數(shù)學(xué)思維的變化之道：常與變的策略

“知變化之道者，其知神之所為乎”--孔子 周易系辭上傳

易經(jīng)三易：變易、簡(jiǎn)易、不易。

辯證法的運(yùn)動(dòng)發(fā)展觀，變化是永恒的，普遍的。

常與變：不變與變化， 常與變是相互對(duì)立而又統(tǒng)一的?！俺！笔鞘挛锏钠毡橐?guī)律,“變”是事物的特殊規(guī)律,普遍規(guī)律常寓于特殊規(guī)律之中。因此,不知常就談不上變。常與變也是中國(guó)古代哲學(xué)中關(guān)于法則的恒定性和變化性與執(zhí)行的原則性和靈活性的命題。


在數(shù)學(xué)解題過程中，對(duì)常量和變量要有正確的認(rèn)識(shí)，不能絕對(duì)化，有時(shí)要把常量當(dāng)變量或轉(zhuǎn)換為變量，把變量當(dāng)常量，也就是”常變”互化。在解題策略上，當(dāng)碰到棘手的情況(case）時(shí)，有兩種常與變的策略。

第一種是不怕困難，知難而進(jìn)，改變、改造、轉(zhuǎn)化導(dǎo)致棘手的矛盾和事物，這和心理學(xué)中的“同化”類似，改變或同化方向一般是矛盾的對(duì)立面或有關(guān)聯(lián)的，例如已知、熟悉、簡(jiǎn)單、和諧、美化等。

對(duì)導(dǎo)致問題棘手的主要矛盾，通常情況下，面對(duì)主要矛盾要知難而進(jìn)，直面問題，因?yàn)橐鉀Q問題是很難繞開躲過它們的，也就是主要矛盾一般是剛性的。

例1

a、b、c均為正數(shù)，且a+b+c=3。證明：\frac{1+a^2}+ \frac{c}{1+b^2 } + \frac{a}{1+c^2} \geq \frac{3}{2}


解題分析與解法探索：

1）觀察需要證明的不等式左邊，分母較復(fù)雜。

2）情境分析，分析不等式取等的條件，易知當(dāng)a=b=c=1時(shí)等號(hào)成立。

3）可想到用放縮法化簡(jiǎn)復(fù)雜的分母，1+a^2\geq 2a,但\frac{1}{1+a^2} \leq \frac{1}{2a} ，它與要證的不等式方向相反，存在沖突，不和諧。這就是要解決的矛盾，這個(gè)矛盾感覺很難避開。

沖突與融合&消解。如何化解、轉(zhuǎn)化、改造這個(gè)矛盾，讓它變和諧？顯然我們期望的改造目標(biāo)方向是讓兩個(gè)不等式同向，這樣才能用放縮法證明。

反過來，從辯證法的矛盾論和“緣起性空，因(機(jī))緣和合”的角度理解，果從因生：緣起的先決條件是“因”，有“因”再加上“緣”，條件具足，才能生“果”。內(nèi)因也就是“因”是生起萬事萬物主要的、內(nèi)在的條件，是生果的直接力；“緣”是外因，是外在的條件、外在的環(huán)境，能助因生果，是生果的間接力。事物是沒有獨(dú)立自性的，是因緣和合所生。

有時(shí)要隨緣，當(dāng)條件不具備不合適時(shí)，要助緣、造緣。目前的代數(shù)式還不具備能利用上面那個(gè)放縮的內(nèi)因和外緣。而沒有合適的條件，沒有合適的環(huán)境，我們就要主動(dòng)創(chuàng)造&改造合適的條件和環(huán)境，消除沖突，讓這個(gè)放縮能進(jìn)行下去。

根據(jù)不等式的性質(zhì)：不等式兩邊乘以負(fù)數(shù)，不等號(hào)會(huì)變向。所以想到對(duì)要證不等式兩邊同乘以-1，變?yōu)椋?/p>

-\frac{1+a^2}- \frac{c}{1+b^2 } - \frac{a}{1+c^2} \leq? -\frac{3}{2} ? ? ? ? 1)

與放縮的不等式\frac{1}{1+a^2} \leq \frac{1}{2a} 同向了，但還有差異，主要是1)式左邊的負(fù)號(hào)還需要調(diào)整或消除?？上氲綄?duì)1)式左邊加a+b+c，右邊加3，變?yōu)椋?/p>

(b-\frac{1+a^2})+(c- \frac{c}{1+b^2 }) +(a- \frac{a}{1+c^2}) \leq? \frac{3}{2} ，繼續(xù)變形為：

\frac{a^2b }{1+a^2}+ \frac{b^2c}{1+b^2 } +\frac{c^2 a}{1+c^2} \leq? \frac{3}{2} ? ? ? ? 2）

\frac{a^2b }{1+a^2} \leq \frac{a^2 b}{2a} =\frac{ab}{2} , \frac{b^2c}{1+b^2 } \leq \frac{b^2 c}{2b} =\frac{bc}{2}, \frac{c^2 a}{1+c^2} \leq? \frac{c^2 a}{2c} =\frac{ac}{2}

可得：\frac{a^2b }{1+a^2}+ \frac{b^2c}{1+b^2 } +\frac{c^2 a}{1+c^2} \leq \frac{ab+bc+ac}{2}

故只需證：\frac{ab+bc+ac}{2} \leq \frac{3}{2} 。由a+b+c=3，易證ab+bc+ac\leq 3。


第二種是避重就輕，知難而退，避開導(dǎo)致棘手的矛盾和事物，保留它們而不去改變或不做大的改變。這和心理學(xué)中的“順應(yīng)”類似。避重就輕可能是暫時(shí)的，隨著時(shí)間的推進(jìn)，先前避開的可能就要去改變、改造、轉(zhuǎn)化。

類似地，當(dāng)我們看不清事物本質(zhì)、不知道如何利用這些事物、看不清形勢(shì)時(shí)，有時(shí)不要急著動(dòng)手去改變看不清的事物，不要急著去利用它們，不要急著去采取行動(dòng)，否則很可能就是妄動(dòng)，反而得不償失。

每種變化方案都是有成本和代價(jià)的，我們基于“變化方案”的損失收益代價(jià)成本、變化是否導(dǎo)致問題形勢(shì)變得簡(jiǎn)單(便于解題)或變的更復(fù)雜，進(jìn)行分析決策，評(píng)估變化方案的合理性，最終選擇合適的變化方案：應(yīng)該變哪些對(duì)象(同化哪些)，不能或不應(yīng)該變哪些，也就是保留哪些(順應(yīng)哪些)。

避重就輕是一種心理傾向，也就是避難趨易，對(duì)棘手的不好啃的，要避開要順應(yīng)它。

例2

n為大于1的正整數(shù)，證明：1-\frac{1}{n} > ln(1+\frac{1}{2^2} )+ln(1+\frac{1}{3^2} )+...+ln(1+\frac{1}{n^2} )。


解題分析與方法探索：

1）不等式右邊的結(jié)構(gòu)復(fù)雜且不好改變不好改造它，也就是右邊具有結(jié)構(gòu)剛性。我們要避免對(duì)它做大的變形等改造動(dòng)作，而是選取不等式左邊的1-\frac{1}{n} 進(jìn)行改造，這就是避重就輕。

2）不等式右邊有多項(xiàng)相加，順應(yīng)這個(gè)結(jié)構(gòu)特征，基于這個(gè)結(jié)構(gòu)特征的暗示和啟發(fā)，順應(yīng)這個(gè)結(jié)構(gòu)特征，對(duì)左邊的1-\frac{1}{n} 進(jìn)行改造的合情設(shè)想應(yīng)該是把它也對(duì)應(yīng)地拆分為多項(xiàng)，也就是化整為零，構(gòu)造局部不等式。

3）由 ln(1+\frac{1}{n^2} )可聯(lián)想到熟悉的不等式x>ln(1+x),也就是\frac{1}{n^2 } >ln(1+\frac{1}{n^2} ).

4 )容易想到放縮：\frac{1}{n-1} -\frac{1}{n} =\frac{1}{(n-1)n} > \frac{1}{n^2} >ln（1+\frac{1}{n^2} ）

5) 由4）可想到要將1-\frac{1}{n} 化整為零，拆分變形為：（1-\frac{1}{2} ）+(\frac{1}{2} -\frac{1}{3} )+...+(\frac{1}{n-1} -\frac{1}{n} )

6)而（1-\frac{1}{2} ）+(\frac{1}{2} -\frac{1}{3} )+...+(\frac{1}{n-1} -\frac{1}{n} )>\frac{1}{2^2 } +\frac{1}{3^2 } +...+\frac{1}{n^2} >ln(1+\frac{1}{2^2} )+ln(1+\frac{1}{3^2} )+...+ln(1+\frac{1}{n^2} )。



避重就輕是貶義還是褒義，看場(chǎng)景上下文。避實(shí)就虛和避重就輕有些時(shí)候比較接近。

在解決問題過程中，避重就輕是一個(gè)通用的策略，它和進(jìn)退互化策略有些類似，避開復(fù)雜的，退到簡(jiǎn)單情況去考慮問題。凡是涉及到多路徑的問題決策( 從中選擇一條最優(yōu)或較優(yōu)路徑)時(shí)，都可以嘗試使用它。例如在考試時(shí)，先做簡(jiǎn)單的題，后做復(fù)雜的題。數(shù)學(xué)問題解決中，在使用轉(zhuǎn)化思想解題時(shí)，也運(yùn)用了避重就輕的策略。

在代數(shù)式變形過程中，當(dāng)有多個(gè)變形方案時(shí)，就可以結(jié)合該策略進(jìn)行決策，選擇適當(dāng)?shù)淖冃畏桨浮＠缭谟梅蛛x變量法解題時(shí)，我們通常有多個(gè)變形分離方案，要找出靠譜的可行的變形分離方案時(shí)，就需要用到該策略。

例3

? 已知a、b、c為正數(shù)，且\frac{1}{a} +\frac{1} +\frac{1}{c} =6。求a+2ab+2abc的最小值。


解題分析：

? 這道題，通常會(huì)想到消元，例如消去a+2ab+2abc中的a。對(duì)\frac{1}{a} +\frac{1} +\frac{1}{c} =6進(jìn)行變形，得到a=\frac{1}{6-\frac{1} -\frac{1}{c} } ，然后代入a+2ab+2abc消去a。但這樣得到的代數(shù)式顯然比較復(fù)雜，也就是對(duì)\frac{1}{a} +\frac{1} +\frac{1}{c} =6不能這樣變形，要避開避免這樣的變形。

? ? 避重就輕，辯證思維，靈活變通，反其道而行，會(huì)想到使用整體思想和面向?qū)ο笏枷雽?duì)

a+2ab+2abc進(jìn)行整體換元。

? ? 令a+2ab+2abc=t，可得\frac{1}{a} =\frac{1}{t} +\frac{2b}{t} +\frac{2bc}{t} 。代入\frac{1}{a} +\frac{1} +\frac{1}{c} =6可得

\frac{1}{t} +\frac{2b}{t} +\frac{2bc}{t} +\frac{1} +\frac{1}{c} = 6? ? 1)

? ? 觀察1）式，可發(fā)現(xiàn)它接近均值不等式模式，故作如下變形：

\frac{1}{t} +\frac{2b}{t} +\frac{2bc}{t} +\frac{1}{2b} +\frac{1}{2b} +\frac{1}{c} =6

\frac{1}{t} +\frac{2b}{t} +\frac{2bc}{t} +\frac{1}{2b} +\frac{1}{2b} +\frac{1}{c} =6 \geq \frac{1}{t}+5\sqrt[5]{\frac{2b}{t}\times? \frac{2bc}{t} \times \frac{1}{2b} \times \frac{1}{2b}\times? \frac{1}{c} }? =\frac{1}{t} +5\sqrt[5]{\frac{1}{t^2} }

\frac{1}{t} +5\sqrt[5]{\frac{1}{t^2} } 顯然為減函數(shù)，故t\geq 1，由取等條件易知當(dāng)t=1時(shí)，c=1,b=\frac{1}{2} ,a=\frac{1}{3} 。

故所求代數(shù)式的最小值為1。

常與變與直接-間接的區(qū)別和聯(lián)系

有時(shí)解決問題，如果不能直接解決，那就間接。“常與變“與“直接-間接”，兩者有類似之處，不同之處是“常與變”層次高，范圍廣，它包括“直接-間接”。

避重就輕策略中的度量標(biāo)準(zhǔn)和度量算法

在不同類型的問題解決中應(yīng)用避重就輕策略時(shí)，什么是重？什么是輕？應(yīng)該是有不同的度量標(biāo)準(zhǔn)和度量算法的。

這里用分離變量法解題時(shí)的度量標(biāo)準(zhǔn)和度量算法來加以具體說明。

提到分離變量法，要立即聯(lián)想到庖丁解牛的故事。庖丁可是領(lǐng)悟了解牛之道的，他在解牛時(shí)就是避重就輕，順勢(shì)而行，順應(yīng)自然：依照牛的生理上的天然結(jié)構(gòu)，砍入牛體筋骨相接的縫隙，順著骨節(jié)間的空處（最薄弱的地方）進(jìn)刀，依從最薄弱的地方(空隙處)進(jìn)刀，避開緊密相聯(lián)的地方。顯然庖丁在解牛時(shí)的度量標(biāo)準(zhǔn)是牛各部位之間聯(lián)系的緊密程度，也就是結(jié)合力的大小。相互聯(lián)系緊密的結(jié)合力大，解牛時(shí)要避開，要將這些部位看做一個(gè)整體，不要相互分離，例如A骨頭和B骨頭緊密聯(lián)在一起，那就把AB作為一個(gè)整體，如果在解牛時(shí)硬要把它們分開那就容易損壞刀具，庖丁顯然不會(huì)這樣做。

分離變量法解題時(shí)，如何靠譜地最優(yōu)地進(jìn)行分離？也要遵循和庖丁解牛類似的避重就輕策略與度量標(biāo)準(zhǔn)。這個(gè)度量標(biāo)準(zhǔn)，和軟件設(shè)計(jì)中劃分模塊遵循的高內(nèi)聚、低耦合原則是一樣的。高內(nèi)聚就是聯(lián)系緊密，低耦合就是聯(lián)系的力度較弱。從聯(lián)系最弱的&較弱的&耦合最小的地方分離分解，避開或保留聯(lián)系緊密的地方。物理學(xué)中的正交分解也是如此。大道是一以貫之的，可見不同領(lǐng)域中的一些核心思想核心原則是相通或相似的，是可以相互佐證的。這種跨領(lǐng)域之間的聯(lián)系、借鑒、遷移，對(duì)我們深刻理解和構(gòu)建通透系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維方法論體系是有助益的，這也是本人一直強(qiáng)調(diào)構(gòu)建通透系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維方法論體系要多學(xué)科多領(lǐng)域融合，吸取它們的養(yǎng)分來滋養(yǎng)數(shù)學(xué)思維方法論體系。

軟件設(shè)計(jì)中的高內(nèi)聚、低耦合原則示意圖

如上圖，線段表示相互之間的耦合(聯(lián)系)，長(zhǎng)方形框表示模塊。A0和B0之間(A0與B0之間的那條線)的耦合度最小。當(dāng)我們劃分軟件模塊時(shí)，應(yīng)該從聯(lián)系最薄弱的A0和B0處下刀進(jìn)行劃分，把它們分為兩個(gè)模塊：A模塊和B模塊。

這里用同構(gòu)+分離變量法解題的場(chǎng)景來說明避重就輕策略的運(yùn)用，題目如下。

例4

分離變量時(shí)，可以覺察到e的指數(shù)ax中，a與x是緊耦合，聯(lián)系緊密，如果把它倆分離，反而會(huì)導(dǎo)致問題變得更復(fù)雜，可以感覺到這種分離會(huì)加速偏離”統(tǒng)一的函數(shù)模式”，南轅北轍。因此在分離時(shí)要避開順應(yīng)它們，不要把它倆分開，也就是要把ax看成一個(gè)整體。得到這樣的決策結(jié)果后，容易探索得到下面的分離方案和解題方法。

從上面的解法可以看出同構(gòu)法有”金蟬脫殼”的效果。

這是一道簡(jiǎn)單的題，復(fù)雜些的同構(gòu)分離變量題，會(huì)在上面的（1）式左右兩側(cè)出現(xiàn)能抵消的代數(shù)項(xiàng)，產(chǎn)生泯滅效應(yīng)增加題目難度，此時(shí)(1)式類似m+n+o\geq k+l+m，不等式左右兩邊的m會(huì)抵消，或部分抵消，當(dāng)它們具有不同的系數(shù)時(shí)。此時(shí)可以用合情構(gòu)想泯滅相消模式來復(fù)原被消去的代數(shù)項(xiàng)。

引用數(shù)學(xué)家萊布尼茲的一段關(guān)于分而治之解決問題的話作為本文的結(jié)尾，如下。

萊布尼茲：“不講分解技巧，分而治之就不大有用。無經(jīng)驗(yàn)者對(duì)問題分解不當(dāng)，反而會(huì)增加困難。分解的主要難點(diǎn)在于怎么分。分解策略之一是按容易求解的方式來分，之二是在弱耦合處下手，切斷聯(lián)系“。

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