英國(guó)數(shù)學(xué)家羅素提出的著名的“羅素悖論”，直接證明了作為數(shù)學(xué)大廈基礎(chǔ)的“集合論”是有問(wèn)題的，這也導(dǎo)致了“集合論”的發(fā)現(xiàn)者康托爾一次又一次的經(jīng)歷著羅素的劫難卻也解決不了這個(gè)問(wèn)題，最終死在了自己工作的哈佛大學(xué)精神病院里面。更為嚴(yán)重的是，這引起了對(duì)數(shù)學(xué)的整個(gè)基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的有效性的置疑，也就是數(shù)學(xué)史上的第三次危機(jī)。
集合理論
集合是什么呢？用康托爾的話說(shuō)，集合就是把具體的或思想上的一些確定的、彼此不同的對(duì)象聚集成的整體。
關(guān)于集合的理論是19世紀(jì)末開(kāi)始形成的。當(dāng)時(shí)德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾試圖回答一些涉及無(wú)窮量的數(shù)學(xué)難題，例如“整數(shù)究竟有多少？”“一個(gè)圓周上有多少點(diǎn)？”0—1之間的數(shù)比1寸長(zhǎng)線段上的點(diǎn)還多嗎？”等等。而“整數(shù)”、“圓周上的點(diǎn)”、“0—1之間的數(shù)”等都是集合，因此對(duì)這些問(wèn)題的研究就產(chǎn)生了集合論。
理論影響
雖然康托爾的集合論，在一開(kāi)始的時(shí)候，遭到了強(qiáng)烈的反對(duì)。但不久這一開(kāi)創(chuàng)性成果就為廣大數(shù)學(xué)家所接受了，并且獲得廣泛而高度的贊譽(yù)。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，從自然數(shù)與康托爾集合論出發(fā)可建立起整個(gè)數(shù)學(xué)大廈。因而集合論成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石。
1900 年，國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，法國(guó)著名數(shù)學(xué)家龐加萊發(fā)表了著名演說(shuō)：“… 借助集合論概念，我們可以建造整個(gè)數(shù)學(xué)大廈…，今天，我們可以說(shuō)，絕對(duì)嚴(yán)格性已達(dá)到了…..”
羅素悖論
據(jù)康托爾集合理論，任何性質(zhì)都可以決定一個(gè)集合，這樣所有的集合又可以組成一個(gè)集合，即“所有集合的集合”（大全集）。顯然，此集合應(yīng)該是最大的集合了，因此其基數(shù)也應(yīng)是最大的，然而其子集的集合的基數(shù)按“康托爾定理”又必然是更大的，那么，“所有集合的集合”就不成其為“所有集合的集合”，這就是“康托爾悖論”。對(duì)這一悖論，康托爾并沒(méi)有感到害怕，因?yàn)橥ㄟ^(guò)反證法恰恰證明沒(méi)有“所有集合的集合”或者說(shuō)“最大的集合”，當(dāng)然也沒(méi)有“最大的基數(shù)”。
直到1901年羅素發(fā)表的“羅素悖論”則“剝掉了數(shù)學(xué)技術(shù)性的細(xì)節(jié)”，使其中的矛盾赤裸裸地暴露出來(lái)了！
★ 塞爾維亞有一位理發(fā)師宣傳：他只給所有不給自己理發(fā)的人理發(fā)，不給那些給自己理發(fā)的人理發(fā)。問(wèn)：他要不要給自己理發(fā)。
用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)就是：
★ S 由一切不是自身元素的集合所組成。羅素問(wèn)：S 是否屬于 S 呢？
多么痛的領(lǐng)悟
羅素悖論使整個(gè)數(shù)學(xué)大廈動(dòng)搖了。無(wú)怪乎弗雷格在收到羅素的信之后，在他剛要出版的《算術(shù)的基本法則》第2卷末尾寫(xiě)道："一位科學(xué)家不會(huì)碰到比這更難堪的事情了，即在工作完成之時(shí)，它的基礎(chǔ)垮掉了，當(dāng)本書(shū)等待印出的時(shí)候，羅素先生的一封信把我置于這種境地"。于是終結(jié)了近12年的刻苦鉆研。
而長(zhǎng)期的過(guò)度疲勞和激烈的爭(zhēng)吵論戰(zhàn)，也使得康托爾的精神終于在1884年崩潰，1918年1月6日，他在哈爾精神病醫(yī)院逝世。
危機(jī)影響
第三次數(shù)學(xué)危機(jī)由于涉及到數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，基礎(chǔ)不牢，地動(dòng)山搖，所以說(shuō)是一次深刻的數(shù)學(xué)危機(jī)。這次危機(jī)使得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題第一次以最迫切的需要的姿態(tài)擺到數(shù)學(xué)家面前，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究。而這方面的進(jìn)一步發(fā)展又極其深刻地影響了整個(gè)數(shù)學(xué)。如圍繞著數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之爭(zhēng)，形成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)史上著名的三大數(shù)學(xué)流派。
