=2*(1-P(T^+ >= t^+)) = 2*(1-P(z>=\frac{t^+-\mu_{T^+}}{\sigma_{T^+}}))$ ,?

$若 t^+ <\mu_{T^+}， p-vlaue=2*P(T^+ <= t^+) = 2*P(z<=\frac{t^+-\mu_{T^+}}{\sigma_{T^+}})$ ,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(8). p-value<α，拒絕H0（中位數(shù)有差異），否則無法拒絕H0。

2. Mann-Whitney-Wilcoxon test

前提：數(shù)量型、順序型數(shù)據(jù)，不需要假定總體服從正態(tài)分布

目標(biāo)：檢測量總體是否有差異

(1) 給定來自總體1的n1個樣本，來自總體2的n2個樣本，和兩個總體同一維度的觀測值

(2) H0:兩總體相等， H1:兩總體有差異，指定顯著性水平α的值

(3) 將全部樣本混合，排序，得到每個樣本的秩，同序采用平均秩值

(4) 分別計算兩個總體的樣本秩和R1、R2，以總體1樣本集的秩和作為檢驗統(tǒng)計量W

(5) 當(dāng)兩個樣本容量都大于或等于7時，W的抽樣分布可以用正態(tài)分布近似，即W ~ $N(\mu_w, \sigma_w)$ ， $\mu_w = n_1(n_1+n_2+1)/2, \sigma_w = \sqrt{n_1n_2(n_1+n_2+1)/12}$

(6).? $若 W>\mu_w, p-value=2*P(W>=R_1)=2*(1-P(z>=\frac{R_1-\mu_w}{\sigma_w})$

$若 W <= \mu_w, p-value=2*P(W<=R_1)=2*P(z<=\frac{R_1-\mu_w}{\sigma_w})$ ? ? ? ?

?(7). 若p-value<α，拒絕H0（兩總體有差異），否則不能拒絕H0

若量總體形態(tài)相同，MWW可用于兩總體中位數(shù)差異的雙側(cè)、單側(cè)檢驗，

?即H0：中位數(shù)1- 中位數(shù)2=0， H1：中位數(shù)1-中位數(shù)2≠0。

3. 克魯斯卡爾--沃利斯檢驗

前提：數(shù)量型、順序型數(shù)據(jù)，不需要假定總體服從正態(tài)分布

目標(biāo)：對K個總體的K個獨立隨機樣本集的分析

(1) 來自K個總體的K個獨立隨機樣本集的觀測值

(2) H0：所有總體相同；H1：并非所有總體都相同，指定顯著性水平α

(3) 將所有數(shù)據(jù)混合排序得到所有樣本值的秩，同序采用平均秩值

(4) 分別計算來自K個總體的樣本秩和R1，...., Rk

(5) 計算統(tǒng)計量 $H=(\frac{12}{n_T(n_T+1)}\sum_{i=1}^k \frac{R_i^2}{n_i})-3(n_T +1) , n_T = \sum_{i=1}^k n_i$

(6) ?當(dāng)每個總體容量都>=5, H的抽樣分布近似服從自由度為k-1的 $\chi^2$ 分布，利用 $\chi ^2$ 分布求p-value

(7)??若p-value<α，拒絕H0（k個總體不全相同），否則不能拒絕H0

若k個總體形態(tài)相同，可用于k個總體中位數(shù)是否相同的檢測。

4. 秩相關(guān) Spearman rank-correlation coefficient (相關(guān)性檢測)

目標(biāo)：兩個變量的相關(guān)關(guān)系是否顯著的檢測

(1) 對兩個變量分別排序得到每個樣本每個變量值的秩；

(2) 計算樣本集兩個變量的Spearman 秩相關(guān)系數(shù)，? $r_s = 1-\frac{6\sum_{i-1}^n d_i^2}{n(n^2+1)}$ , 推斷總體變量1和變量2的相關(guān)秩為 $\r_s$ ；

(3) H0:? $H0: \r_s = 0, H1:\r_s \neq 0$ , 確定顯著性水平α；

(4) 當(dāng)n>=10時， $r_s$ 的抽樣分布近似服從 $N(\mu_{r_s}, \sigma_{r_s}), \mu_{r_s} = 0, \sigma_{r_s} = \sqrt{\frac{1}{n-1}}$ ；

(5)? $若r_s>\mu_s, 2*(1-P(z>= \frac{r_s-\mu_s}{\sigma_s}))$ ,? $若r_s<=\mu_s, 2*(P(z<= \frac{r_s-\mu_s}{\sigma_s}))$ ；

(6)?若p-value<α，拒絕H0（即總體的變量1與2顯著相關(guān)），否則不能拒絕H0。