壓縮映射、不動點的一些學(xué)習(xí)記錄

定義（壓縮映射）：設(shè)f在區(qū)間[a,b]上定義，f([a,b]) \subset [a,b]，并存在一個常數(shù)k，滿足0<k<1，使得對一切x,y \in [a,b]成立不等式|f(x) -f(y)| \leq k|x-y|，則稱f是[a,b]上的一個壓縮映射，稱常數(shù)k為壓縮常數(shù)。

命題（壓縮映射原理）：設(shè)f是[a,b]上的一個壓縮映射，則
1.f在[a,b]中存在唯一的不動點\xi = f(\xi);

  1. 由任何初值a_0 \in [a,b]和遞推公式a_{n+1} = f(a_n), n \in N_+，生成的數(shù)列{a_n}一定收斂于\xi.
    證：
    由于 f([a,b]) \subset [a,b]，因此，{a_n}必在[a,b]中，根據(jù)Cauchy收斂準(zhǔn)則可以估計
    |a_n - a_{n+p}| \leq k|a_{n-1}-a_{a+p-1}| \leq k^2|a_{n-2}-a_{n+p-2}| \leq ... \leq k^n|a_0-a_p| \leq k^n(b-a)
    可見對于\varepsilon > 0.只要取N= \frac {ln \frac {\varepsilon} {b-a}} {lnk}, 當(dāng)n>N和p \in N_+
    具體推到如下:
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