2.1引子
我們知道圓的面積公式是：
用多邊形漸進(jìn)推導(dǎo)：
在圓內(nèi)做內(nèi)接正多邊形，多邊形邊數(shù)越多所圍成面積越接近于圓的真實(shí)面積。設(shè)n為多邊形邊數(shù)，圓面積就是n->∞時(shí)多邊形的面積。
多邊形邊數(shù)是正整數(shù)，以上案例體現(xiàn)了數(shù)列極限的思維，而數(shù)列極限是函數(shù)極限x->∞的特例。
幾何理解：從幾何上講，f(x)在x->∞極限為A意義為：直線y=A為y=f(x)的水平漸近線。
2.2極限存在定義
定義1：對(duì)函數(shù)f(x)，x->∞極限存在充分必要條件是x->+∞ 和x->-∞極限存在并且相等。
定義2：對(duì)函數(shù)f(x)，x->x0極限存在充分必要條件是x->x0+和x->x0-極限存在并且相等。
注意：函數(shù)在某點(diǎn)x0是否存在極限，與在x0是否有定義或者取值都無關(guān)?？赡茉趚0有定義但無極限，也可能無定義但有極限。
如上圖f(0)=-1，但f(x)在x->0的極限為0。
定義3：夾逼定理。常用于數(shù)列極限求解。
定義4：單調(diào)有界數(shù)列必有極限。注：有界數(shù)列不一定有極限，有界+單調(diào)才可以。
2.3函數(shù)和數(shù)列極限的性質(zhì)
函數(shù)極限性質(zhì)：
①唯一性；
②局部有界性；
③局部保號(hào)性；
函數(shù)極限性質(zhì)：
數(shù)列極限性質(zhì)：數(shù)列極限是函數(shù)x->+∞特殊情況。
- 如果數(shù)列收斂，那么極限唯一。
- 如果數(shù)列收斂，那么數(shù)列有界。
- 數(shù)列收斂的保號(hào)性。
- 如果數(shù)列收斂于a，那么它的任一子列也收斂于a。
2.5極限求解
2.5.1利用基本極限公式求解
2.5.2利用極限有理運(yùn)算求解
（1）如果limf(x)存在，c為常數(shù)，則limcf(x)=climf(x)。
（2）如果limf(x)存在，n為正整數(shù)，則limf(x)n=[limf(x)]n。
（3）數(shù)列極限四則運(yùn)算：
（4）有理多項(xiàng)式極限運(yùn)算：
2.5.3利用等價(jià)無窮小代換求極限
2.5.4利用無窮小四則運(yùn)算
（1）有限個(gè)無窮小和是無窮小。
（2）有界函數(shù)與無窮小乘積是無窮小。
（3）有限個(gè)無窮小乘積是無窮小。無窮小與無窮小的商要看分子分母誰趨于“零”快慢程度——無窮小的階。
一個(gè)重要無窮大：
無窮小階的性質(zhì)：
2.5.5利用洛必達(dá)法則求解
2.5.6利用泰勒公式求解
2.5.7利用夾逼定理求解——通常用于數(shù)列極限
2.5.8利用單調(diào)有界性求極限
單調(diào)遞減有下界——極限為下界
單調(diào)遞增有上界——極限為上界
