左右手坐標(biāo)系下三維位姿（旋轉(zhuǎn)、平移）的轉(zhuǎn)換

太長(zhǎng)不看

假設(shè)右（或左）手坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量分別為R和T，左（或右）手坐標(biāo)系下分別為R^{’}和T^{’}，假設(shè)S = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}，則有
R = S \cdot R^{’} \cdot S \\ T = S \cdot T^{’}

推導(dǎo)

右手食指為Y軸正方向，中指為Z軸正方向，大拇指為X軸正方向，這樣的坐標(biāo)系為右手坐標(biāo)系。右手換成左手則為左手坐標(biāo)系。將一個(gè)坐標(biāo)系的一個(gè)軸取反向，則改變了手性；兩個(gè)軸取反向，則等價(jià)于繞第三軸旋轉(zhuǎn)180度；將三個(gè)軸都取反向，則是前面兩者的疊加，改變手性+旋轉(zhuǎn)。

左右手坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換在圖形學(xué)開(kāi)發(fā)中經(jīng)常出現(xiàn)，例如OpenGL使用右手坐標(biāo)系，Unity使用左手坐標(biāo)系。下文所述右手坐標(biāo)系即是OpenGL坐標(biāo)系，左手坐標(biāo)系即是Unity坐標(biāo)系。

左右手坐標(biāo)系示意圖

左手坐標(biāo)系下有一個(gè)點(diǎn)P_l=(x,y,z)^T，則在右手坐標(biāo)系下，該點(diǎn)應(yīng)該表示為P_r=(-x,y,z)^T。

假設(shè)空間中有變換矩陣
S=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}=S^{-1}

則左右手坐標(biāo)系下點(diǎn)的變換即可用S來(lái)表示，即
P_l = S \cdot P_r \\\\ P_r = S \cdot P_l

假設(shè)空間中有旋轉(zhuǎn)矩陣R和平移向量T，世界坐標(biāo)系下有點(diǎn)P_w，對(duì)應(yīng)相機(jī)坐標(biāo)系下有點(diǎn)P_c，則有
P_c = R \cdot P_w + T

假設(shè)P_c、P_w、R、T均定義在右手坐標(biāo)系下，{P_c}^{’}、{P_w}^{’}、{R}^{’}、{T}^{’}分別為上述變量在左手坐標(biāo)系下的定義，即
P_c = R \cdot P_w + T \\\\ {P_c}^{’} = {R}^{’} \cdot {P_w}^{’} + {T}^{’}

左右手坐標(biāo)系下位置的變換我們已經(jīng)知道，即{P}^{’}=S \cdot P，則有
{P_c}^{’} = {R}^{’} \cdot {P_w}^{’} + {T}^{’} \rightarrow \\\\ S \cdot {P_c} = {R}^{’} \cdot S \cdot {P_w} + {T}^{’} \rightarrow \\\\ {P_c} = {S}^{-1} \cdot {R}^{’} \cdot S \cdot {P_w} + {S}^{-1} \cdot {T}^{’}

已知右手坐標(biāo)系下P_c = R \cdot P_w + T，故有左右手坐標(biāo)系下旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量的的轉(zhuǎn)換
R = S^{-1} \cdot R^{’} \cdot S = S \cdot R^{’} \cdot S \\\\ T = S^{-1} \cdot {T}^{’} = S \cdot {T}^{’}

以上

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