在這一章節(jié)之前，我們要先回顧一下之前學(xué)過的整式加減，首先我們可以將代數(shù)式分成兩類，一類是分式，一類是整式。我們現(xiàn)在先不看分式，就看整式。對于整式，我們還可以再進(jìn)行分類，將它分為單項(xiàng)式和多項(xiàng)式。那我們現(xiàn)在來看整式加減，在做整式加減時我們要分清楚什么時候能合并同類項(xiàng)。同類項(xiàng)表示的是字母和相同字母的指數(shù)相同的兩個項(xiàng)。只有在這樣的情況下，這兩個項(xiàng)才能合并，那么這些和我們現(xiàn)在要學(xué)的整式乘除什么關(guān)系呢？其實(shí)是有關(guān)系的，我們之前將整式分成了單項(xiàng)式和多項(xiàng)式。也就是說在整式乘除的時候，有可能是單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式。除法也是這樣。單項(xiàng)式除單項(xiàng)式。多項(xiàng)式除單項(xiàng)式，單項(xiàng)式除多項(xiàng)式，多項(xiàng)式除多項(xiàng)式。
那么接下來我們就要探索整式乘除。那么我們先從哪里開始呢？我們剛才給他們分了類。那么最簡單的就是單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式這一類。因?yàn)閱雾?xiàng)是也是字母和數(shù)字相乘。也就如a×be它也可以寫成這個形式：a×b×e，也就等于abe
但是在單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式中還有這樣特殊的一類。那就是同底數(shù)冪相乘。就像102×103這一類該怎么計算呢？現(xiàn)在這個102是冪的形式，我們可以將這個冪的形式轉(zhuǎn)化成積的形式。變成10×10×10×10×10。也就是五個10相乘。等于10。所以102×103＝10^5，我們會發(fā)現(xiàn)它也就等于10的2+3次方。從頭到尾這個底數(shù)時，它沒有任何變化，而它的指數(shù)是相加在了一起。不過這只是一個特例，我們要將它變成普遍的規(guī)律。也就是用字母來代替數(shù)字。就是a^m·a^n，a^m就是m個a相乘，a^n就是n個a相乘，a^m＋n(在這時候和都應(yīng)該為整數(shù)。因?yàn)槲覀儸F(xiàn)在理解的次方是有幾個a相乘，那如果m和n是小數(shù)，那么有零點(diǎn)幾個a相乘，這種就解釋不通了)這個是符號語言。文字語言來說就是同底數(shù)冪乘方法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。那么根據(jù)乘除互逆，我們就可以推出相應(yīng)的除法算式。
剛才的同底數(shù)冪相乘只是一部分，在剛才例子當(dāng)中，底數(shù)它是一個整數(shù)，那如果我們現(xiàn)在將底數(shù)變成冪的形式，也就變成(32)3這樣該怎么計算呢？我們也是把冪的形式轉(zhuǎn)化成積的形式。也就會變成32×32×32那我們現(xiàn)在又可以用上面發(fā)現(xiàn)的同底數(shù)冪相乘的規(guī)律。它也就等于3^2+2+2＝3^6，我們會發(fā)現(xiàn)這個底數(shù)3一直都沒有變。他的指數(shù)6其實(shí)就是剛才3的兩個指數(shù)2×3得出來的。不過這只是一個特例，我們還是要用字母代替，表示成一個普遍規(guī)律。a^m的a^n=a^mn。用文字語言來說就是冪的乘方法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。
那么我們剛才說的底數(shù)都是一個數(shù)字，那我們現(xiàn)在如果將底數(shù)變成兩個數(shù)的積呢？就變成這樣子的形式：(2×3)2。同樣我們也將冪的形式先變成積的形式，也就是(2×3)×(2×3)。我們用乘法分配律將括號去掉。就是2×3×2×3，之后我們可以再利用乘法交換律。將他變成2×2×3×3在用我們之前發(fā)現(xiàn)的同底數(shù)冪相乘的規(guī)律，就會變成22×32。那么原本的形式是2×3，我們可以把這個形式叫做積，那2×3的方也就等于積的乘方。通過變形，我們將它變成了22×32。2^2和3^2都是乘方的形式，而他們兩個平方相乘，我們可以把它叫做乘方的積。我們用字母表示就是。(ab)^n=a^n·b^n。用文字語言來說就是。積的乘方法則：積的乘方等于乘方的積。
之前說的都是特殊的單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式。還有一般的單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式。
那么單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式我們說完了，可以再說說單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式。乘以多項(xiàng)式其實(shí)非常簡單。依據(jù)乘法分配律，用單項(xiàng)式去一個一個乘以多項(xiàng)式中的每個項(xiàng)就可以了。
那么根據(jù)乘除互逆的原則，上面講過的那些乘法算式都應(yīng)該有兩個對應(yīng)的除法算式。先從第一個同底數(shù)冪乘法說起。我們上面舉的例子是10^2·10^3=10^5，那么現(xiàn)在利用乘除互逆將它反過來就會變成10的5次方除以10的二次方等于十的三次方。也就是5個10相乘，以兩個十乘的還剩下三個式相乘。用字母來說就是。a^m÷a^n=a^m－n，不過有一個前提，因?yàn)槌龜?shù)不能為零，所以a也不能為零。文字語言就是：同底數(shù)冪除法法則：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。除法呢，我們可以用另一種方式來理解那就是分?jǐn)?shù)。10^5÷102，它也就等于10·10／10×10×10×10×10。分子分母同時除以10·10，分子還剩下了3個10相乘也就等于103。不過上面我們舉的例子中都是m＞n的情況，也就是m－n為正整數(shù)的情況。那么還有兩種情況，一種是m-n減等于零，也就是m=n，還有一種就是m-n減為負(fù)整數(shù)。也就是m＜n。我們現(xiàn)在先來看m減n等于零的情況。那我們先舉一個特例。10^5÷10^5。就是一個數(shù)除以自己本身，它應(yīng)該等于一。按照我們之前的，同底數(shù)冪除法法則應(yīng)該等于10o。也就是說10o應(yīng)該等于1。能用字母表示，也就是說ao=1。(a不等于零)。那我們現(xiàn)在再來看m＜n的情況。再舉一個特例。103÷10^5，用分?jǐn)?shù)來解釋，也就是說10×10×10×10×10/10×10×10。我們分子分母同時約分就會變成102／1。那么我們現(xiàn)在在用同底數(shù)冪除法法則來解釋。應(yīng)該=10^-2。也就是說10^-2=102／1。用字母表示就是a^－n=a^n／1。(a≠0)
這是一類特殊的除法，其他的除法。我們也可以把它寫成分?jǐn)?shù)的形式。就像3a與ab的和除以a寫成分?jǐn)?shù)形式就是a／3a＋ab。但是現(xiàn)在我們還沒辦法進(jìn)行約分。因?yàn)樗姆肿邮羌臃ǖ男问?，并不是乘法的形式。我們現(xiàn)在就要將分子轉(zhuǎn)化成乘法的形式。為了和分母進(jìn)行約分，我們要從分子中提取出一個a，也就會變成a·(3＋b)，然后分子分母同時除以a，結(jié)果就是三加b，分子從加法的形式變成乘法的形式。這個過程就是因式分解。
最后剩下一種多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式。多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，我們就可以將一個括號拆開，然后另一個括號中當(dāng)做一個整體，就像單項(xiàng)式那樣一個像一個像的去乘。然后再用乘法分配率再拆一次括號。最后再看一下有沒有同類項(xiàng)可以合并。
不過多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式還有幾種特殊的，有一類就是(a＋b)(a-b)用上面的方法做就是a與b的和乘以a減去a與b的和乘以b。再用乘法分配率。就是a2＋ab-ab-b2化解一下就等于a方減b方。所以我們就可以得出結(jié)論。(a＋b)(a-b)＝a2-b2也可以用圖形解釋。
這個公式我們就叫做平方差公式。
還有特殊的一類，(a＋b)2用乘法分配率算出來的結(jié)果會是與的a和b乘以a，加上a與b的和乘以b。也就等于a方加ab加ab加b方。等于a2＋2ab＋b2。也就是(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2這也可以用圖形解釋。
這就是完全平方公式中的完全平方和公式。
那有完全平方和公式，就有完全平方差公式。完全平方差公式就是(a－b)2用乘法分配率算出來的話，等于一方減ab，減ab加b方。等于。a方減二，ab加b方。也就是(a-b)2＝a2－2ab＋b2同樣也可以用圖形解釋。
這也就是完全平方差公式。
