格林公式（Green’s theorem）是矢量微積分中的一個(gè)重要定理，它建立了曲線積分和二重積分之間的關(guān)系。格林公式有兩種形式：平面形式和空間形式。

平面格林公式： 設(shè) D 是平面上一個(gè)封閉區(qū)域，邊界曲線 C 為簡(jiǎn)單、逆時(shí)針方向的閉合曲線，且 C 給出了 D 的正向法向量。若 P(x, y) 和 Q(x, y) 是平面上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則平面格林公式表示：

∮C (P dx + Q dy) = ?D (Q? – P?) dA

其中，

∮C 表示沿曲線 C 的環(huán)路積分。

?D 表示在區(qū)域 D 上的二重積分。

(P dx + Q dy) 表示矢量場(chǎng)的微分形式。

Q? 表示 Q 對(duì) x 的偏導(dǎo)數(shù)。

P? 表示 P 對(duì) y 的偏導(dǎo)數(shù)。

dA 表示在平面上的面積元素。

簡(jiǎn)言之，平面格林公式表明了一個(gè)平面區(qū)域的邊界曲線上的環(huán)路積分等于該區(qū)域內(nèi)部函數(shù)的二重積分的微分。

空間格林公式： 空間格林公式是格林公式在三維空間中的推廣，它將曲面積分與體積積分聯(lián)系起來。設(shè) V 是空間中的一個(gè)封閉區(qū)域，曲面 S 是 V 的邊界，且 S 給出了 V 的正向法向量。若 F(x, y, z) = (P, Q, R) 是具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的矢量場(chǎng)，則空間格林公式表示：

∮S (P dy ∧ dz + Q dz ∧ dx + R dx ∧ dy) = ???V (div F) dV

其中，

∮S 表示沿曲面 S 的曲面積分。

???V 表示在空間區(qū)域 V 上的三重積分。

(P dy ∧ dz + Q dz ∧ dx + R dx ∧ dy) 表示矢量場(chǎng)的微分形式。

div F 表示 F 的散度。

dV 表示在空間中的體積元素。

空間格林公式表明了一個(gè)空間區(qū)域的邊界曲面上的曲面積分等于該區(qū)域內(nèi)部矢量場(chǎng)的散度的體積積分的微分。

格林公式在物理學(xué)、工程學(xué)和數(shù)學(xué)等領(lǐng)域中具有廣泛應(yīng)用，它建立了積分與微分之間的聯(lián)系。

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