簡(jiǎn)書(shū)latex渲染崩壞, 搬運(yùn)到了陳恕行《現(xiàn)代偏微分方程導(dǎo)論》第一章習(xí)題參考答案 - dxww - 博客園 (cnblogs.com)

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第一節(jié)

1. 證明 $C_c^\infty( {\mathbb{ R } }^n)$ 在 $L^p({ \mathbb{ R } }^n)$ 和 $C^0(\mathbb{R}^n)$ 中稠密.
證明. 先證明 $L^p$ 的情形, 設(shè) $u\in L^p$ . 對(duì)任何 $\varepsilon>0$ , 取 $R$ 充分大, 使得 $\|u\|_{L^p(B_R(0)^c)}<\varepsilon/2$ . 再取 $\rho>0$ , 使得 $\|(u\chi_{B_R(0)})_\rho-u\chi_{B_R(0)}\|_{L^p}<\varepsilon/2$ . 有了這些, 立刻可以驗(yàn)證 $\|u-(u\chi_{B_R(0)})_\rho\|_{L^p}<\varepsilon$ , 而 $(u\chi_{B_R(0)})_\rho\in C_c^\infty$ , 由此即得結(jié)論.
再來(lái)證 $C^0(\mathbb{R}^n)=\{u\in C(\mathbb{R}^n)|\lim_{|x|\rightarrow\infty}u(x)=0\}$ 的情形. 和上面差不多, 不過(guò)直接截?cái)鄵Q為光滑截?cái)啾容^好. 即取 $R$ 充分大使得 $\|u-u\chi_R\|_{L^\infty}<\varepsilon/2$ , 這里 $\chi_R=(\chi_{B_R(0)})_{1}$ 是球 $B_R(0)$ 的示性函數(shù)做半徑為1(1是瞎選的, 10也行)的正則化. 再注意 $\|(u\chi_R)_\rho-u\chi_R\|_{L^\infty}\leq\omega(u\chi_R,\rho)$ , 其中 $\omega(f,\rho)=\sup_{|x-y|\le\rho}|f(x)-f(y)|$ 是 $f$ 的連續(xù)模. 由 $u\chi_R$ 的一致連續(xù)性, 我們可以取 $\rho$ 充分小, 使得 $\|(u\chi_R)_\rho-u\chi_R\|_{L^\infty}<\varepsilon/2$ . 現(xiàn)在立刻可以驗(yàn)證 $\|u-(u\chi_R)_\rho\|_{L^\infty}<\varepsilon$ , 由此即得結(jié)論. $\blacksquare$

2. 證明: 若 $u\in C^\infty(\mathbb{R}^n)$ , 則 $J_\varepsilon u\rightarrow u(C^\infty(\mathbb{R}^n))$ ; 若 $u\in C_c^\infty({\mathbb{R}}^n)$ , 則 $J_\varepsilon u\rightarrow u(C_c^\infty( { \mathbb{ R } }^n))$ , 其中 $J_\varepsilon u$ 是 $u$ 的正則化.
證明. 我們只需要證明 $C^\infty( {\mathbb{R}}^n)$ 的情形, 因?yàn)槿绻?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=u%5Cin%20C_c%5E%5Cinfty" alt="u\in C_c^\infty" mathimg="1">, 那么正則化 $u_\rho$ 在 $\rho<1$ 時(shí)當(dāng)然是具有一致的緊支集的, 例如 $\overline{\operatorname{supp}u+B_1(0)}$ .
下面我們?cè)O(shè) $u\in C^\infty(\mathbb{R}^n)$ , 我們需要證 $\forall\alpha\in\mathbb{N}^n$ , $\forall R>0$ , 有 $\|\partial^\alpha u_\rho-\partial^\alpha u\|_{L^\infty(B_R(0))}\rightarrow0$ . 而簡(jiǎn)單的計(jì)算表明 $\|\partial^\alpha u_\rho-\partial^\alpha u\|_{L^\infty(B_R(0))}\le\rho\|\nabla\partial^\alpha u\|_{L^\infty(B_{R+\rho}(0))}$ , 由此即得結(jié)論. $\blacksquare$

3. 證明 $C_c^\infty( \mathbb{ R }^n )$ 是完備的.
證明. 設(shè) $\{u_m\}$ 是 $C_c^\infty$ 基本列, 即存在緊集 $K$ , 使得 $\forall m\ge1$ , $\operatorname{supp}u_m\subset K$ , 且 $\forall\alpha\in\mathbb{N}^n$ , $\|\partial^\alpha u_k-\partial^\alpha u_l\|_{L^\infty(K)}\rightarrow0$ . 由條件, 存在 $u^\alpha\in C(\mathbb{R}^n)$ 使得在 $\mathbb{R}^n$ 上 $\partial^\alpha u_m\rightrightarrows u^\alpha$ , 且 $\operatorname{supp}u^\alpha\subset K$ .
記 $u=u^0$ . 現(xiàn)在我們來(lái)驗(yàn)證 $\partial^\alpha u=u^\alpha$ . 事實(shí)上由歸納法, 我們只需要驗(yàn)證 $\partial_ju=u^{e_j}$ . 注意 $u_m(x+te_j)=u_m(x)+\int_0^t\partial_ju_m(x+se_j)ds$ , 由 $u_m,\partial_ju_m$ 的一致收斂性得到 $u(x+te_j)=u(x)+\int_0^tu^{e_j}(x+se_j)ds$ , 于是可以利用導(dǎo)數(shù)定義驗(yàn)證 $\partial_ju(x)=u^{e_j}(x)$ . 這樣我們就驗(yàn)證好了 $\partial^\alpha u=u^\alpha$ , 所以 $u\in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$ , 且 $\operatorname{supp}u\subset K$ .
最后我們需要驗(yàn)證 $u_m\rightarrow u(C_c^\infty(\mathbb{R}^n))$ . 共同的支集已經(jīng)驗(yàn)證好了, 現(xiàn)在我們需要說(shuō)明 $\|\partial^\alpha u_m-\partial^\alpha u\|_{L^\infty(K)}\rightarrow0$ , 而這就是之前已經(jīng)說(shuō)明了的 $\partial^\alpha u_m\rightrightarrows u^\alpha=\partial^\alpha u$ . $\blacksquare$

4. 證明速降函數(shù)關(guān)于卷積運(yùn)算封閉.
證明. 設(shè) $u,v\in\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)$ , 我們來(lái)驗(yàn)證 $u\ast v\in{ \mathscr{S}}(\mathbb{R}^n)$ .
$u\ast v\in C^\infty( \mathbb{ R } ^n )$ 是容易的, 我們只需要驗(yàn)證 $\forall m\ge1$ , $\forall\alpha\in\mathbb{N}^n$ , 有 $\|(1+|x|)^m\partial^\alpha(u\ast v)\|_{L^\infty}<\infty$ 即可.
注意 $1+|x|\le(1+|x-y|)(1+|y|)$ , 我們可以直接計(jì)算:
$\left|(1+|x|)^m\partial^\alpha(u\ast v)(x)\right|=(1+|x|)^m\left|\int u(x-y)\partial^\alpha v(y)dy\right|$
$\le\int (1+|x-y|)^m|u(x-y)|\cdot(1+|y|)^m|\partial^\alpha v(y)|dy$
$\le\|(1+|x|)^mu\|_{L^2}\|(1+|x|)^m\partial^\alpha v\|_{L^2}<\infty$
這就是我們想要的. $\blacksquare$

注. $\{\|(1+|x|)^m\partial^\alpha\varphi\|_{L^\infty}\}_{m,\alpha}$ , $\{\|(1+|x|^2)^m\partial^\alpha\varphi\|_{L^\infty}\}_{m,\alpha}$ , $\{\|(1+|x|^2)^{m/2}\partial^\alpha\varphi\|_{L^\infty}\}_{m,\alpha}$ , $\{\|x^\alpha\partial^\beta\varphi\|_{L^\infty}\}_{\alpha,\beta}$ , $\{\|x^\alpha\partial^\beta\varphi\|_{L^p}\}_{\alpha,\beta}$ ( $1\le p\le\infty$ )等等均是 $\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)$ 的等價(jià)半范數(shù)族, 它們誘導(dǎo)出同樣的拓?fù)? 所以平時(shí)哪個(gè)方便用哪個(gè).

5. 問(wèn): 是否存在 $0\not\equiv\varphi\in C_c^{\infty}({\mathbb{R}}^n)$ , 使得存在一常數(shù) $C$ 與 $\alpha$ 無(wú)關(guān), $\|\partial^\alpha\varphi\|_{L^\infty}\leq C$ .
解. 不存在. 反證法, 假設(shè)存在這樣的 $\varphi$ , 我們來(lái)導(dǎo)出矛盾.
由條件, 我們可以得知 $\varphi\in C^\omega(\mathbb{R}^n)$ , 這只消對(duì)Taylor定理里的余項(xiàng)簡(jiǎn)單估計(jì)一下即得. 取 $x_0\in(\operatorname{supp}\varphi)^c$ , 由于 $\varphi$ 在 $x_0$ 處的各階導(dǎo)數(shù)都是0, 所以把 $\varphi$ 在 $x_0$ 處展開(kāi)即可得到 $\varphi\equiv0$ , 矛盾. $\blacksquare$

6. 證明任一具有 $C^\infty( {\mathbb{R}}^n)$ 系數(shù)的微分算子 $P(x,\partial)$ 都是 $C_c^\infty( \mathbb{ R } ^n)\rightarrow C_c^\infty( \mathbb{R}^n )$ 或 $C^\infty(\mathbb{R}^n)\rightarrow C^\infty(\mathbb{R}^n)$ 的線性連續(xù)映照.
證明. 注意到 $P(x,\partial)=\sum_{|\alpha|\le\deg P}c_\alpha(x)\partial^\alpha$ , 我們只需要證明兩件事情: ①乘一個(gè) $C^\infty$ 函數(shù)是連續(xù)線性映射; ②求導(dǎo)是連續(xù)線性映射. 無(wú)需贅言, 加法對(duì)拓?fù)渚€性空間來(lái)說(shuō)自然是連續(xù)的.
由于乘光滑函數(shù)和求導(dǎo)保持支集不變, 我們只需要證明這兩個(gè)操作在 $C^\infty({\mathbb{R}}^n)$ 上是連續(xù)的就好了. 對(duì)于線性映射來(lái)說(shuō), 驗(yàn)證它連續(xù), 只需要驗(yàn)證它在原點(diǎn)處連續(xù).
①設(shè) $c\in C^\infty(\mathbb{R}^n)$ , 我們來(lái)證 $\varphi\mapsto c\varphi$ 是 $C^\infty({\mathbb{R}}^n)$ 到 $C^\infty({\mathbb{R}}^n)$ 的連續(xù)映射(線性是明顯的). 取 $\varphi_m\rightarrow0(C^\infty( \mathbb{R}^n))$ , 我們只需證明 $c\varphi_m\rightarrow0(C^\infty( \mathbb{R}^n))$ . 或者說(shuō), 我們只需證明對(duì)任何緊集 $K$ , $\forall\alpha\in\mathbb{N}^n$ , 有 $\|\partial^\alpha(c\varphi)\|_{L^\infty(K)}\rightarrow0$ . 而 $\|\partial^\alpha(c\varphi)\|_{L^\infty(K)}\le\sum_{\beta\le\alpha}\binom{\alpha}{\beta}\|\partial^{\alpha-\beta}c\|_{L^\infty(K)}\|\partial^\beta\varphi\|_{L^\infty(K)}$ , 即 $\|\partial^\alpha(c\varphi)\|_{L^\infty(K)}\lesssim_{c,\alpha}\sum_{\beta\le\alpha}\|\partial^\beta\varphi\|_{L^\infty(K)}$ , 由于 $\|\partial^\beta\varphi\|_{L^\infty(K)}$ 們趨于0, 故 $\|\partial^\alpha(c\varphi)\|_{L^\infty(K)}\rightarrow0$ .
②我們來(lái)證 $\partial^\alpha:C^\infty(\mathbb{R}^n)\rightarrow C^\infty(\mathbb{R}^n)$ 是連續(xù)線性映射. 線性是明顯的. 為證連續(xù), 任取 $\varphi_m\rightarrow0(C^\infty( \mathbb{R}^n))$ , 來(lái)證 $\partial^\alpha\varphi_m\rightarrow0(C^\infty( \mathbb{R}^n))$ . 這按定義驗(yàn)證是非常直接的. $\blacksquare$

7. 證明空間 $\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)$ 按其自身拓?fù)涫峭陚涞?
證明. 取 $\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)$ 中的Cauchy列 $\{u_m\}$ , 即 $\forall\alpha,\beta\in\mathbb{N}^n$ , $p_{\alpha\beta}(u_k-u_l)=\|x^\alpha\partial^\beta(u_k-u_l)\|_{L^\infty}\rightarrow0$ .
取 $\alpha=0$ 即可知 $\{u_m\}$ 亦是 $C^\infty({\mathbb{R}}^n)$ 中的Cauchy列, 故存在 $u\in C^\infty(\mathbb{R}^n)$ 使得 $u_m\rightarrow u(C^\infty({\mathbb{R}}^n))$ .
我們來(lái)驗(yàn)證 $u\in\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)$ . 取 $N\ge1$ , 使得當(dāng) $k,l\ge N$ 時(shí) $p_{\alpha\beta}(u_k-u_l)\le1$ . 則固定 $x\in\mathbb{R}^n$ , 有 $|x^\alpha\partial^\beta(u_k-u_l)(x)|\le1$ , 由于 $\partial^\beta u_l(x)\rightarrow\partial^\beta(x)$ , 我們令 $l\rightarrow\infty$ , 有 $|x^\alpha\partial^\beta(u_k-u)(x)|\le1$ . 故 $|x^\alpha\partial^\beta u(x)|\le1+|x^\alpha\partial^\beta u_k(x)|\le1+p_{\alpha\beta}(u_k)$ , 考慮到 $x$ 的任意性, 我們即有 $p_{\alpha\beta}(u)\le1+p_{\alpha\beta}(u_k)<\infty$ . 故 $u\in\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)$ .
最后我們驗(yàn)證 $u_m\rightarrow u(\mathscr{S}(\mathbb{R}^n))$ , 即 $\forall\alpha\forall\beta$ , $p_{\alpha\beta}(u_m-u)\rightarrow0$ . 和上一段差不多, 對(duì)任何 $\varepsilon>0$ , 取 $N\ge1$ 使得 $\forall k,l\ge N$ , 有 $p_{\alpha\beta}(u_k-u_l)<\varepsilon$ , 然后用和上一段類(lèi)似的論證得到 $p_{\alpha\beta}(u_k-u)\le\varepsilon$ . $\blacksquare$

8. 設(shè) $u\in\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)$ , 證明 $u_\varepsilon\rightarrow u(\mathscr{S}(\mathbb{R}^n))$ .
證明. 我們要證明 $p_{m\beta}(u_\varepsilon-u)=\|(1+|x|)^m\partial^\alpha(u_\varepsilon-u)\|_{L^\infty}\rightarrow0$ . 事實(shí)上我們只需要對(duì) $\beta=0$ 證明就夠了, 因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=p_%7Bm%5Cbeta%7D(u_%5Cvarepsilon-u)%3Dp_%7Bm%2C0%7D((%5Cpartial%5E%5Cbeta%20u)_%5Cvarepsilon-%5Cpartial%5E%5Cbeta%20u)" alt="p_{m\beta}(u_\varepsilon-u)=p_{m,0}((\partial^\beta u)_\varepsilon-\partial^\beta u)" mathimg="1">, 而 $\partial^\beta u$ 也是速降函數(shù).
我們直接計(jì)算:
$\left|(1+|x|)^m(u_\varepsilon-u)(x)\right|=(1+|x|)^m\left|\int (u(x-y)-u(x))\eta_\varepsilon(y)dy\right|$
$\le\varepsilon(1+|x|)^m\|\nabla u\|_{L^\infty(B_\varepsilon(x))}\overset{\text{設(shè)}\varepsilon<1}{\le}\varepsilon(1+|x|)^m\|\nabla u\|_{L^\infty(B_1(x))}$
對(duì)任何 $y\in B_1(x)$ , 利用 $1+|x|\le(1+|y|)(1+|x-y|)$ , 有
$|\nabla u(y)|=(1+|y|)^{-k}\cdot(1+|y|^{k})|\nabla u(y)|$
$\le(1+|x|)^{-k}(1+|x-y|)^k\|(1+|y|^k)\nabla u(y)\|_{L^\infty_y}$
$\le2^k(1+|x|)^k\sum_{j=1}^np_{k,e_j}(u)$
這里 $k$ 是隨意的正整數(shù), 現(xiàn)在我們?nèi)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=k%3Dm" alt="k=m" mathimg="1">, 代入之前的估計(jì), 即得
$p_{m,0}(u_\varepsilon-u)\le2^m\varepsilon\sum_{j=1}^np_{m,e_j}(u)\overset{\varepsilon\rightarrow0}{\rightarrow}0$
這正是我們想要的. $\blacksquare$

9. 證明 $\varphi_m\rightarrow0(\mathscr{S}(\mathbb{R}^n))$ 與下面兩條件之一等價(jià):
(1) 對(duì)任一重指標(biāo) $\alpha$ , $\|\partial^\alpha\varphi_m\|_{L^\infty}\rightarrow0$ , 且對(duì)任何重指標(biāo) $\alpha,\beta$ , $\|x^\alpha\partial^\beta\varphi_m\|_{L^\infty}\le C_{\alpha,\beta}$ .
(2) 對(duì)任一正整數(shù) $\nu$ , 在 $m\rightarrow\infty$ 時(shí), 有 $\sup_{|\alpha|\le\nu,x\in\mathbb{R}^n}(1+|x|^2)^\nu|\partial^\alpha\varphi_m|\rightarrow0$ .
證明. 由第4題下面的注記, $\varphi_m\rightarrow0(\mathscr{S}(\mathbb{R}^n))$ 推出(1)或(2)是容易的(當(dāng)然前提是證明了那些確實(shí)是等價(jià)范數(shù), 至于等價(jià)范數(shù)的證明, 可以利用 $(1+|x|^2)^\nu\approx_{\nu}\sum_{|\alpha|\le\nu}|x^\alpha|$ ). 所以我們只需要分別證明(1)推出收斂, 以及(2)推出收斂即可. 但是(2)推收斂也是因?yàn)榈葍r(jià)范數(shù), 所以我們現(xiàn)在只需要從(1)推收斂.
假設(shè)(1)成立, 則 $\|x^\alpha\partial^\beta\varphi\|_{L^\infty}^2=\|x^{2\alpha}|\partial^\beta\varphi|^2\|_{L^\infty}$ $\le\|x^{2\alpha}\partial^\beta\varphi\|_{L^\infty}\|\partial^\beta\varphi\|_{L^\infty}$ $\le C_{2\alpha,\beta}\|\partial^\beta\varphi\|_{L^\infty}\rightarrow0$ , 這就是我們需要的. $\blacksquare$

10. 設(shè) $\varphi\in C_c^\infty(B_1(0))$ , $x_j$ 為趨于 $\infty$ 的一個(gè)點(diǎn)列, $|x_{j+1}|>|x_j|+2$ , 試證
$\gamma(x):=\sum_{j=1}^\infty\frac{\varphi(x-x_j)}{(1+|x_j|^2)^j }\in\mathscr{S}(\mathbb{R}^n).$
證明. 由于上邊這個(gè)求和是局部有限的, 所以很容易驗(yàn)證 $\gamma\in C^\infty(\mathbb{R}^n)$ , 且 $\partial^\alpha\gamma(x):=\sum_{j=1}^\infty\frac{{\partial^\alpha}\varphi(x-x_j)}{(1+|x_j|^2)^j }$ . 現(xiàn)在我們只需要驗(yàn)證對(duì)任何 $m\ge0$ , $\forall\alpha\in\mathbb{N}^n$ , 有 $\|(1+|x|^2)^m\partial^\alpha\gamma\|_{L^\infty}<\infty$ 即可.
注意 $\varphi(x-x_j)$ 的支集兩兩不交, 所以我們有:
$|(1+|x|^2)^m\partial^\alpha\gamma(x)|=(1+|x|^2)^m \sum_{j=1}^\infty\frac{|\partial^\alpha\varphi(x-x_j)|}{(1+|x_j|^2)^j }$
$\le\sup_{j\ge1}\left\|(1+|x|^2)^m\frac{ |\partial^\alpha\varphi(x-x_j)|}{(1+|x_j|^2)^j }\right\|_{L^\infty_x(B_1(x_j))}$
$\le\sup_{j\ge1}(1+(|x_j|+1)^2)^m(1+|x_j|^2)^{-j}\|\partial^\alpha\varphi\|_{L^\infty}$
$\le3^m\sup_{j\ge1}(1+|x_j|^2)^{m-j}\|\partial^\alpha\varphi\|_{L^\infty}\lesssim_{m,\{x_j\}}\|\partial^\alpha\varphi\|_{L^\infty}$
所以 $\|(1+|x|^2)^m\partial^\alpha\gamma\|_{L^\infty}\lesssim_{m,\{x_j\}}\|\partial^\alpha\varphi\|_{L^\infty}<\infty$ . 這就證好了. $\blacksquare$

第二節(jié)

例 2.5. 設(shè) $f_\nu(x)=\frac{1}{\pi}\frac{\sin\nu x}{x}$ , 證明 $\nu\rightarrow\infty$ 時(shí), $f_\nu\rightarrow\delta(\mathscr{D}'(\mathbb{R}))$ .
證明. 只需任取 $\varphi\in C_c^\infty(\mathbb{R})$ , 證明 $\langle f_\nu,\varphi\rangle\rightarrow\varphi(0)$ 即可.
直接計(jì)算, 設(shè) $\operatorname{supp}\varphi\subset[-R,R]$ , 并且任取 $\varepsilon>0$ , 有:
$\langle f_\nu,\varphi\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{|x|\le R}\frac{\sin\nu x}{x}\varphi(x)dx$
$=\frac{1}{\pi}\int_{\varepsilon\le|x|\le R}\frac{\sin\nu x}{x}\varphi(x)dx+\frac{1}{\pi}\int_{|x|\le\varepsilon}\frac{\sin\nu x}{x}\varphi(x)dx$
$=A+B$
$A$ 在 $\nu\rightarrow\infty$ 由Riemann-Lebesgue定理是趨于零的, 現(xiàn)在我們來(lái)處理 $B$ .
$|B-\varphi(0)|=\left|\frac{1}{\pi}\int_{|x|\le\varepsilon}\frac{\sin\nu x}{x}\varphi(x)dx-\varphi(0)\right|$
$\overset{y=\nu x}{=}\left|\frac{2}{\pi}\int_0^{\nu\varepsilon}\frac{\sin y}{y}\varphi(y/\nu)dy-\frac{2}{\pi}\int_0^{+\infty}\frac{\sin y}{y}\varphi(0)dy\right|$
$\le\frac{2}{\pi}\left|\int_0^{\nu\varepsilon}\frac{\sin y}{y}(\varphi(y/\nu)-\varphi(0))dy\right|+\left|\frac{2}{\pi}\int_{\nu\varepsilon}^{+\infty}\frac{\sin y}{y}\varphi(0)dy\right|$
$\le\frac{2}{\pi}\int_0^{\nu\varepsilon}\frac{1}{y}\|\varphi'\|_{L^\infty}\frac{y}{\nu}dy+o_{\nu\rightarrow\infty}(1)$
$=\frac{2 \varepsilon\|\varphi'\|_{L^\infty}}{\pi}+o_{\nu\rightarrow\infty}(1)$
故 $\limsup_{\nu\rightarrow\infty}|B-\varphi(0)|\lesssim_\varphi\varepsilon$ , 可是 $\varepsilon$ 是任意的, 所以只能有 $\lim_{\nu\rightarrow\infty}B=\varphi(0)$ . 所以 $\langle f_\nu,\varphi\rangle\rightarrow\varphi(0)$ . $\blacksquare$

定理2.9 證明的修正:
首先重新陳述一遍定理: 設(shè) $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的連通開(kāi)集(即開(kāi)區(qū)域), $T\in\mathscr{D}'(\Omega)$ , 且 $T$ 的各階導(dǎo)數(shù)為零, 則 $T$ 是常數(shù).
書(shū)上為了證明 $T$ 是常數(shù), 要先證明 $T_\varepsilon$ 是常數(shù). 而要得到 $T_\varepsilon$ 是常數(shù), 我們需要 $\Omega_\varepsilon=\{x\in\Omega|\mathrm{dist}(x,\partial\Omega)>\varepsilon\}$ 是連通的, 但這是不一定對(duì)的. 事實(shí)上我們可以構(gòu)造出一個(gè)開(kāi)區(qū)域 $\Omega$ , 使得 $\forall\varepsilon>0$ , $\Omega_\varepsilon$ 都不是連通的.
這里試圖給出一個(gè)修正了的證明.
對(duì)任何 $x\in\Omega$ , 令 $B_x=B(x,\mathrm{dist}(x,\partial\Omega)/2)$ . 我們來(lái)證明, 對(duì)任何 $x\in\Omega$ , 存在 $\lambda_x\in\mathbb{C}$ , 使得對(duì)任何 $\varphi\in C_c^\infty(B_x)$ , 有 $\langle T,\varphi\rangle=\lambda_x\int_\Omega\varphi dx$ .
這是容易的, 因?yàn)槲覀兛梢匀?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Crho%3C%5Cmathrm%7Bdist%7D(x%2C%5Cpartial%5COmega)%2F2" alt="\rho<\mathrm{dist}(x,\partial\Omega)/2" mathimg="1">, 考慮正則化 $T_\rho\in C^\infty(B_x)$ , 由于 $T_\rho$ 各階導(dǎo)數(shù)為零, 故 $T_\rho$ 在 $B_x$ 上是常數(shù), 比方說(shuō)是 $\lambda_{x,\rho}$ . 由于 $\rho\rightarrow0$ 時(shí) $T_{\rho}\rightarrow T(\mathscr{D'}(B_x))$ , 故 $\lim_{\rho\rightarrow0}\lambda_{x,\rho}$ 必然存在, 記為 $\lambda_x$ . 可以驗(yàn)證 $\lambda_x$ 具有我們所說(shuō)的性質(zhì).
注意到一個(gè)簡(jiǎn)單的事實(shí): 如果 $B_x\cap B_y\ne\emptyset$ , 則 $\lambda_x=\lambda_y$ . 這任取 $\varphi\in C_c^\infty(B_x\cap B_y)$ 作用上 $T$ 即可驗(yàn)證.
接下來(lái), 我們證明對(duì)任何 $x,y\in\Omega$ , 均有 $\lambda_x=\lambda_y$ . 由于 $\Omega$ 是連通的(自然也是道路連通的), 故存在連續(xù)映射 $\gamma:[0,1]\rightarrow\Omega$ , 使得 $\gamma(0)=x$ , $\gamma(1)=y$ . 由于 $\gamma([0,1])$ 是緊的, 所以存在 $\{x_i\}_{i=1}^N\subset\Omega$ , 使得 $\gamma([0,1])\subset\cup_i B_{x_i}$ . 注意 $\{\gamma^{-1}(B_{x_i})\}$ 是 $[0,1]$ 的開(kāi)覆蓋, 取這個(gè)開(kāi)覆蓋的Lebesgue數(shù) $L$ , 則當(dāng) $1/M<L$ 時(shí), $[0,1]$ 的 $M$ 等分 $0=t_0<t_1<\cdots<t_M=1$ 滿足: 相鄰的每?jī)蓚€(gè)點(diǎn) $t_j$ 和 $t_{j+1}$ 會(huì)落在同一個(gè)某個(gè) $\gamma^{-1}(B_{x_i})$ 里. 顯然 $B_{\gamma(t_j)}\cap B_{x_i}\ne\emptyset$ , $B_{\gamma(t_{j+1})}\cap B_{x_i}\ne\emptyset$ , 于是根據(jù)上一段的討論有 $\lambda_{\gamma(t_j)}=\lambda_{x_i}=\lambda_{\gamma(t_{j+1})}$ . 最后我們得到 $\lambda_x=\lambda_{\gamma(t_0)}=\cdots=\lambda_{\gamma(t_M)}=\lambda_y$ .
現(xiàn)在我們知道存在 $\lambda\in\mathbb{C}$ , 使得 $\forall x\in\Omega$ , 有 $\lambda_x=\lambda$ . 我們現(xiàn)在來(lái)證明 $\forall\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ , 有 $\langle T,\varphi\rangle=\lambda\int_\Omega\eta dx$ .
注意 $\{B_x\}_{x\in\Omega}$ 是緊集 $\operatorname{supp}\varphi$ 的開(kāi)覆蓋, 故存在有限子覆蓋 $\{B_{x_i}\}$ , 然后取附屬于該子覆蓋的單位分解 $\eta_i\in C_c^\infty(B_{x_i})$ , 滿足在 $\operatorname{supp}\varphi$ 上 $\sum_i\eta_i=1$ . 則 $\langle T,\varphi\rangle$ $=\sum_i\langle T,\varphi\eta_i\rangle=\sum_i\lambda_{x_i}\int_\Omega\varphi\eta_i dx$ $=\lambda\sum_i\int_\Omega\varphi\eta_i dx=\lambda\int_\Omega\varphi dx$ . $\blacksquare$

1. 問(wèn)下列函數(shù)屬于哪個(gè)廣義函數(shù)空間:
(1) $f(x)=e^x\cos x$ ;
(2) $f(x)=\left\{\begin{aligned}&1,\ |x|\le1\\ &0,\ |x|>1\end{aligned}\right.$ .
(3) $\langle f,\varphi\rangle=\sum_{\nu=1}^m\varphi^{(\nu)}(0)$ , $\forall\varphi\in C^m(\mathbb{R}^1)$ .
解. (1) $\mathscr{D}'(\mathbb{R}^1)$ ; (2) $\mathscr{E}'(\mathbb{R}^1)$ ; (3) $\mathscr{E}'(\mathbb{R}^1)$ . $\blacksquare$

2. 設(shè) $u(x)=\left\{\begin{aligned}&1,\ |x|\le1\\ &0,\ |x|>1\end{aligned}\right.$ , 試問(wèn) $u$ 的支集是什么? 它的正則化 $u_\varepsilon$ 的支集是什么?
解. $\operatorname{supp}u=[-1,1]$ , $\operatorname{supp}u_\varepsilon=[-1-\varepsilon,1+\varepsilon]$ . $\blacksquare$

3. 證明: 若 $f_m\in C({\mathbb{R}})$ , $f_m\ge0$ , 且 $\forall r>0$ , $\forall R>r$ , $f_m$ 在 $[r,R]$ 和 $[-R,-r]$ 上一致趨于零, 并使 $\int_{-r}^r f_m(x)dx\rightarrow1$ , 則 $m\rightarrow\infty$ 時(shí) $f_m\rightarrow\delta(\mathscr{D}'(\mathbb{R}))$ .
證明. 任取 $\varphi\in C_c^\infty(\mathbb{R})$ , 我們來(lái)證明 $\langle f_m,\varphi\rangle\rightarrow\varphi(0)$ . 固定 $\varepsilon>0$ , 取 $r>0$ 使得 $\forall x\in[-r,r]$ 有 $|\varphi(x)-\varphi(0)|<\varepsilon$ . 又取 $R$ 充分大使得 $R>r$ 并且 $\operatorname{supp}\varphi\subset[-R,R]$ . 我們來(lái)計(jì)算:
$\left|\int_{\mathbb{R}}f_m(x)\varphi(x)dx-\varphi(0)\right|$
$\le\left|\int_{|x|\le r}f_m(x)\varphi(x)dx-\varphi(0)\right|+\left|\int_{|x|\ge r}f_m(x)\varphi(x)dx\right|$
$=A+B$
一個(gè)個(gè)算:
$A\le\left|\int_{|x|\le r}f_m(x)(\varphi(x)-\varphi(0))dx\right|+\left|\int_{|x|\le r}f_m(x)\varphi(0)dx-\varphi(0)\right|$
$\le\varepsilon\int_{|x|\le r}f_m(x)dx+|\varphi(0)|\left|\int_{|x|\le r}f_m(x)dx-1\right|$
$=\varepsilon(1+o_{m\rightarrow\infty}(1))+o_{m\rightarrow\infty}(1)=\varepsilon+o_{m\rightarrow\infty}(1)$
再來(lái)看 $B$ :
$B\le\|\varphi\|_{L^\infty}\left|\int_{r\le|x|\le R}f_m(x)dx\right|=o_{m\rightarrow\infty}(1)$
故 $\limsup_{m\rightarrow\infty}\left|\int_{\mathbb{R} }f_m(x)\varphi(x)dx-\varphi(0)\right|\le\varepsilon$ , 由 $\varepsilon$ 的任意性即得結(jié)論. $\blacksquare$

4. 證明在廣義函數(shù)意義下下列極限成立:
(1) $\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\frac{\varepsilon}{\varepsilon^2+x^2}=\pi\delta(x)$ ;
(2) $\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\frac{1}{\sqrt{\pi\varepsilon}}e^{-\frac{x^2}{\varepsilon}}=\delta(x)$
證明. 我們統(tǒng)一處理這兩個(gè)極限.
假設(shè) $f\in C^\infty(\mathbb{R})$ 滿足: ① $f\ge0$ ; ② $\int f=1$ . 令 $f_{\varepsilon}(x)=\frac{1}{\varepsilon}f(\frac{x}{\varepsilon})$ , 我們來(lái)證明 $f_\varepsilon\rightarrow\delta(\mathscr{D}'({\mathbb{R}}))$ .
任取 $\varphi\in C_c^\infty(\mathbb{R})$ , 我們來(lái)證明 $\int f_\varepsilon\varphi\rightarrow\varphi(0)$ .
$\left|\int_{ \mathbb{R}}f_\varepsilon(x)\varphi(x)dx-\varphi(0)\right|\le\frac{1}{\varepsilon}\int_{\mathbb{R}}f\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)|\varphi(x)-\varphi(0)|dx$
$\overset{y=x/\varepsilon}{=}\int_{\mathbb{R}}f(y)|\varphi(\varepsilon y)-\varphi(0)|dy\le\varepsilon\|\varphi'\|_{L^\infty}\operatorname{diam}(\operatorname{supp}\varphi)$
從而 $\limsup_{\varepsilon\rightarrow0}\left|\int f_\varepsilon\varphi-\varphi(0)\right|=0$ . $\blacksquare$

5. 設(shè) $f_\varepsilon(x)=(x+i\varepsilon)^{-1}+(x-i\varepsilon)^{-1}$ , 證明 $\lim_{\varepsilon\rightarrow0}f_\varepsilon$ 在 $\mathscr{D}'(\mathbb{R})$ 中存在
證明1. 本來(lái)我們最好是證明 $f_{\varepsilon}\rightarrow 2P.V.(\frac{1}{x})$ , 但是我們偷個(gè)懶. 我們只需要任取 $\varphi\in C_c^\infty(\mathbb{R})$ , 證明 $\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\langle f_\varepsilon,\varphi\rangle$ 存在就行了. 這是因?yàn)楦鶕?jù)Rudin的泛函分析書(shū)里的定理2.7, 如果 $\Lambda_k$ 是某拓?fù)渚€性空間 $X$ 上的連續(xù)線性泛函, 并且 $\forall x\in X$ , $\lim_k\Lambda_kx=\Lambda x$ 存在, 那么 $\Lambda$ 也是 $X$ 上的連續(xù)線性泛函.
任取 $\varepsilon_1,\varepsilon_2>0$ , 我們來(lái)估計(jì) $|\langle f_{\varepsilon_1}-f_{\varepsilon_2},\varphi\rangle|$ . 注意 $f_\varepsilon$ 是奇函數(shù), 并且 $f_{\varepsilon_1}-f_{\varepsilon_2}\in L^1(\mathbb{R})$ , 所以 $\int(f_{\varepsilon_1}-f_{\varepsilon_2})=0$ . 從而我們有
$|\langle f_{\varepsilon_1}-f_{\varepsilon_2},\varphi\rangle|=\left|\int(f_{\varepsilon_1}-f_{\varepsilon_2})\varphi dx\right|$
$=\left|\int(f_{\varepsilon_1}-f_{\varepsilon_2})(\varphi-\varphi(0))dx\right|\le\|\varphi'\|_{L^\infty}\int|x||f_{\varepsilon_1}-f_{\varepsilon_2}|dx$
$\le 2\|\varphi'\|_{L^\infty}|\varepsilon_1^2-\varepsilon_2^2|\int_0^\infty\frac{2x^2}{(x^2+\varepsilon_1^2)(x^2+\varepsilon_2^2) }dx$
$=4\|\varphi'\|_{L^\infty}\int_0^\infty\left|\frac{\varepsilon_1^2}{x+\varepsilon_1^2}-\frac{\varepsilon_2^2}{x+\varepsilon_2^2}\right|dx$
$=4\|\varphi'\|_{L^\infty}\left| \int_0^\infty\frac{\varepsilon_1^2}{x+\varepsilon_1^2}dx-\int_0^\infty \frac{\varepsilon_2^2}{x+\varepsilon_2^2}dx\right|$
$=2\pi\|\varphi'\|_{L^\infty}|\varepsilon_1-\varepsilon_2|$
由此即可得到 $\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\langle f_\varepsilon,\varphi\rangle$ 是存在的. $\blacksquare$
證明2. 我們直接來(lái)證明 $f_{\varepsilon}\rightarrow 2P.V.(\frac{1}{x})$ . 取定 $\varphi\in C_c^\infty(\mathbb{R})$ . 對(duì)任何 $h>0$ , 我們?nèi)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cdelta%5Cin(0%2C1)" alt="\delta\in(0,1)" mathimg="1">使得 $\operatorname{supp}\varphi\subset[-\delta^{-1},\delta^{-1}]$ , 并且 $2\delta\|\varphi'\|_{L^\infty}<h/3$ , 以及
$\left|\langle 2 P.V.\frac{1}{x},\varphi\rangle-\int_{\delta\le|x|\le\delta^{-1}}\frac{2\varphi(x)}{x}dx\right|<\frac{h}{3}$
再取 $\varepsilon$ 充分小, 使得 $\frac{2\varepsilon^2}{\delta^4}\|\varphi\|_{L^\infty}< h/3$ . 在取定此 $\delta,\varepsilon$ 之后, 我們來(lái)計(jì)算:
$| \langle f_\varepsilon,\varphi\rangle-\langle 2P.V.\frac{1}{x},\varphi\rangle|\le\left|\langle f_\varepsilon,\varphi\rangle-\int_{\delta\le|x|\le\delta^{-1}}\frac{2\varphi(x)}{x}dx\right|$
$+ \left|\langle 2P.V.\frac{1}{x},\varphi\rangle-\int_{\delta\le|x|\le\delta^{-1}}\frac{2\varphi(x)}{x}dx\right|$
$\le\left|\int_{\delta\le|x|\le\delta^{-1}}\left(\frac{2x}{x^2+\varepsilon^2}-\frac{2}{x}\right)\varphi(x)dx\right|+\left|\int_{|x|\le\delta}\frac{2x}{x^2+\varepsilon^2}\varphi(x)dx\right|+\frac{h}{3}$
$\le\|\varphi\|_{L^\infty}\int_{\delta\le|x|\le\delta^{-1}}\frac{2\varepsilon^2}{|x|( x^2+\varepsilon^2)}dx$
$+\left|\int_{|x|\le\delta}\frac{2x}{x^2+\varepsilon^2}(\varphi(x)-\varphi(0))dx\right|+\frac{h}{3}$
$\le\|\varphi\|_{L^\infty}\frac{2\varepsilon^2}{\delta^4}+\|\varphi'\|_{L^\infty}\int_{|x|\le\delta}\frac{2x^2}{x^2+\varepsilon^2}dx+\frac{h}{3}$
$\le\frac{2h}{3}+2\delta\|\varphi'\|_{L^\infty}<h$
所以 $\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\langle f_\varepsilon,\varphi\rangle=\langle 2P.V.(1/x),\varphi\rangle$ . $\blacksquare$