摘要：《從數(shù)學(xué)到哲學(xué)》是王浩的代表作，是其正面集中闡釋自己哲學(xué)思想的作品。循著從柏拉圖到哥德爾的“數(shù)學(xué)-哲學(xué)家”傳統(tǒng)，王浩在書中首次對(duì)實(shí)質(zhì)事實(shí)主義一般立場(chǎng)進(jìn)行了長(zhǎng)篇闡發(fā)；廣泛、深入地討論了數(shù)學(xué)哲學(xué)的諸議題；探索了心靈與機(jī)器、數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)、知識(shí)與生活等話題；還重點(diǎn)考察了邏輯和數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一些基本概念。
一、數(shù)理邏輯與數(shù)學(xué)哲學(xué)
1.數(shù)學(xué)哲學(xué)諸議題
· 弗雷格形式化了純邏輯，提出一種算術(shù)到邏輯（集合論）的還原，由此引出了一個(gè)更廣泛的論題，即全部數(shù)學(xué)都可還原為邏輯，還拓寬了康德的分析命題概念。弗雷格將集合論納入邏輯的傾向是數(shù)理邏輯學(xué)家對(duì)康托的直觀的數(shù)學(xué)集合論感興趣的部分原因。弗雷格對(duì)分析命題域的擴(kuò)張和希爾伯特對(duì)隱定義的強(qiáng)調(diào)，影響了夸大分析命題對(duì)哲學(xué)之重要性的趨勢(shì)。
· 以下是數(shù)學(xué)哲學(xué)中經(jīng)常討論的一些彼此部分重疊的基本問題：(1)純邏輯的性質(zhì)及其在人類知識(shí)中的地位。(2)數(shù)學(xué)概念的刻畫。(3)直觀和形式化在數(shù)學(xué)中的地位。(4)邏輯與數(shù)學(xué)的關(guān)系。(5)數(shù)學(xué)的本性及其與必然性、分析性、確定性、先天性和自明性等概念的關(guān)系。(6)數(shù)學(xué)在人類知識(shí)中的地位。(7)數(shù)學(xué)的活動(dòng)和實(shí)踐。
· 一旦相信邏輯等同于謂詞演算，人們就會(huì)傾向于認(rèn)為每種科學(xué)理論都可以在謂詞演算的框架內(nèi)表達(dá)。我們積極嘗試這樣來(lái)表述科學(xué)理論，并借助純邏輯的概念和結(jié)果，假定如此表述的科學(xué)理論共享一些特性，如可定義性、居間術(shù)語(yǔ)的可消去性、本體論假設(shè)。還有一些擴(kuò)充純邏輯域的規(guī)劃，目的是處理因果性、時(shí)間、自然語(yǔ)言中的真和意義。
· 數(shù)理邏輯最成功之處，也許在于對(duì)數(shù)學(xué)概念的精確刻畫。主要的例證是自然數(shù)、連續(xù)統(tǒng)、集合。純邏輯的形式化，也可以看作是對(duì)邏輯證明或邏輯有效性概念的精確刻畫。在一個(gè)不同的、可稱為元邏輯的層面上，理論充分性的直觀概念由完全性和范疇性概念精確化；一致性和模型的直觀概念也在數(shù)理邏輯中被嚴(yán)格化。而最令人驚訝和有趣的例子，大概是對(duì)形式性或機(jī)械過程概念的精確定義，它帶來(lái)了對(duì)可判定理論、可計(jì)算性和一般不可能性結(jié)果的數(shù)學(xué)處理。
· 數(shù)理邏輯對(duì)嚴(yán)格證明和啟發(fā)性過程做了明確區(qū)分，前者在數(shù)理邏輯中被廣泛研究，后者與教學(xué)法和關(guān)于數(shù)學(xué)創(chuàng)新的心理學(xué)問題緊密相關(guān)。一個(gè)相關(guān)的問題是機(jī)械化思維的可能性和局限性。
· 數(shù)學(xué)是否可還原為邏輯，這個(gè)有爭(zhēng)議的問題可用一種不同的方式來(lái)表述。還原論者同意，亞里士多德的理論未能為數(shù)學(xué)推理提供一個(gè)完整的分析，但還原論者相信，使用一個(gè)與三段論理論具有相似特征但擴(kuò)充了的邏輯理論，這樣的分析是可能的。反對(duì)者可能會(huì)爭(zhēng)辯說(shuō)，數(shù)學(xué)推理要求本質(zhì)上不同于三段論的過程。龐加萊就將數(shù)學(xué)歸納法的每次使用看作一個(gè)三段論的無(wú)窮序列。這意味著，數(shù)學(xué)無(wú)法還原為純邏輯?；蛘呷绻鸭险摪ㄔ谶壿嬛畠?nèi)，我們就可以把數(shù)論也包括進(jìn)邏輯，從而免于還原。
· 假言還原論或如果-那么還原論認(rèn)為，數(shù)學(xué)的任務(wù)在于表明，如果存在一個(gè)結(jié)構(gòu)，滿足如此這般的公理，那么該結(jié)構(gòu)也滿足這樣那樣的其他陳述。雖然公理和定理一般都不是純邏輯定理，但每個(gè)陳述“如果A，那么P”卻都是純邏輯定理，其中p是一個(gè)定理，A是推演p所用到的公理的合取。
· 鑒于我們不想討論關(guān)于復(fù)雜的直觀證明的實(shí)際形式化問題，我們可以省掉對(duì)不完全或不充分的公理集的探究。給定對(duì)定理p的一個(gè)證明，我們收集其所使用的所有非邏輯公理。對(duì)于一個(gè)熟悉的系統(tǒng)S，除了其本身具有的公理，我們還可以把表達(dá)S的一致性的命題Con(S)也包括進(jìn)來(lái)，這樣就能阻止哥德爾不完全性。
· 我們要求且只要求公理的一致性。但我們須臾不離的公理，比如集合論公理，其一致性并未得到證明。而大多數(shù)可能的一致系統(tǒng)明顯都是無(wú)趣的。
· 假言邏輯主義理論未能觸及算術(shù)、幾何和集合論公理的特殊直觀特征，正是這些特征使那些公理在數(shù)學(xué)中具有如此核心的地位。
· 弗雷格對(duì)康德分析命題概念的推廣逐漸吸收了全部數(shù)學(xué)，導(dǎo)向如下一些吸引人的觀點(diǎn)：全部數(shù)學(xué)命題都是分析的（基于所涉及的概念的意義為真），是約定真理（與命題“一碼有三尺”屬于同類型），是“重言的”（在所有可能世界中為真）?！叭繑?shù)學(xué)命題都是分析的”這種籠統(tǒng)的泛化似乎也不能為理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)提供多少東西，并且似乎抹去了很多概念上重要區(qū)別。
2.公理方法與抽象結(jié)構(gòu)
· 使用形式公理系統(tǒng)是數(shù)理邏輯的一個(gè)常見特征。每一個(gè)科學(xué)理論都涉及一組概念和一個(gè)斷言集。當(dāng)被問及一個(gè)概念的意義時(shí)，我們經(jīng)常用其他一些概念來(lái)解釋或定義它。當(dāng)被問及何以相信一個(gè)斷言為真時(shí)，我們常常這樣來(lái)核證自己的信念，即指出它是我們所接受的其他一些斷言的后承或可由它們推演出來(lái)。
· 初始命題通常被稱作公理或公設(shè)。當(dāng)一個(gè)理論的概念和命題根據(jù)可定義性和可推演性的關(guān)系被組織起來(lái)，我們就獲得了該理論的一個(gè)公理系統(tǒng)。
· 人們想要明確地表述假定，嚴(yán)格地證明，清晰地定義概念。人們要求，在數(shù)學(xué)中，凡能夠證明的都應(yīng)當(dāng)被證明。人們認(rèn)識(shí)到，證明的作用不僅是確立真理，還在于揭示不同定理之間的相互聯(lián)系。通常只有在給出嚴(yán)格的證明之后，一個(gè)定理的有效性的確切限制才能被確定。
· 在公理系統(tǒng)的演化過程中，出現(xiàn)了關(guān)于形式化的一個(gè)嚴(yán)格標(biāo)準(zhǔn)，它不基于意義和概念，而基于項(xiàng)和公式的記號(hào)特征。該標(biāo)準(zhǔn)是這樣的：存在機(jī)械的程序來(lái)確定，一個(gè)給定的記號(hào)樣式是不是系統(tǒng)中出現(xiàn)的符號(hào)，這些符號(hào)的一個(gè)組合是不是系統(tǒng)的一個(gè)有意義的公式，或公理，或證明。
· 只要我們使用基本符號(hào)的合適的物理表征，理論上就可以構(gòu)造一臺(tái)機(jī)器來(lái)挑選出系統(tǒng)的全部句子。公理和推理規(guī)則也是完全明確的。這些系統(tǒng)的每個(gè)證明，完全寫出來(lái)，是一個(gè)有窮多行的序列，其中每一行，要么是一條公理，要么是通過一個(gè)明確的推理規(guī)則從序列中在先的幾行得出。給定任何證明，按照系統(tǒng)對(duì)證明的形式要求予以呈現(xiàn)后，我們可以機(jī)械地檢驗(yàn)其正確性。
· 公理方法有兩個(gè)不同的發(fā)展方向。一方面，我們有諸如算術(shù)和歐幾里得幾何學(xué)那樣的形式系統(tǒng)，它們每一個(gè)都有一個(gè)預(yù)期模型。如果我們把這些系統(tǒng)設(shè)想為二階理論，后者預(yù)設(shè)一個(gè)預(yù)期的、非形式的（整數(shù)、點(diǎn)或?qū)崝?shù)的）集合概念，它們就是范疇性的，但不再是完全形式的。另一方面，我們有抽象的結(jié)構(gòu)，它們的力量源自這樣的事實(shí)，它們（群、域、拓?fù)淇臻g等）中的每一個(gè)都允許多種多樣的實(shí)現(xiàn)方式。
· 布爾巴基學(xué)派提出用抽象結(jié)構(gòu)來(lái)統(tǒng)一數(shù)學(xué)。他們相信，但數(shù)學(xué)之內(nèi)在演化，在今日比以往任何時(shí)候都更加有力地重申了數(shù)學(xué)不同部分間的統(tǒng)一性，并創(chuàng)造了一種比以往任何時(shí)候都更為融貫的核心，即結(jié)構(gòu)的層譜體系。
· 人們這樣設(shè)想結(jié)構(gòu)，它們構(gòu)成一個(gè)從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從一般到特殊的層譜體系。位于中心的是母結(jié)構(gòu)，如群和有序集。它們直接引向有窮群、阿貝爾有窮群、線序集、良序集等。我們還有得自多種母結(jié)構(gòu)的復(fù)合結(jié)構(gòu)，它們不是通過簡(jiǎn)單的并置得到，而是通過一條或多條聯(lián)結(jié)性公理有機(jī)地得到。
· 這種一般觀點(diǎn)的一些局限性已經(jīng)被認(rèn)識(shí)到。完全特殊的實(shí)數(shù)理論對(duì)于發(fā)展拓?fù)鋵W(xué)和積分等一般理論是不可或缺的。在很多理論（特別是數(shù)論）中都有很多孤立的結(jié)果，我們今天還不能把它們圓滿地歸類和關(guān)聯(lián)到已知的結(jié)構(gòu)。而且結(jié)構(gòu)不是一成不變的，我們很有可能會(huì)找到新的基本結(jié)構(gòu)、新的公理和它們的新組合。
· 邏輯斯蒂形式主義指出，數(shù)學(xué)是通過演繹推理（或純邏輯）的使用而被統(tǒng)一在一起的。與邏輯斯蒂形式主義形成對(duì)比的是一種好的形式主義，它強(qiáng)調(diào)結(jié)構(gòu)，亦即理論的形式。這種好形式主義強(qiáng)調(diào)公理方法的重要或本質(zhì)的方面，它始于這樣的假定，即數(shù)學(xué)不僅是隨機(jī)發(fā)現(xiàn)的一串三段論，也不僅是由純技術(shù)能力偶然設(shè)計(jì)出的奇技淫巧的匯集。
· 對(duì)此種結(jié)構(gòu)主義的一個(gè)常見反駁是，它忽視了數(shù)學(xué)世界和自然科學(xué)世界之間的重要聯(lián)系。盡管實(shí)驗(yàn)實(shí)在的某些方面通過某種預(yù)適應(yīng)實(shí)現(xiàn)了那些抽象結(jié)構(gòu)，但仍然無(wú)法否認(rèn)，這種結(jié)構(gòu)主義在為純數(shù)學(xué)請(qǐng)求一種特別的自主權(quán)。
· 根據(jù)布爾巴基，“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”在本性上是抽象的。這一通用名稱所指稱的不同概念的共同特征是，它們可以被應(yīng)用到其本性尚無(wú)規(guī)定的元素的集合上。結(jié)構(gòu)主義的核心訓(xùn)條是，數(shù)學(xué)中的所有特殊性都可以無(wú)遺漏地用抽象結(jié)構(gòu)來(lái)分析。
3.一致性問題
· 針對(duì)非構(gòu)造性證明在分析中的盛行，克羅內(nèi)克在集合論悖論發(fā)現(xiàn)很久以前就已經(jīng)開始強(qiáng)調(diào)使用構(gòu)造性證明方法的可取性。不僅布勞威爾的立場(chǎng)可以看作是在呼吁禁止非構(gòu)造性證明，甚至希爾伯特的進(jìn)路也可以看作是在要求用構(gòu)造性方法來(lái)核證非構(gòu)造性證明。
· 當(dāng)我們想要形式化并避免訴諸直覺時(shí)，形式系統(tǒng)的一致性問題似乎就不可避免。因?yàn)槿绻覀儾辉僖笮问较到y(tǒng)的公理是直覺上顯然的，我們就不能保證矛盾不會(huì)出現(xiàn)。
· 一個(gè)形式系統(tǒng)是一致的，如果它的任何定理的否定都不是定理。這等價(jià)于說(shuō)，該系統(tǒng)的某個(gè)命題不是定理，因?yàn)樵谝粋€(gè)不一致的系統(tǒng)中，所有命題都是定理。
· 在每個(gè)滿足特定條件的系統(tǒng)中，都可以找到一個(gè)命題p,它可以被理解成是在表達(dá)，p本身不是系統(tǒng)的定理。并且可以證明，假定該系統(tǒng)一致，命題p在系統(tǒng)中是不可證的。
· 表達(dá)一致性的自然命題是否可證，仍是有待判定的問題。存在一些命題，它們直觀上也表達(dá)系統(tǒng)的一致性，但卻是可證的。
· 表達(dá)一致性的自然的命題在系統(tǒng)內(nèi)是不可證的。哥德爾的這一結(jié)果使很多人相信，沒有任何重要的一致性證明是可能的，特別地，信息豐富的數(shù)論一致性證明沒有意義。其推理過程似乎如下：哥德爾定理表明，一致性證明必須用到無(wú)法在給定系統(tǒng)中形式化的方法。因此一致性證明比系統(tǒng)中的任何證明都更不初等（更有爭(zhēng)議）。因此一致性證明無(wú)法改善我們對(duì)系統(tǒng)可信度的心理信念狀態(tài)。因此一致性證明沒有意義。
· 王浩傾向于質(zhì)疑所有這三步推理。沒有理由認(rèn)為，數(shù)論現(xiàn)行的形式化必定如此準(zhǔn)確地反映證明的可信程度，以至于系統(tǒng)內(nèi)的每個(gè)證明都比系統(tǒng)外的證明更可信。存在一些關(guān)于自然數(shù)的直觀推理模式，它們的顯明特征逃脫了我們通常的形式化處理。
· 在理解單個(gè)證明和看出無(wú)窮多的證明中無(wú)一會(huì)導(dǎo)向矛盾之間，存在著巨大的差異。在一致性證明中，我們是被要求把握超窮歸納原理的一個(gè)單次應(yīng)用，以便看到一個(gè)更困難的結(jié)論為真，即數(shù)學(xué)歸納法原理在其全部應(yīng)用中都不會(huì)導(dǎo)致矛盾。在這個(gè)問題上，更有說(shuō)服力的論證或許只能通過實(shí)際地考察一個(gè)給定的一致性證明得到。
· 形式系統(tǒng)的目的是表征直觀理論，在這個(gè)意義上，我們期望系統(tǒng)的定理表征直觀上為真的命題。要保證這一點(diǎn)，一致性是必要的但不充分。不一致的系統(tǒng)的定理不能都是真的。但一致的系統(tǒng)的定理也不必都是真的。
· 我們能找到一個(gè)演算和一個(gè)公式F(a)，使得對(duì)任意的數(shù)n，F(xiàn)(n)是定理，而“存在數(shù)y，并非產(chǎn)F(y)”也是定理（ω-不一致）。我們傾向于認(rèn)為，如果F(n)對(duì)任何兒都為真，那么“?y?F(y)”必定為假。
· 維特根斯坦有時(shí)將系統(tǒng)中為真等同于系統(tǒng)中可證。如果我們假定一個(gè)演算的基本詞項(xiàng)的意義完全由證明規(guī)則決定，那么這種等同似乎就是不可避免的。如果將真與可證等同，追問一個(gè)不可判定語(yǔ)句的真假是無(wú)意義的。
· 羅素-策梅洛悖論竟使弗雷格懷疑算術(shù)能有一個(gè)可靠的基礎(chǔ)。實(shí)際上，矛盾并不必然要求我們拋棄所有用集合對(duì)數(shù)所做的定義。受影響的只是一般集合論形式化計(jì)劃，并且這還是源于弗雷格獨(dú)有的、把集合當(dāng)作邏輯的一部分的想法。
· 有一種想法是，把形式系統(tǒng)當(dāng)作區(qū)分可欲論證和不可欲論證的一種工具。形式系統(tǒng)的構(gòu)建基于這樣的指導(dǎo)原則，即每當(dāng)一個(gè)論證被發(fā)現(xiàn)有錯(cuò)時(shí)，所有同種類的論證都要被排斥。然而給定任意論證，在試圖確定其所屬的種類時(shí)，卻不可避免地存在一種任意性。
· 假定我們有一組定理和這些定理的證明可以在其中實(shí)現(xiàn)的一個(gè)形式系統(tǒng)。假定我們?cè)谶@個(gè)形式系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了一個(gè)矛盾。一個(gè)被普遍接受的原則是，矛盾蘊(yùn)涵一切。我們依然可以區(qū)分該系統(tǒng)的借助矛盾的證明和不借助矛盾的證明。這個(gè)系統(tǒng)的每個(gè)命題都有前一種證明，但并不必然有后一種證明。
· 對(duì)一致性證明的更為現(xiàn)代的追求，有著不同的動(dòng)機(jī)和比避免矛盾更為重要的目的：尋求對(duì)所涉概念和方法的更好的理解。
· 如此假定似乎是合理的，即如果一個(gè)理論是一致的，那么它必定有某種解釋。邏輯學(xué)的基本定理提供了更嚴(yán)格的回答：任何這樣的理論，如果是一致的，都有相對(duì)簡(jiǎn)單的正整數(shù)論模型，這里“簡(jiǎn)單”的意思是指只需要算術(shù)層譜中較低層次的謂詞。
· 我們可能認(rèn)為，基本的問題是正整數(shù)在什么意義上存在。我們關(guān)心滿足算術(shù)公理的結(jié)構(gòu)或關(guān)系的存在問題；個(gè)別的正整數(shù)將在這樣的結(jié)構(gòu)中獲得派生的存在性。
· 常用集合論系統(tǒng)的定理，其算術(shù)翻譯在常用算術(shù)系統(tǒng)中經(jīng)常不再是定理。因此算術(shù)公理的一致性證明不能解決古典分析或集合論的一致性問題。
· 一致但無(wú)標(biāo)準(zhǔn)模型的系統(tǒng)，比如ω-不一致的系統(tǒng)（系統(tǒng)可以證明F對(duì)每個(gè)單獨(dú)的自然數(shù)成立，但同時(shí)又聲稱“存在一個(gè)數(shù)不滿足F”）的存在，顯示出存在與一致之間的某種裂隙。
· 有一種誘人的想法是，借助非構(gòu)造性的歸納規(guī)則（ω規(guī)則）和類似的語(yǔ)義概念來(lái)刻畫算術(shù)、古典分析和集合論中的全部真命題，從而突破基礎(chǔ)難題。這樣不自然的數(shù)之類的東西當(dāng)然就被基本原則排除掉了。但是這就不會(huì)剩下什么要解釋的了，因?yàn)橐忉尩亩急划?dāng)成理所當(dāng)然的。
4.數(shù)理邏輯對(duì)哲學(xué)家的欺騙性吸引力
· 王浩曾試圖向一群哲學(xué)家申辯數(shù)理邏輯的價(jià)值。后來(lái)他開始懷疑起許多他之前熱情主張的東西，不僅是因?yàn)閿?shù)理邏輯變成了一門更為技術(shù)化的學(xué)科，還因?yàn)榫推鋵?duì)哲學(xué)的影響而言，他不再確定那些影響是好的。
· 在討論基礎(chǔ)問題時(shí)，人們慣于拿三大思想學(xué)派說(shuō)話：直覺主義、形式主義和邏輯主義。其實(shí)三大學(xué)派之間的分歧點(diǎn)遠(yuǎn)不如它們的共同點(diǎn)重要。沒有哪個(gè)活躍的邏輯學(xué)家忠實(shí)地代表了三大學(xué)派中的任何一個(gè)。
· 最基本的劃分是客觀主義數(shù)學(xué)和構(gòu)造性數(shù)學(xué)之間的劃分。前者包括全部數(shù)論、古典分析和康托的高階無(wú)窮。后者則有三種不同的解釋。第一種只處理自然數(shù)，即有窮主義，僅接受可計(jì)算的函數(shù)和無(wú)量詞的證明方法。第二種即直覺主義，它承認(rèn)量詞但拒斥排中律。第三種是直謂集合論，它允許量詞和一般的排中律，但拒斥非直謂定義，因?yàn)楹笳哌`反惡性循環(huán)原則。
· 我們得到四個(gè)畛域：(1)有窮主義（可計(jì)算的無(wú)量詞的方法），(2)直覺主義，(3)直謂集合論，(4)客觀主義數(shù)學(xué)。在王浩看來(lái)，這四個(gè)畛域的特征和相互關(guān)系構(gòu)成了基礎(chǔ)研究的中心問題。
· 在邏輯的本性這個(gè)問題上，王浩考慮接受一種介于極端的約定論和絕對(duì)的實(shí)在論之間的中間立場(chǎng)。一方面，無(wú)論是要拒斥還是保留非直謂定義，都可以找到一般性的理由。另一方面，決定這種事情的辦法不應(yīng)是任意選擇，而應(yīng)是深入研究?jī)煞N立場(chǎng)的相對(duì)優(yōu)點(diǎn)和非直謂定義的本性。王浩認(rèn)為，更好的理解可以使我們?cè)趦煞N立場(chǎng)間做出自然的而非任意的抉擇，或使我們能以某種方式把非直謂定義看成直謂定義的自然極限，從而能夠建立從后者到前者的一種連續(xù)擴(kuò)張。
· “超有窮主義”把有窮數(shù)分成可操縱的和不可操縱的，主張只有可操縱的數(shù)才是直觀上顯明的。有窮主義和直覺主義只接受潛無(wú)窮，直謂主義接受自然數(shù)集作為一種實(shí)現(xiàn)的東西，但不接受更高的無(wú)窮，而客觀主義則接受各種實(shí)無(wú)窮。
· 數(shù)理邏輯和數(shù)學(xué)哲學(xué)緊密相關(guān)，盡管它們的側(cè)重點(diǎn)不同。數(shù)理邏輯構(gòu)造并研究形式或公理系統(tǒng)，而哲學(xué)觀點(diǎn)則為技術(shù)性研究提供方向，并為已經(jīng)存在的形式系統(tǒng)提供辯護(hù)。
· 一個(gè)語(yǔ)言游戲在如下意義上是一個(gè)形式系統(tǒng)：盡管人們不枚舉要用的語(yǔ)詞，卻描述了一個(gè)良好定義的具體情境，使得在該情境中使用的那些語(yǔ)詞和推理，在事實(shí)上得到本質(zhì)的確定。
· 當(dāng)一個(gè)概念的適用范圍較寬廣時(shí)，形式系統(tǒng)比語(yǔ)言游戲更合用。這里涉及單個(gè)概念與一個(gè)概念家族之間的對(duì)比。過度使用形式系統(tǒng)，錯(cuò)在把一個(gè)概念家族當(dāng)成一個(gè)單一的概念。無(wú)限制地嫌惡形式系統(tǒng)，錯(cuò)在把每個(gè)適用范圍廣的概念都當(dāng)成一個(gè)概念家族。
· 對(duì)形式系統(tǒng)的過分強(qiáng)調(diào)似乎沒有道理。對(duì)數(shù)學(xué)過程這個(gè)直觀概念的形式化并不是用形式系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的。相比于實(shí)際地構(gòu)造形式系統(tǒng)，數(shù)學(xué)結(jié)果和流行的哲學(xué)應(yīng)用與一般性的思考存在的和不存在的形式系統(tǒng)更多地相關(guān)。
參考文獻(xiàn)
王浩，《從數(shù)學(xué)到哲學(xué)》
