【原創(chuàng)：東瑾橙】
我是一名211大學(xué)的數(shù)學(xué)專業(yè)本科生，在我從小到大學(xué)習(xí)的過(guò)程中，我發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)問(wèn)題：國(guó)內(nèi)的大學(xué)數(shù)學(xué)教材似乎都過(guò)于注重科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性，書中的內(nèi)容有些晦澀難懂，如果讓一個(gè)熱愛(ài)數(shù)學(xué)但是還沒(méi)有什么數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的小朋友來(lái)讀，或者讓對(duì)數(shù)學(xué)不怎么感興趣的人來(lái)讀，是很難厘清其中的邏輯的；而國(guó)外的教材雖然內(nèi)容上稍微通俗了一點(diǎn)，但限于語(yǔ)言風(fēng)格、篇幅、書名的影響，普通人還是很難接觸到。我在上初中第一次接觸到大學(xué)教材時(shí)就曾想過(guò)，如果能出現(xiàn)一些科普性質(zhì)的讀物，能夠把這些大學(xué)的內(nèi)容講得中小學(xué)生也能聽(tīng)懂，那該有多好啊。直到現(xiàn)在，我真的成為了一名數(shù)學(xué)專業(yè)的大學(xué)生，我決定自己去實(shí)踐我兒時(shí)的想法，在自己的學(xué)習(xí)過(guò)程中，就當(dāng)做是整理筆記，就當(dāng)做是“費(fèi)曼學(xué)習(xí)法”，一點(diǎn)一點(diǎn)把我的所學(xué)轉(zhuǎn)化成通俗易懂的語(yǔ)言。
話不多說(shuō)，直入正題。我最想說(shuō)也是最有感觸的，其實(shí)是數(shù)學(xué)分析。用一個(gè)比喻來(lái)說(shuō)，如果把數(shù)學(xué)本身比喻成是建房子，那么小學(xué)我們學(xué)的是準(zhǔn)備磚塊、水泥，還有打地基，我們學(xué)習(xí)的是數(shù)字最基本的運(yùn)算（加減乘除），以及建房子最基本的圖紙（簡(jiǎn)單圖形）；到了初中，我們學(xué)習(xí)的是砌墻和打地基，讓房子的結(jié)構(gòu)（方程、幾何證明）初步形成；到了高中，我們是在做精裝修和內(nèi)部設(shè)計(jì)，讓房子功能齊全、美觀大方，給房子裝上可以觀察外面世界的窗戶。以上這些，通俗地稱之為“初等數(shù)學(xué)”，乍一看似乎都沒(méi)有脫離“建房子”這件事情。但是大學(xué)數(shù)學(xué)呢？它研究的是建筑學(xué)本身，它不只是去建一座房子，而是要學(xué)習(xí)各種建筑風(fēng)格（數(shù)學(xué)分支）、建筑材料與力學(xué)原理（數(shù)學(xué)理論），甚至去設(shè)計(jì)全新的、前所未見(jiàn)的未來(lái)建筑（數(shù)學(xué)研究）。而數(shù)學(xué)分析無(wú)疑是其中最核心的部分。這也很容易解釋為什么大學(xué)數(shù)學(xué)給我們一種“我買菜用得到嗎？”的錯(cuò)覺(jué)。正如我們?nèi)ラ_(kāi)一輛汽車，我們不必了解汽車的發(fā)動(dòng)機(jī)的詳細(xì)構(gòu)造，我們只需要有一本駕照就可以。但是對(duì)于造車的人來(lái)說(shuō)，了解發(fā)動(dòng)機(jī)的構(gòu)造卻至關(guān)重要。在數(shù)學(xué)分析中，我們研究的就是類似于“發(fā)動(dòng)機(jī)構(gòu)造”這樣的數(shù)學(xué)本質(zhì)的問(wèn)題。
想象一下，你是一個(gè)極其挑剔的工匠，想要打造一張世界上最光滑的桌子。普通數(shù)學(xué)就是在教你怎么測(cè)量桌子有多長(zhǎng)、有多寬，而數(shù)學(xué)分析則是教你：怎樣把這張桌子打磨得絕對(duì)光滑？每一次摩擦之后，這個(gè)桌子究竟發(fā)生了什么變化？簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)分析就是用一種“無(wú)限”和“精確”的眼光，去研究事物的“變化”和“精細(xì)結(jié)構(gòu)”。
第一部分：數(shù)學(xué)分析的核心思想——0.99999……=1。
數(shù)學(xué)分析的核心思想其實(shí)可以總結(jié)為兩個(gè)字：極限。而什么是極限呢？我們可以用兩個(gè)故事來(lái)幫助大家理解極限的含義。
第一個(gè)就是著名的阿基里斯的故事。
傳說(shuō)古希臘有個(gè)飛毛腿叫阿基里斯，他跑得飛快。但他為什么追不上一只在他前面慢慢爬的烏龜呢？有人是這么說(shuō)的：阿基里斯要追上烏龜，他必須先跑到烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn)。當(dāng)他跑到那個(gè)點(diǎn)時(shí)，烏龜已經(jīng)往前爬了一小段。他再追到那個(gè)新點(diǎn)，烏龜又爬了一小段……這樣看來(lái)，阿基里斯每次都要先到達(dá)烏龜?shù)摹吧弦粋€(gè)點(diǎn)”，而烏龜總是在他前面，所以他永遠(yuǎn)追不上。
這個(gè)說(shuō)法在邏輯上聽(tīng)起來(lái)是沒(méi)問(wèn)題的，但現(xiàn)實(shí)中我們都知道，阿基里斯一眨眼就可以追上烏龜。那問(wèn)題出在哪里呢？其實(shí)，問(wèn)題就是出現(xiàn)在“永遠(yuǎn)”這個(gè)詞上。
數(shù)學(xué)分析會(huì)告訴你，沒(méi)錯(cuò)，阿基里斯確實(shí)會(huì)經(jīng)過(guò)這樣一個(gè)一個(gè)小段，而且確實(shí)是無(wú)限的。但是，這無(wú)數(shù)個(gè)越來(lái)越小的小段加起來(lái)的時(shí)間卻不是無(wú)限的，無(wú)論這樣的小段有多少個(gè)，他們最終加起來(lái)的數(shù)值都是一個(gè)有限的值！阿基里斯超過(guò)烏龜?shù)哪且凰查g，就是這個(gè)有限值！
如果用數(shù)學(xué)的方式來(lái)舉個(gè)例子的話，我們可以假設(shè)阿基里斯9秒跑10米，烏龜9秒跑1米，我們假設(shè)阿基里斯距離烏龜有一米。此時(shí)阿基里斯跑到烏龜?shù)奈恢茫枰?.9秒，但在這0.9秒里，烏龜又向前跑了0.1米。阿基里斯如果需要跑到烏龜現(xiàn)在所在的位置，那就需要0.09秒，但是在這0.09秒里，烏龜又向前跑了0.01米……這樣無(wú)限地追下去，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，阿基里斯追上烏龜所花的時(shí)間是多少呢？是0.99999……秒。這個(gè)數(shù)字有什么特點(diǎn)呢？這樣無(wú)限的加下去，我們不難發(fā)現(xiàn)，這個(gè)數(shù)字在無(wú)限地逼近1，但是永遠(yuǎn)到不了1。到這里其實(shí)我們就已經(jīng)可以發(fā)現(xiàn)，阿基里斯在1秒后就可以追上烏龜了。而由我們所學(xué)的知識(shí)，0.99999……=1，其實(shí)阿基里斯追上烏龜?shù)臅r(shí)間恰好是1秒。
如果沒(méi)有數(shù)學(xué)分析，恐怕幾千年來(lái)都沒(méi)法給阿基里斯正名，這位跑步英雄也將一直蒙羞于追不上烏龜?shù)膼u辱之中。
第二個(gè)故事，我想講一個(gè)有關(guān)孫悟空的故事。
太白金星給了孫悟空一個(gè)袋子，說(shuō)里面有10顆糖，要孫悟空在一分鐘以內(nèi)把它們拿出來(lái)，這不難，孫悟空一下就想出來(lái)了，每6秒往外拿一顆就好了；太白金星又給了他一個(gè)袋子，說(shuō)里面有一萬(wàn)顆糖，要他一分鐘之內(nèi)把它們拿出來(lái)，這也不難，孫悟空想，動(dòng)作快一點(diǎn)就好了；可第三次，太白金星拿出來(lái)這個(gè)袋子，硬說(shuō)里面有無(wú)數(shù)顆糖，要孫悟空在一分鐘之內(nèi)把它們拿出來(lái)，這可難壞了孫悟空，這可如何是好？
后來(lái)，紅孩兒給孫悟空出了個(gè)主意：你花0.9分鐘取第一顆糖，0.09分鐘去第二顆糖，0.009分鐘取第三顆糖……這樣越來(lái)越快地取下去，所花的時(shí)間是0.99999……分鐘，恰好是1分鐘。這兩個(gè)故事，都提到了一個(gè)非常反直覺(jué)的結(jié)論，那就是0.99999……=1。問(wèn)題出在哪里呢？其實(shí)，就在后面這個(gè)省略號(hào)。我們總覺(jué)得這兩者之間差了一點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)，但是省略號(hào)內(nèi)的9是無(wú)窮無(wú)盡的，這就是極限，它將無(wú)限地逼近1，并且最終到達(dá)那個(gè)精確的值“1”。
第二部分：數(shù)學(xué)分析在研究什么？
其實(shí)，數(shù)學(xué)分析的兩大核心內(nèi)容，就是微分與積分。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)微分就像是把饅頭、面條等各形各色的面食拆分成面粉這種一樣的東西，而積分就是把這些面粉重新再做成饅頭、面條等。
其實(shí)，用我們身邊的現(xiàn)象來(lái)舉例，似乎更加容易理解。比如，為什么古人和小孩子感覺(jué)不到地球是圓的呢？其實(shí)我們也感覺(jué)不到，在我們的視野中，地球是平的，甚至我們從北京跑到上海，如此遙遠(yuǎn)的跨度，也并不能讓我們感受到有在曲面上跨越的感覺(jué)。這其實(shí)體現(xiàn)了微分的思想。為什么我們感覺(jué)不到“曲”呢？因?yàn)榈厍蛱罅?，大到我們的視野中，地球幾乎是一個(gè)完完全全的平面。這也就啟示我們：在一個(gè)球面上選取很小很小的一塊區(qū)域，這一塊區(qū)域可以看做是平面。這就是微分，是不是很簡(jiǎn)單？
那什么是導(dǎo)數(shù)呢？
我們坐車去一個(gè)地方的時(shí)候，通過(guò)花的時(shí)間和行駛的路程，我們可以算出來(lái)我們的平均速度。但是，這個(gè)速度和我們車上的速度表上的速度，在很多時(shí)候都是不一樣的。因?yàn)檐囎邮菚r(shí)快時(shí)慢的，等紅燈的時(shí)候速度為0，在高速公路上速度可以達(dá)到120公里每小時(shí)。通俗來(lái)說(shuō)，汽車速度表上的速度，也稱為瞬時(shí)速度，這就是導(dǎo)數(shù)?？梢岳斫鉃榘颜麄€(gè)路程無(wú)限細(xì)分，取其中極小的一段路程，算出來(lái)的這一段極小路程的平均速度。
那什么是積分呢？
我們小的時(shí)候一定都玩過(guò)積木，單是一堆積木，根本看不出是什么形狀，但是如果我們把這一堆積木拼成城堡，我們就知道原來(lái)這堆積木里藏著一個(gè)城堡。積分也差不多，只不過(guò)我們拼的不是積木塊，我們拼的是微分出來(lái)的一小塊一小塊無(wú)限細(xì)分的圖形。一個(gè)不規(guī)則的圖形，通過(guò)我們上面的分析，經(jīng)過(guò)無(wú)限細(xì)分（也就是微分），可以分割成規(guī)則的圖形，那我們把這規(guī)則圖形的面積算出來(lái)，再加起來(lái)，不就得到了這個(gè)不規(guī)則圖形的面積嗎？這就是積分的一個(gè)應(yīng)用。類比出去，我們幾乎可以算出一切不規(guī)則的東西了。
以上這些內(nèi)容只是對(duì)數(shù)學(xué)分析最通俗的解釋，實(shí)際上的數(shù)學(xué)分析比這要復(fù)雜很多，但是也逃不出這幾樣?xùn)|西。后續(xù)我會(huì)慢慢分解數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容，盡可能使其通俗易懂，盡可能讓更多人了解，“買菜用不到”的數(shù)學(xué)，到底是什么樣的。
【以上內(nèi)容如有錯(cuò)誤，懇請(qǐng)批評(píng)指正。我們共同學(xué)習(xí)，共同進(jìn)步！】
