線性代數(shù)系列：向量組線性相關(guān)/無關(guān)

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)，非齊次線性方程組

內(nèi)容摘要

  • 向量能否用向量組線性表示問題

向量組能否線性表示問題

知識(shí)點(diǎn)一

一個(gè)向量能否由給定的向量組線性表示，等價(jià)于對(duì)應(yīng)的非齊次線性方程組是否有解：

如果該向量可以被線性表示，則方程組有解；
如果表示方式不唯一（即存在多種線性組合），則方程組有無窮多解；
如果該向量無法被線性表示，則方程組無解。

知識(shí)點(diǎn)二

由n個(gè)n維向量形成的向量組，如果他們都線性無關(guān)，那么這個(gè)向量組可以線性表示任意n維向量，反之，如果由n個(gè)n維向量形成的向量組線性相關(guān)，一定存在一個(gè)或者多個(gè)向量，不能由這個(gè)n維向量組線性表示（當(dāng)然也有個(gè)別向量能用該向量組表示），所以，如果有一個(gè)向量能被該n乘n的向量組線性表示，有另一個(gè)向量不能被n乘n的向量組線性表示，那么這個(gè)n乘n的向量組線性相關(guān)。

例題1

已知
\mathbf{a}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix},\quad \mathbf{a}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ a \end{bmatrix},\quad \mathbf{a}_3 = \begin{bmatrix} a \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix},\quad \boldsymbol{\beta} = \begin{bmatrix} 4 \\ -4 \\ a^2 \end{bmatrix},\quad \mathbf{r} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}

若 \boldsymbol{\beta} 能由 \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3 線性表示，
但 \mathbf{r} 不能被 \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3 線性表示，
則
a = \ ?

解:
根據(jù)題意，\boldsymbol{\beta} 能由 \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3 線性表示，但存在向量 \mathbf{r} 不能被其線性表示，說明向量組 \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3 不能張成整個(gè) \mathbb{R}^3，即它們線性相關(guān)。

因此，由這三個(gè)向量構(gòu)成的矩陣的行列式為 0：

\begin{vmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & a & 1 \end{vmatrix} = 0

計(jì)算該行列式：

\begin{aligned} &\quad\ \begin{vmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & a & 1 \end{vmatrix} \\ &= 1 \cdot (-1 \cdot 1 - 2 \cdot a) - 1 \cdot (1 \cdot 1 - 2 \cdot (-1)) + a \cdot (1 \cdot a - (-1) \cdot (-1)) \\ &= (-1 - 2a) - (1 + 2) + a(a - 1) \\ &= -1 - 2a - 3 + a^2 - a \\ &= a^2 - 3a - 4 \end{aligned}

令其等于 0：
a^2 - 3a - 4 = 0

解得：
a = 4 \quad \text{或} \quad a = -1
當(dāng) a = -1 時(shí)，

向量組為：
\mathbf{a}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix},\quad \mathbf{a}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix},\quad \mathbf{a}_3 = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}

即構(gòu)成矩陣：
[\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3] = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}

向量 \boldsymbol{\beta} 為：
\boldsymbol{\beta} = \begin{bmatrix} 4 \\ -4 \\ 1 \end{bmatrix}

考慮線性方程組 x_1 \mathbf{a}_1 + x_2 \mathbf{a}_2 + x_3 \mathbf{a}_3 = \boldsymbol{\beta}，對(duì)應(yīng)的增廣矩陣為：
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 4 \\ 1 & -1 & 2 & -4 \\ -1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right]

進(jìn)行初等行變換：
\xrightarrow{r_2 - r_1,\ r_3 + r_1} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 & -8 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}\right]

最后一行出現(xiàn) 0 = 5，矛盾，說明方程組無解。

因此，當(dāng) a = -1 時(shí)，\boldsymbol{\beta} 不能被 \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3 線性表示，不滿足題意，舍去。

當(dāng) a = 4 時(shí)，

向量組為：
\mathbf{a}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix},\quad \mathbf{a}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix},\quad \mathbf{a}_3 = \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}

即構(gòu)成矩陣：
[\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3] = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & 4 & 1 \end{bmatrix}

向量 \boldsymbol{\beta} 為：
\boldsymbol{\beta} = \begin{bmatrix} 4 \\ -4 \\ 16 \end{bmatrix}

觀察可得：
\boldsymbol{\beta} = 4 \cdot \mathbf{a}_2 = 4 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ -4 \\ 16 \end{bmatrix}

因此，\boldsymbol{\beta} 可由 \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3 線性表示（只需取 x_1 = 0, x_2 = 4, x_3 = 0）。

同時(shí)，當(dāng) a = 4 時(shí)，向量組 \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3 線性相關(guān)（行列式為 0），故其張成的空間維度小于 3，因此存在某些向量（如題中 \mathbf{r}）無法被線性表示，滿足題意。

綜上所述：
\boxed{a = 4}

例題2

若向量組 \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3 線性無關(guān)，\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_4 線性相關(guān)，則

A. \mathbf{a}_1 必可由 \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3, \mathbf{a}_4 線性表示
B. \mathbf{a}_2 必可由 \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_3, \mathbf{a}_4 線性表示
C. \mathbf{a}_3 必可由 \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_4 線性表示
D. \mathbf{a}_4 必可由 \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3 線性表示

解:
因?yàn)閍1,a2,a3線性無關(guān)，所以a1,a2線性無關(guān)，又因?yàn)閍1,a2,a4線性相關(guān)，所以a4必定處于以下三種情況之一
(1)a4可以被a1單獨(dú)表示，此時(shí)a4是a1的倍數(shù)
(2)a4可以被a2單獨(dú)表示，此時(shí)a4是a2的倍數(shù)
(3)a4不能被a1或者a2單獨(dú)表示，但是可以表示為a1,a2的線性組合

不論是(1),(2),(3)，選項(xiàng)D都正確，所以是必有。
A選項(xiàng)，a1和a2，a3線性無關(guān)，只能看a4，當(dāng)a4是a1的倍數(shù)（情況(1)，或者a4是a1，a2線性組合（情況(3)）的時(shí)候，A成立，但是當(dāng)a4是a2的倍數(shù)的時(shí)候，A不成立
B選項(xiàng)，同理，當(dāng)a4是a1倍數(shù)的時(shí)候，不成立
C選項(xiàng)，a3不能被a1，a2喜愛些嗯表示，同時(shí)a1，a2，a4線性相關(guān)，所以a4的信息并沒有帶來新的信息量，因此a3不能被a1，a2，a4線性表示
D正確

例題3

若向量組 \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \dots, \mathbf{a}_s 可由向量組 \mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2, \dots, \mathbf{p}_s 線性表示，則
“\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \dots, \mathbf{a}_s 線性無關(guān)” 是 “\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2, \dots, \mathbf{p}_s 線性無關(guān)” 的

A. 充分必要條件
B. 充分不必要條件
C. 必要不充分條件
D. 既不充分也不必要條件

解:
若a1，a2，...as線性無關(guān)，則推出p1，p2，...ps線性無關(guān)，這是充分條件
若p1，p2，...ps線性無關(guān)，則推出a1，a2，...as線性無關(guān)，這是必要條件
因?yàn)槿鬭1，a2，...as可由p1，p2，...pn線性表示，所以a中任意一條向量都可以被p線性表示，若a1，a2，...as線性無關(guān)，則p1，p2，...ps必然線性無關(guān)，因?yàn)閍和p的向量數(shù)是一樣的，因?yàn)镽(a)<=R(p)，若a滿秩，因?yàn)閍和p向量數(shù)一樣，所以p也只能滿秩，所以是充分條件
反過來，如果p1，p2，...ps線性無關(guān)，則不要求a1，a2，...as也線性無關(guān)，a可以取p中任意一條向量，無限復(fù)制s次，此時(shí)也滿足a能被p線性表示，而此時(shí)a是線性相關(guān)的，因此是不必要條件
選B

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