于是，構(gòu)建能解決12x+x10–sinx等任意曲線y(x)的反向問(wèn)題的方法，就變成了微積分的圣杯。更準(zhǔn)確地說(shuō)，它是積分學(xué)的圣杯。一旦解決了反向問(wèn)題，就可以徹底解決面積問(wèn)題。換言之，已知任意曲線y(x)，我們可以算出曲線下方的面積A(x)；而通過(guò)解決反向問(wèn)題，我們也可以解決面積問(wèn)題。這就是我為什么說(shuō)這兩個(gè)問(wèn)題是一出生即被分開的雙胞胎，或者同一枚硬幣的兩面。

反向問(wèn)題的解決方案還會(huì)產(chǎn)生更大的影響，原因如下：根據(jù)阿基米德的觀點(diǎn)，面積是無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的矩形條之和。因此，面積是一個(gè)積分，它是所有碎片重新拼湊起來(lái)的整體，是無(wú)窮小變化的累積。就像導(dǎo)數(shù)比斜率重要一樣，積分也比面積重要。我們將在后面的章節(jié)中看到，面積對(duì)幾何學(xué)而言至關(guān)重要，而積分對(duì)一切來(lái)說(shuō)都至關(guān)重要。

處理棘手的反向問(wèn)題的方法之一是無(wú)視它，把它擱在一邊，并用更簡(jiǎn)單的正向問(wèn)題（已知A，計(jì)算它的變化率dA/dx；根據(jù)基本定理，我們知道這個(gè)變化率一定等于我們正在尋找的y）取代它。相比反向問(wèn)題，正向問(wèn)題要容易得多，因?yàn)槲覀冎涝搹哪睦镏秩ソ鉀Q它。我們可以從已知的面積函數(shù)A(x)入手，然后運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算它的變化率。由此得出的變化率dA/dx一定扮演著函數(shù)y的角色，因?yàn)榛径ɡ硐蛭覀儽ＷCdA/dx=y。至此，我們就有了一對(duì)搭檔函數(shù)A(x)和y(x)，它們分別代表面積函數(shù)及其關(guān)聯(lián)曲線。我們希望，如果有幸遇到需要我們計(jì)算特定曲線y(x)下方面積的問(wèn)題，它對(duì)應(yīng)的面積函數(shù)就是它的搭檔A(x)。盡管這不是一種系統(tǒng)性方法，而且只在我們運(yùn)氣好的時(shí)候起作用，但它至少是一個(gè)容易的開端。為了增加成功的概率，我們的第一項(xiàng)任務(wù)是制作一張大查詢表，以[A(x),y(x)]對(duì)的形式列出幾百個(gè)面積函數(shù)及其關(guān)聯(lián)曲線。那么，基于這張表的規(guī)模和多樣性，我們找到解決真正的面積問(wèn)題所需的搭檔函數(shù)的概率將大幅增加。一旦找到那對(duì)必需的函數(shù)，我們就無(wú)須做進(jìn)一步的工作了，因?yàn)榇鸢妇驮谀菑埍砝铩?/p>