上回說到，第一卷遺留下一個(gè)問題：化矩形為等面積的正方形。第二卷就是為了解決這個(gè)問題而存在。當(dāng)然，也有副產(chǎn)品。
第二卷的許多命題，在今天看起來很重復(fù)和羅嗦，就像第一卷的三十五到四十一命題一樣。原因也一樣，那時(shí)，用幾何在運(yùn)算，沒有發(fā)達(dá)的代數(shù)。
命題一，相當(dāng)于現(xiàn)代的乘法對(duì)加法的分配律。
命題一指出，像圖中這樣的矩形，大的被分割為幾個(gè)小的，那么，大的矩形就是幾個(gè)小矩形面積和。就是說
AB×AD=AB(AE+EG+GD)
命題二，把大矩形換成一個(gè)正方形，切割成兩個(gè)部分。就是說
DC×HC + DC ×FH = DC*FC
命題三，在切割長方形的時(shí)候，刻意切割成一個(gè)正方形和一個(gè)長方形。這個(gè)命題的演示結(jié)果是：
(a+b)×a=a×a + b×a
或者是上圖中：
AG×AB=(AE+EG)×AB=(AB+EG)×AB=AB×AB+EG×EF
結(jié)果看上去沒有大的變化，但這個(gè)命題很重要。因?yàn)?，這里隱藏了一個(gè)“正方形貼和”的概念。古希臘人喜歡正方形勝過矩形，所以，切割長方形的時(shí)候，盡量切出一個(gè)正方形來。
那個(gè)年代，對(duì)圓錐曲線的研究已經(jīng)很深入。因?yàn)樯酝淼陌⒉_尼奧斯總結(jié)了所有的圓錐曲線的大部分的性質(zhì)。廣泛使用“貼合”這樣一個(gè)觀念。因此，這個(gè)命題存在，是當(dāng)時(shí)流行趨勢(shì)所致。
命題四，演示了完全平方公式，隱藏了開方的秘訣。
在阿基米德的年代，確確實(shí)實(shí)可以用比值來無限逼近無理數(shù)。在歐幾里得的年代，也許還做不到。在畢達(dá)哥拉斯的年代，絕對(duì)做不到。
從西方人的知識(shí)脈絡(luò)來看，一代更比一代強(qiáng)，今人勝古人。
關(guān)于怎樣開平方，劉徽等人介紹的特別詳細(xì)。
命題五，演示了如下公式
這個(gè)圖形揭示了：在兩線段的和AB一定的情況下，用兩線段可做矩形。當(dāng)兩線段長度相等的時(shí)候，面積最大。
那么，正方形比一般長方形大多少呢？大的就是不等分點(diǎn)C與中點(diǎn)D之間的距離所作的正方形。
如果知道他想表達(dá)的意思，無疑，這個(gè)命題用圖形描述起來比現(xiàn)代的代數(shù)更直接。但用圖形證明起來會(huì)更繁瑣。
當(dāng)兩線段長度很接近的時(shí)候，正方形面積同矩形面積就很接近。這個(gè)公式也隱含了開平方的方法。這個(gè)命題，可以視為化矩形為正方形的探索。一個(gè)矩形，只要加上一個(gè)小的正方形，就可以化為正方形。
命題六，演示了如下公式：
使用的圖形是
用代數(shù)的算式，其實(shí)看不出作者要做什么。看圖形就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這個(gè)命題與上一個(gè)命題有相似的地方。都是一個(gè)長方形加上一個(gè)正方形，等于另一個(gè)正方形。這一個(gè)圖，可以視作分點(diǎn)D在線段AB的外部。
在直線AB上，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為x1,B點(diǎn)坐標(biāo)為x2,則C點(diǎn)坐標(biāo)為
(x1+x2)/2，設(shè)分點(diǎn)D分線段AB比例AD/AB=λ。
即(x-x1)/(x2-x1)=λ，
那么：
因此，當(dāng)分點(diǎn)在AD方向，D的外側(cè)時(shí)，λ>1,按照上面的公式，計(jì)算出來的面積是負(fù)值。當(dāng)分點(diǎn)在A的左側(cè)時(shí)，λ本身為負(fù)值，計(jì)算出來的面積還是負(fù)值。只有分點(diǎn)在線段內(nèi)部，計(jì)算出來才是正值。
本命題是
矩形（A到分點(diǎn)× 分點(diǎn)到B）+
半線正方形 =
（分點(diǎn)與中點(diǎn)距離)構(gòu)成的正方形
上一個(gè)命題是：
矩形（A到分點(diǎn)×分點(diǎn)到B）+ （分點(diǎn)與中點(diǎn)距離)構(gòu)成的正方形=
半線正方形
兩者可以整理成統(tǒng)一的形式：
矩形+正方形+正方形=0
因?yàn)?，用坐?biāo)計(jì)算，面積可以寫成負(fù)值。上一個(gè)命題中，也可以獲得面積為負(fù)值的表示。
正的或者負(fù)值只是表示方向，方向垂直于xy平面。也就是說與平面內(nèi)的事情無關(guān)。計(jì)算面積的法則是叉乘。
古希臘時(shí)代對(duì)“負(fù)”的值似乎有點(diǎn)排斥，甚至到笛卡爾的年代，還排斥負(fù)值。人們好不容易接受了負(fù)值，又不能接受虛數(shù)。也如同最初的人對(duì)“日心說”的排斥。社會(huì)趨向于穩(wěn)定，總會(huì)習(xí)慣性的排斥新生的事物。新生的事物，必須經(jīng)歷血與火的考驗(yàn)，才能生存。
要學(xué)習(xí)新的幾何，必須先接受新的觀念。
命題五、六實(shí)際上是同一個(gè)命題。依然在探索，如何化長方形為正方形。實(shí)際上，也可以這樣寫：
(y+z)(y-z) + z^2 = y^2
命題七，講
使用的圖形
實(shí)際上，原本的圖形盡量節(jié)省一切可以節(jié)省的空間。只要能重合，把相等的線段都畫在一起。
由于現(xiàn)代人有了代數(shù)，有坐標(biāo)軸，很容易證明第二卷的各種命題。于是，都不再細(xì)看《原本》中繁瑣的證明。我感覺，這里面可能有東西，待我詳細(xì)考察。
暫時(shí)不使用代數(shù)證明的方法，嘗試用純幾何理解作者當(dāng)時(shí)的想法。
命題八，命題八的繁瑣描述，又把人拉回現(xiàn)代簡(jiǎn)單的代數(shù)，代數(shù)用一個(gè)式子就解決了，幾何需要繁復(fù)的描述。于是，第二章也可以看作解析法的前身。因?yàn)楝F(xiàn)代人，在證明第二卷的相關(guān)命題時(shí)，沒有辦法不用解析法。解析法的便捷，足以讓人遺忘綜合幾何繁雜的證明。
命題八，用代數(shù)式表示，就是
4(a+b)a+b^2 = (2a+b)^2。
代數(shù)介入幾何，才讓人感覺到大巧若拙的真實(shí)含義。
代數(shù)只會(huì)計(jì)算，拋棄了幾何復(fù)雜的證明路徑，然而，簡(jiǎn)單有效。
命題九與命題十是同樣的道理。
命題九用代數(shù)的觀點(diǎn)看，就是(a-b)^2 + b^2 = 2(a/2)^2 +2(a/2-b)^2.
命題十用代數(shù)的觀點(diǎn)看，就是(a+b)^2 +b^2 = 2(a/2)^2 +2(a/2+b)^2.
這些看似平常的公式里，隱藏了古人的心血。包括開平方的秘訣，以及用有理數(shù)逼近無理數(shù)的方法。
命題十一，是必須重視的一個(gè)命題。因?yàn)橹v了“黃金分割”。黃金分割，只是一種特殊比例，其實(shí)并沒有什么神奇之處，但因?yàn)榇髱熢?jīng)推崇，所以格外重要。推崇黃金分割的人，包括古希臘的學(xué)者，還包括文藝復(fù)興時(shí)候的畫家。因?yàn)?，有一種說法，黃金分割是最美的。
命題十二和命題十三，就是余弦定理的幾何描述。那個(gè)時(shí)候，還沒有余弦函數(shù)。于是，就用線段的投影表示。這兩個(gè)定理擴(kuò)展了勾股定理。
命題十四，是本卷的目標(biāo)命題，也是上一卷最重要的補(bǔ)充。解決了上一卷的遺留問題。即化一個(gè)長方形為正方形。本質(zhì)上講，完成了數(shù)的開方運(yùn)算。
笛卡爾幾何對(duì)《原本》發(fā)揚(yáng)的地方之一在于，引入了一個(gè)幽靈1,所有的單位可以同1比較，于是，單位就可以消失，數(shù)學(xué)就可以研究單純的數(shù)字。歐氏幾何，乘法得出的一定是面積;而在笛卡爾幾何中，如果不仔細(xì)分別，只是拿到一個(gè)數(shù)字，那么，你將不能分別是1厘米還是1平方厘米。也就是說，使用單位線段，可以消除更多的單位轉(zhuǎn)換的麻煩。
從本質(zhì)上講，乘法是不可交換次序的。
本卷的內(nèi)容：
- 解析法思想（命題5-10）
1.乘法分配律（命題1，2,3） - 黃金分割（命題11）
- 完全平方公式（命題4）
- 幾何平均（幾何開方法，化矩形為正方形法）
(命題14） - 余弦定理（第一卷命題47,第二卷命題12,13）
本卷用解析法會(huì)更加清晰，很多不同的公式都可以統(tǒng)一成一個(gè)。鈍角三角形的余弦定理和銳角三角形的余弦定量在形式上獲得統(tǒng)一。
這是及其重要的一卷書。
再次討論本卷的第五命題和第六命題，以及這兩個(gè)命題的統(tǒng)一性。
設(shè)甲丙兩個(gè)點(diǎn)，構(gòu)成一條線段。中點(diǎn)用“中”字標(biāo)記。另外，甲丙線段（或直線）上，有一個(gè)點(diǎn)，用“分”字來標(biāo)記。
那么，設(shè)整條線段甲丙的長度為1,甲到分點(diǎn)的距離lambda,那么乙到分點(diǎn)的距離就是(1-lambda)。
分點(diǎn)到中點(diǎn)距離是(lambda-1/2)或者(1/2-lambda)，但由這段距離
展開，就是
(lambda^2 - lambda +1/4)
即
lambda(lambda-1)+1/4
通過第二步和第四步，可以知道其中運(yùn)算的奧秘。原作者盡量使得每一個(gè)面積的表示都是正值，所以，需要很多的算式。需要很多的算式也說不清楚。
但如果一開始就假定，面積可以為負(fù)值，一切就簡(jiǎn)單多了。
數(shù)學(xué)本身太抽象，并不容易理解。借助物理學(xué)，可以更好的理解數(shù)學(xué)中的某些做法。阿基米德就用物理學(xué)來解數(shù)學(xué)，這是優(yōu)良的傳統(tǒng)。
物理學(xué)中的力矩可以體現(xiàn)出面積負(fù)值的含義。
第一卷和第二卷，完成了一個(gè)件事情，即：
化任意多邊形為正方形。
重要理論有：
等腰三角形的判定和性質(zhì)
三角形全等的判定
三角形中的不等式
平行線的判定和性質(zhì)
等面積變換
提到的重要公設(shè)和定理有：
Pasch公設(shè)
第五公設(shè)
Playfair公設(shè)
龐斯命題
三角形外角定理
三角形內(nèi)角和定理
勾股定理
余弦定理
重要概念有：
算術(shù)平均
幾何平均
黃金分割
解析法
開方法（完全平方公式）
一二兩卷，雖然只有 48+14=62個(gè)命題，但是內(nèi)容已經(jīng)相當(dāng)飽滿。
