2018年同等學力申碩計算機綜合試題解析--數(shù)學基礎

聲明：該份試題解析是本人自己做了一遍，再根據(jù)教材理論來完成本文編寫，符號太多編寫工作量大，如發(fā)現(xiàn)答案有錯誤或者不夠準確請及時給我留言，如需轉(zhuǎn)載請表明出處。感謝所有提出意見和建議，以及幫助過我的朋友。如果覺得還行，歡迎點贊轉(zhuǎn)發(fā)，謝謝！

一、(共4分)用邏輯符號表達下列語句(論域為包含一切事物的集合)

1、(2分)集合A的任一元素的元素都是A的元素

解析：?P(x)：?x是集合A的元素；Q(x,y)：x是y的元素。

????????????? ?x??y(P(y)∧Q(x,y) → P(x))

2、(2分)天下沒有長相完全一樣的兩個人（要求寫出兩種形式，一種用全稱量詞，一種用存在量詞）

解析：?P(x)：x是人；Q(x,y)：x和y長相相同；R(x,y)：x和y相同

??????????? ?x??yP(x)∧P(y)∧Q(x,y) → R(x,y)

二、填空(1-2題每空1分，3-6題每空2分，共16分)

1、 設A={?，{?}}，計算?-A=____?______，A-P(?)=______{{?}}_______，P(A)-{?} = _{{?}，{{?}}，{?，{?}}}_，P(A)⊕A=_{{{?}}，{?，{?}}}_.（其中P(A)表示A的冪集）

解析：A={?，{?}}，?是空，即不含任何元素，因此?-A=?；P(?) = {?}，A-P(?)={?，{?}}-{?}={{?}}；P(A)={??，{?}，{{?}}，{?，{?}}?}，P(A)-{??}={ {?}，{{?}}，{?，{?}}?}；P(A)⊕A?=（P(A)-A）∪（A-P(A)）={{{?}}，{?，{?}}}∪??=?{{{?}}，{?，{?}}}

2、 按照無窮公理表示的自然數(shù)以及連續(xù)統(tǒng)假設，用最簡潔的形式寫出下列計算結(jié)果，其中N表示自然數(shù)集合，R表示實數(shù)集合。

∩30=____?______,∩{18,27}=____18____,|N_{N} |=___??__,|R_{R} |=__?__

解析：該考點考的是自然數(shù)屬于每個歸納集的集合和廣義交運算。

∩30 = ∩{0，1，2，3，...,29} =?∩ {0}∩{0,1}∩{0，1，2}∩...∩{0,1,2,3,4,...,28} = ?

∩{18,27} = {0,1,2,3,...,17} ∩ {0,1,2,3,...,26} =? {0,1,2,3,...,17} =18 =min(18,27)

（僅供參考）連續(xù)統(tǒng)假設，不存在比阿列夫零大，比阿列夫小的基數(shù)。自然數(shù)集合N的基數(shù)為?? （阿列夫零），實數(shù)集合R的基數(shù)為? （阿列夫）

3、 將函數(shù)f(x)=(1+x+x^2+x^3+... )2(x^2+x^3+x^4+... )3 展開后x^{14}系數(shù)是___495_____

解析：f(x)= (1+x+x^2+x^3+... )2(x^2+x^3+x^4+... )3=(1-x)^{-2}x^6 (1-x)^{-3}=x^6(1-x)^{-5}

根據(jù)牛頓二項式公式推廣公式（1-x）^{-n} = \sum_{k}^∞C_{(n+k-1,k)}x^k ，則 f(x)=x^6 \sum_{k}^∞C_{(5+k-1,k)}x^k, (n=5) 要滿足x^{14},則k=8，從而系數(shù)為C_{(12 , 8)} = C_{(12,4)} =\frac{12*11*10*9}{1*2*3*4} =495

4、 如果平面圖和它對偶圖是同構(gòu)的，則稱此平面圖是自對偶的。若G是有n個頂點，m條邊的自對偶圖，求n和m滿足關(guān)系式是___m=2n-2____（此關(guān)系不含有n和m以外的其他變量）

解析：對偶圖滿足圖G與對偶圖G^* 的點跟面數(shù)是一樣的。同時滿足歐拉公式 v-e+r=2 這里的 e=m, v=r=n, 代入可得m = 2n-2。

5、 設圖G是共有10個頂點邊數(shù)最多的三部圖，則G有____24_________條邊。

解析：如圖下圖示： 因此邊數(shù)為 3*4*2 = 24。（這個題也有另外一種理解，邊數(shù)最多是完全三部圖，如果按完全三部圖的形式計算 9+12+12=33，如果不考慮完全三部圖的話，就按照括號外的答案。）

10頂點邊數(shù)最多三部圖模型

6、 有六對夫婦坐在一個圓桌旁，其中通過轉(zhuǎn)圈得到的坐法視為相同的坐法，S_{i} 表示第i對夫婦坐一起，則同時滿足S_{1} ，S_{3} 和S_{6}的坐法有_?? 2^38!___種。

解析：（之前的答案是我在抄寫題目的時候漏抄了一個‘第’字，導致理解上的偏差，因此答案變成了2^65!），要同時滿足S_{1},S_{3},S_{6}，即這樣就說明這三對夫妻需要固定下來，于是把他們進行綁定與另外3對夫妻進行圓周排列，一起總數(shù)是9個元素，排列方法為8！，其中綁定的那三對夫妻，讓女士優(yōu)先，每位丈夫在可以在妻子的左邊或者右邊因此有2^3 ，因此總數(shù)為 2^38!種。


三、計算題(要求寫出詳細運算步驟，共3分)

1、 有120個學生參加考試，共有A、B、C三道題。已知三道題都做對的有12個學生，作對A、B都有20個學生，做對A、C的有16個學生，做對B、C都有28個學生，做對A的有48個學生，做對B的有56個學生，有16個學生一道題也沒有做對，試求僅做對C的學生有多少個？

解析：該題有兩種方法：一種是容斥原理計算，另一種是文氏圖法：

方法一： 先用容斥原理來解。

?????????? 設做對題A的人數(shù)為|A|=48，做對題B的人數(shù)為|B|=56，做對題C的人數(shù)為|C|，全集|N|=120, 做對三道題的余集為16.

|A\cup B \cup C| = |N| - |\bar{A} \cap \bar {B} \cap \bar{C} | = 120 - 16 = 104

|A\cup B \cup C| =|A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C | = 104其中 |A| = 48，|B| = 56， |A∩B|=20，|A∩C|= 16， |B∩C|= 28， |A∩B∩C|= 12， 代入式子 可得 |C| = 104-12+20+16+28-48-56 = 52，題目中要求僅做對C的人數(shù)，

因此為 |C| - |A∩C| - |B∩C|+|A∩B∩C| = 52 - 16 - 28 + 12 = 20 即僅做對C的學生人數(shù)為 20 人。

方法二： 文氏圖法： 總?cè)藬?shù)為120人，要求僅做對C的人數(shù)，即圖中粉紅部分的人數(shù)X = 120 -16-20-24-8-4-16-12 = 20 ，即僅做對C題的學生人數(shù)為20人。

文氏圖


四、解答題(共6分)

1、(3分)4名同學同時參加英語和德語面試，要求每門科目只能同時面試1人，2門科目面試時間先后順序認為是不同的，試問共有多少種不同的面試次序？

解析：本題可以理解為4名學生以任意順序去參加英 語面試，于此同時不能在同一時刻去參加德語面試，即原來某位的同學不能在同一位置上（錯排問題）。因此該題的解為 4！D_{4} = 4！*4！*(1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!} ) = 24*9 = 216。 關(guān)于錯排可以用容斥原理來推,即i_{1}\neq 1，i_{2}\neq 2，i_{3}\neq 3，i_{4}\neq 4，不在原來的秩序位置上： D_{4} =|\bar{A_{1}} \cap \bar{A_{2}} \cap \bar{A_{2}} \cap \bar{A_{4}} | = N-|A_{1} \cup A_{2} \cup A_{2} \cup A_{4}| =N-\sum_{i=1}^4 |A_{i}|+\sum_{i=1}^4\sum_{j>i} |A_{i}\cap A_{j}| ...{(-1)}^4|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4}|= 4! - C_{(4,1)}3! + C_{(4,2)}2! -C_{(4,3)}1!+C_{(4,4)}0!=4!(1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!} ) =9

2、(3分) 求滿足遞推關(guān)系h_{n} = 5h_{n-1}-6h_{n-2}中 h_{n}的表達式，其中初始條件h_{0} = 1, h_{1}=-2 。

解析：本題考的是常系數(shù)齊次遞推關(guān)系，原式轉(zhuǎn)換為?h_{n} - 5h_{n-1}+6h_{n-2}=0，

因此特征方程為q^2 - 5q+6=0, 化簡之后得到(q-2)(q-3)=0,

解得兩個特征根?q_{1}=2,q_{2}=3，無重根，h_{n}的通解為H_{n} = C_{1}q_{1}^n+C_{2}q_{2}^n,

把兩個特征根和初始條件h_{0},h_{1}代入得到方程組：C_{1}2^0+C_{2}3^0 = 1 （1式）， C_{1}2^1+C_{2}3^1 = -2 （2式），

解該方程組得 C_{1}=5 ，C_{2}=-4 ，得?h_{n} =5*2^n-4*3^n

五、證明題(11分)

1、(3分)對非空集合A上的關(guān)系R，若R是非自反和傳遞的，證明R是反對稱的。

證明：用反證法證明，假設結(jié)論R是反對稱不成立，即R是對稱的。

R是A上的反自反關(guān)系 \forall x\{x\in A \land <x,x> \notin R\} ，

R是A上的傳遞關(guān)系 \forall x\forall y \forall z \{x,y,z\in A \land <x,y>\in R\land \in R \rightarrow \in R\}

如果對任意 \forall x\forall y\{x,y\in A \land <x,y>\in R \rightarrow \in R\} 成立，則比存在 \forall x\{x\in A \land <x,x> \in R\} ，與已知條件相矛盾。

顯然<x,y>與<y,x>最多只能有一個屬于R，所以R是A上的反對稱關(guān)系。

?2、(8分)設K_{n}是n個頂點的完全圖，用紅、藍兩種顏色給K_{9}的邊任意著色。

1)證明K_{9}中至少存在一個頂點v，使得v關(guān)聯(lián)紅邊個數(shù)不是3。

2)證明必有藍色的K_{4}或紅色的K_{3}。

1)證明：用反正法證明。

假設將K_{9}進行染色，每個點到其余8個點所成的邊都是恰有3條關(guān)聯(lián)的邊為紅色，現(xiàn)從每個端點統(tǒng)計各引出的紅色邊的總數(shù)應是3*9 = 27，但這是不可能的，因為每條邊關(guān)聯(lián)兩個頂點，對這種統(tǒng)計，所有點引出的紅色關(guān)聯(lián)邊的總數(shù)應為偶數(shù)，假設相矛盾,。因此必存在一點，從該點到其余各點的邊染紅色邊數(shù)一定大于3或小于3，因此得證。

2)證明：設從v_{1}向其余8個點引出的邊中紅邊多于3條，即至少有4條，不妨設它們?yōu)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=(v_%7B1%7D%EF%BC%8Cv_%7B2%7D)%2C(v_%7B1%7D%2Cv_%7B3%7D)%2C(v_%7B1%7D%2Cv_%7B4%7D)%2C(v_%7B1%7D%2Cv_%7B5%7D)" alt="(v_{1}，v_{2}),(v_{1},v_{3}),(v_{1},v_{4}),(v_{1},v_{5})" mathimg="1">。讓v_{2}，v_{3}，v_{4}，v_{5}構(gòu)成K_{4}，若有一條紅色邊，則其兩個端點與v_{1}構(gòu)成紅色三角形，即構(gòu)成紅色的K_{3}，否則這些邊全為藍色，這時v_{2}，v_{3}，v_{4}，v_{5}就構(gòu)成了一個藍色的K_{4}。

設從v_{1}向其余8點的引出的邊中，紅色邊數(shù)少于3條，即至多有2條，這時從v_{1}引出的藍色邊會有6條。不妨設這些邊為(v_{1}，v_{2}),(v_{1},v_{3}),(v_{1},v_{4}),...,(v_{1},v_{7}),讓v_{2}，v_{3}，v_{4}，v_{5}，v_{6}，v_{7}所構(gòu)成完全圖K_{6}，若其中有一個紅色三角形，則結(jié)論已真。若K_{6}中有個藍色三角形，則該三角形的3個頂點連同v_{1}構(gòu)成一個藍色K_{4}，結(jié)論亦真。

綜上所述得證。

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