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? ? 這篇講物化思想與虛構(gòu)思想，在數(shù)學(xué)思想方法揭秘-1中曾提到物化關(guān)系和物化對象。物化顧名思義就是物質(zhì)化，實體化，不玩虛的，要看得見摸得著。

? ? 這里的”物化”指的是將虛構(gòu)的或隱形(隱含)的事物實體化，物質(zhì)化，讓它化虛為實，化隱為顯，可視化。很多人造物就是物化，例如發(fā)明手機就是大腦中先有虛構(gòu)的手機，再一步步變成實實在在的手機，再比如數(shù)學(xué)中的虛數(shù)，我們首先定義它，為它規(guī)定虛數(shù)單位i，還為它定義復(fù)平面，這樣它就實實在在地存在了，虛數(shù)不虛，就像人類虛構(gòu)發(fā)明的各種人造物一樣，作用巨大。再比如幾何題中的輔助線，輔助線的重要性和作用大家都知道，很多幾何題如果不會作輔助線就沒法解題。原題中是看不到這些線的，它們是隱形的，或者說是我們在解題過程中虛構(gòu)出輔助線，再畫出實實在在的線讓它物化可見。

? ? 心(精神)與物(物質(zhì))、無形與有形、內(nèi)在與外在、抽象與具體、本質(zhì)與表象、虛(空無、虛無、虛擬、虛構(gòu))與實(實在、實體)、復(fù)雜與簡單、邏輯與物理是唯物辯證法中的一對矛盾，存在對立統(tǒng)一的辯證關(guān)系，相互聯(lián)系相互影響相互制約，相互滲透相互融合，在適當(dāng)條件下可以相互轉(zhuǎn)化。

? 人的感官和思維能力是相對有限的，相對而言不容易把握前者(心、無形、內(nèi)在、抽象、本質(zhì)、虛、復(fù)雜、邏輯)，而對后者的把握要強一些，要熟悉一些。大象無形，大音希聲，在通常情況下我們幾乎感知不到大象和大音，需要靜心才能勉強感應(yīng)到或借助外在工具；在天成象，在地成形，或觀察它們顯化的一些有形的事物來間接感知。

? 在一些缺少有形、有象、有物的情況下，當(dāng)這種狀況成為我們解決問題的障礙時，對這些(無形的、無象的、虛擬的、邏輯的)事物需要主動進行由隱到顯的轉(zhuǎn)化變換(外化、顯化、形象化、具象化、具體化、實在化)才能更好地把握，物化思想就是一種由隱到顯的思想。物化是個多義詞，本文中的物化簡單理解就是物質(zhì)化，實體化，物理上實在化。我們對物化應(yīng)該比較熟悉，例如人的思維成果一般是物化為語言和文字，大腦中的無形的所思所想實實在在白紙黑字落在語言和文字上。物化有時具有感情色彩，是一個貶義詞，指過于追求物質(zhì)條件。

? 通過從無到有(從無概念到有概念，從無形到有形，從虛到實)、從邏輯到物理、從復(fù)雜到簡單，構(gòu)造出實實在在的容易把握的實體對象來闡釋、表征、指代那些無形的或沒有對應(yīng)實體的事物和關(guān)系，它通過實體性存在體現(xiàn)了唯物辯證法的物質(zhì)第一性。

? 在數(shù)學(xué)中的物化思想也是為了變更問題，轉(zhuǎn)化問題，具體使用時一般會運用到對應(yīng)&映射、構(gòu)造法、符號化、概念化、對象化、整體思想等。

? 紙上談兵終覺淺，這里用5道數(shù)學(xué)題來具體闡述物化思想和虛構(gòu)思想。

第一題（初中幾何題）

初中題，不能用高中的二倍角公式和正弦、余弦定理。

思維過程：

審題觀察，要注意運用面向特征和模式識別的解題策略，一眼就可發(fā)現(xiàn)的淺顯的特征很多，例如等腰直角三角形ABC是特征對象，D點是特征點(直角斜邊中心點)、四點共圓(A、E、D、F)。

對D點，我們很自然要連接AD，因為這樣能充分利用和體現(xiàn)D點是中點這個已知條件的作用和特征點相關(guān)的眾多性質(zhì)、特征、定理結(jié)論、幾何模型，這樣做了后可演繹推理，增值產(chǎn)生很多新的信息和關(guān)系，例如可得AD=BD=BC，∠ADC為90度，∠EAD為45度。

對四點共圓，可連接EF，同理這樣補全幾何結(jié)構(gòu)就能充分利用上四點共圓相關(guān)的定理、性質(zhì)、幾何模型等知識，例如頂角相等∠EFD=∠EAD=45度，∠EDA=∠EFA。

要善于應(yīng)用關(guān)系思想，發(fā)現(xiàn)和利用題目中的各種關(guān)系?！螮DA和∠ADF存在互余關(guān)系，∠FDC和∠ADF存在互余關(guān)系，故可得出∠EDA和∠FDC存在相等關(guān)系。又∠EDA=∠EFA，故∠EDA=∠EFA=∠FDC。由已知條件可得∠ABF=2∠FDC=2∠EDA=2∠EFA。要反問自己：如何利用上這個二倍角關(guān)系？

通過反問來和自己對話，來引導(dǎo)或誘發(fā)自己的思維，包括直覺、靈感。

∠ABF和三個相等角∠FDC、∠EDA、∠EFA中的三個之中哪一個好利用些？觀察圖形，直覺告訴我們，∠EFA相對好一些。進一步追問自己，到底如何才能用好∠ABF=2∠EFA這個關(guān)系，這個關(guān)系類似方程，但在這個題目中，通過加減乘除代數(shù)運算算出∠ABF、∠EFA的具體度數(shù)并不可行。

直接利用∠ABF=2∠EFA這個關(guān)系不可行，所以要在這個關(guān)系基礎(chǔ)上進行轉(zhuǎn)化或變換，改造它。

如何變化改造，就要用到物化思維，一種想法是做∠ABF的角平分線，構(gòu)造出它的二分之一角(角度等于∠EFA)，也就是通過構(gòu)造法來物化出一個實實在在的半角。

不過憑直覺，感覺通過對稱，在∠EFA位置處物化構(gòu)造出一個2倍∠EFA更好，這個角在物理上實實在在存在，也就是把∠ABF=2∠EFA轉(zhuǎn)化為∠ABF=這個角，這個角是一個數(shù)學(xué)對象實體，或者說2∠EFA的值就對應(yīng)這個實體角。

故探索出如下的方法。

? 這個方法中物化構(gòu)造出的角就是∠EFA，它是實實在在的具有幾何意義的物理上存在的角，從等量代換上看，此角就是∠ABF的數(shù)學(xué)孿生對象實體。

? 類似其他幾何題中的線段關(guān)系a=b+c, 取長補短，一般要么在a上截取b或c，例如截取b，則a上剩下的一段為c′,? 它是c的孿生對象，長度等于c；要么延長b或c，例如延長b，構(gòu)造出a′，它是a的孿生。

? ? 這題是對關(guān)系的物化，第二題是對代數(shù)式的物化。

第二題

已知 $x$ 為實數(shù)，求 $\frac{3x^2+4\sqrt{3}x +1}{x^2+2}? 的最大值和最小值。$

? 結(jié)論中的代數(shù)式是個分式，我們先前進過對象化思想，求啥就設(shè)啥，把這個代數(shù)式看作一個整體對象, 用整體換元主動物化它。

令 $\frac{3x^2-4\sqrt{3}x +1}{x^2+2} =m$ ，此處的求啥設(shè)啥就是求這個代數(shù)式，就設(shè)這個為m。在沒有用m代表它之前，這個代數(shù)式其實是沒有一個實體和它對應(yīng)的，也就是沒有對象話(它是無名的)，物化后，m就是它的對象名稱，就是實體對象的標(biāo)識符號，就增加了抓手或可達性。

則 $(3-m)x^2 -4\sqrt{3} x +1-2m=0$

當(dāng) $m\neq 3時，由判別式\geq 0可得$ ：

$48-4(3-m)(1-2m)\geq 0$

$-1\leq m\leq \frac{9}{2}$ ，m=3也在這范圍內(nèi)。

故所求的最大值和最小值分別為 $\frac{9}{2} 和-1$ 。

第三題

初中幾何題，不能用高中的三角知識(正弦定理、余弦定理、三角函數(shù)和差公式)

$三角形ABC中，\measuredangle A=3\measuredangle C，BD為\measuredangle B的角平分線，AB=6\sqrt{2} ，BC=10\sqrt{2}，求CD長度。$

這題要處理好已知條件 $\measuredangle A=3\measuredangle C$ ，要反問自己如何利用這個已知條件，通過反問來引導(dǎo)自己的思維，誘發(fā)靈感。念念不忘，必有回響，相信自己的內(nèi)心會給出恰當(dāng)?shù)幕貞?yīng)和感覺。

兩種方法。

方法一，

? 這題通過構(gòu)造 $\measuredangle ACE和\measuredangle AEC兩個實體對象來表達\measuredangle A=3\measuredangle C關(guān)系，一個等于\measuredangle C，$ $一個等于2\measuredangle C$ 。

? 這樣物化兩個角之后，發(fā)生連鎖反應(yīng)，產(chǎn)生了增值(新)信息，例如發(fā)現(xiàn) $\Delta BEC是等腰\Delta ，BF垂直于CE，$ $F是CE中點。$ 對象之間的相互關(guān)系變順暢變?nèi)谇⒆兙o密了，矛盾和解題障礙變少了，棋局變活了，這樣才算利用好了已知條件，感覺從先前的山重水復(fù)疑無路，轉(zhuǎn)到柳暗花明又一村，峰回路轉(zhuǎn)，這是問題成功解決的征兆。

? ? 先前講過命題人思維，要猜想揣摩命題人的心思和他們的出題手段。這道題，命題人有可能是將等腰三角形BEC中的AEC切掉后來命題。在解題時就要反向溯源，抓住已知條件和結(jié)論中泄露的蛛絲馬跡來反向推測。這道題運用外角等于兩個內(nèi)角之和來重構(gòu)還原出原來被切掉的幾何結(jié)構(gòu)。

? ? 方法二，結(jié)合已知條件觀察幾何圖形，BD是角平分線，也是共邊，聯(lián)想到三角形全等模形SAS(邊角邊)，和模型很接近，還差一條邊，故如圖作BE=AB，構(gòu)造全等三角形模型。同 $時可看出通過全等也改變了\measuredangle A的方向和位置，也就是將\measuredangle A 等量轉(zhuǎn)移到\measuredangle DEB。\measuredangle DEB是\measuredangle A的替身，$ $它和\measuredangle C之間的相對方位好，距離近，和\measuredangle C聯(lián)系更緊密，便于利用\measuredangle A=3\measuredangle C這個已知條件。$

第四題

這題有兩個2倍角(角ABC=角ACB=2倍角ACD)，但我們可從幾何直觀上感覺到這些角之間在位置和方向上不協(xié)調(diào)，增加了解題難度。幾何圖形中幾何對象相互之間的位置和方向是影響幾何題解題的兩個重要因素，位置、方向不協(xié)調(diào)就要想辦法調(diào)整改變，例如作輔助線或作幾何變換。

對這道題，圖中存在等腰三角形，且BD和CE長度已知，從幾何直觀上，我們要感覺到對稱性，同時要感覺到存在一條長度為3的隱藏線段。把這條隱藏線段通過構(gòu)造物化出來，如下圖，延長AE到F，令A(yù)F=AD，易知EF=3。連DF，AFD為等腰三角形，且FD平行于BC，故角DFA=角ACB=2倍角ACD。此時觀察由點C、D、E、F構(gòu)成的圖形，從直觀上已經(jīng)感覺這些線段、角之間在位置和方向上的和諧度比先前有了較大提升，也就是”問題熵”減小了，可以沿用我們處理二倍角的經(jīng)驗了。延長EF到G，令FD=FG。易證DG=DC，三角形GDE全等于CDE，故GE=EC=8,故GF=GE-FE=5=FD，可得DE=4。在三角形DEC中，可用勾股定理求出CD。

幾何中的胡不歸問題與阿是圓問題，就是運用了物化思想進行轉(zhuǎn)化。例如AB、BD為線段，求2AB+BD的最小值，通過物化思想轉(zhuǎn)化為求MB+BD的最小值，這里MB線段是我們構(gòu)造出來的一個幾何對象，且MB=2AB，MB對象就是2AB這個量的物化，MB具有幾何意義，且便于求出MB+BD最小值。同一道題，改為求3AB+BD的最小值，可能就無法物化3AB，也就是我們即便構(gòu)造一個長度為3AB的線段MB，但MB沒有幾何意義或MB與BD無法組合出便于求MB+BD最小值的幾何結(jié)構(gòu)(幾何模型)。此時就要改變思想，例如數(shù)形結(jié)合，形轉(zhuǎn)到數(shù)，通過代數(shù)的方法求出3AB+BD的最小值。

第五題

如圖，ABCD為正方形，P為正方形外接圓劣弧AD上的任一點，證明 $\frac{PA+PC}{PB} 為定值。$