三、平面匯交力系和平面力偶系

3.1 平面匯交力系合成和平衡的幾何法

匯交力系：各力的作用線都匯交于一點(diǎn)的力系?？煞譃榭臻g匯交力系和平面匯交力系。
合力：多個(gè)力匯交于一點(diǎn)，如果能用一個(gè)力來(lái)等效替換，此力稱為合力。簡(jiǎn)言之：如果一個(gè)力與某一力系等效，則稱此力為該力系的合力。

（1）兩個(gè)共點(diǎn)力的合成——力三角形規(guī)則

力三角形規(guī)則

（2）多個(gè)匯交力的合成——力多邊形規(guī)則

力多邊形規(guī)則

（3）匯交力系平衡的幾何條件

平衡條件：
匯交力系平衡的必要和充分條件：
該力系的力多邊形自行封閉（平衡的幾何條件）

平衡力系力多邊形

3.2 平面匯交力系與平衡的解析法

（1）力在直角坐標(biāo)系上的投影和力沿軸的分解

力在直角坐標(biāo)系下的投影

（2）平面匯交力系合成的解析法

平面匯交力系合成

（3）平面匯交力系平衡的解析條件（平衡方程）

平衡方程

例題

平面匯交力系平衡解析條件的應(yīng)用

3.3 平面力對(duì)點(diǎn)的矩和平面力偶

（1）平面力對(duì)點(diǎn)的矩

平面力對(duì)點(diǎn)的矩

力F使物體繞O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)效果，完全由兩個(gè)要素決定：

• 大小：力F與力臂h的乘積
• 轉(zhuǎn)向：使物體繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)方向
  
  平面力對(duì)點(diǎn)之矩是一個(gè)代數(shù)量，絕對(duì)值等于力的大小與力臂的乘積，它的正負(fù)：力使物體繞矩心逆時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)為正，反之為負(fù)。

（2）合力矩定理與力的解析表達(dá)式

合力矩定理：平面匯交力系的合力對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩等于各分力對(duì)該點(diǎn)的矩的代數(shù)和。

該結(jié)論適用于任何存在合力的力系
力矩的解析表達(dá)式：

力矩解析表達(dá)式

（3）力偶

由兩個(gè)大小相等（等值）、方向相反（反向）、不共線（平行）的力組成的力系稱為力偶，記作

l力偶

（4）力偶矩

力偶矩是力偶使物體轉(zhuǎn)動(dòng)效果的度量。
平面力偶矩也是一個(gè)代數(shù)量，其絕對(duì)值等于力的大小與力偶臂的乘積，正負(fù)號(hào)表示力偶的轉(zhuǎn)向：一般以逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎槙r(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)樨?fù)。

image.png

（5）同平面內(nèi)力偶的等效定理

定理：在同一平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，如果力偶矩相等，則兩力偶彼此相等。
推論（1）：力偶可在其作用面內(nèi)任意轉(zhuǎn)移，而不改變它對(duì)剛體的作用。力偶對(duì)剛體的作用與力偶在平面內(nèi)的位置無(wú)關(guān)。
推論（2）：只要保持力偶矩的大小與力偶的轉(zhuǎn)向不變，可以同時(shí)改變力偶中力的大小和力偶臂的長(zhǎng)短，對(duì)剛體的作用效果不變。

力偶矩作用

3.4 平面力偶系的合成與平衡條件

（1）平面力偶系的合成

平面力偶系合成

（2） 平面力偶系平衡的充要條件

平面力偶系平衡條件

例題：

平面力偶系平衡例題

四、平面任意力系

4.1 平面任意力系的簡(jiǎn)化

（1）力的平移定理

力的平移定理

（2）平面任意力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡(jiǎn)化——主矢和主矩

平面任意力系簡(jiǎn)化過(guò)程

主矢與主矩

主矢與主矩是平面任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化的兩個(gè)特征量，可以等效替換一個(gè)任意力系

平面任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化的應(yīng)用：平面固定端約束，它既限制了物體的移動(dòng)，也限制了物體在平面內(nèi)的轉(zhuǎn)動(dòng)，可以利用平面任意力系的簡(jiǎn)化理論對(duì)這類問(wèn)題進(jìn)行求解。

固定端約束力系簡(jiǎn)化

固定端約束力系看做平面任意力系，可簡(jiǎn)化為作用于A點(diǎn)的力與力矩，其中力進(jìn)行正交分解。這與固定鉸鏈支座約束是不同的，多了一個(gè)限制物體轉(zhuǎn)動(dòng)的力偶。

4.2 平面任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化的結(jié)果分析

（1）簡(jiǎn)化為合力偶

力偶系

（2）簡(jiǎn)化為作用線過(guò)簡(jiǎn)化中心的合力

合力系

（3）簡(jiǎn)化為作用線不過(guò)簡(jiǎn)化中心的合力

（4）平衡

平衡

4.3 平面力系的平衡條件和平衡方程

（1）平面任意力系的平衡方程

平面任意力系平衡方程一般式

平面任意力系平衡方程二矩式

平面任意力系平衡方程三矩式

（2）平面平行力系的平衡方程

平面匯交力系與平面力偶系都是平面任意力系的特殊情況。

平面平行力系平衡方程兩種形式

例題1

平衡方程一般式例題

例題2

關(guān)鍵點(diǎn)：線性分布載荷簡(jiǎn)化為集中載荷（集中載荷大小與作用點(diǎn)，利用力矩等效）；平面固定端約束等效為正交約束力與力偶矩。

五、物體系的平衡、靜定和超靜定問(wèn)題

5.1 物體系的平衡、靜定和超靜定的概念

（1）靜定、超靜定

靜定、超靜定問(wèn)題的提出

靜定問(wèn)題：

未知量的數(shù)目等于獨(dú)立的平衡方程數(shù)目時(shí)，全部未知量均可以求出，這樣的問(wèn)題稱為靜定問(wèn)題。可以通過(guò)理論力學(xué)求解

超靜定問(wèn)題

未知量的數(shù)目超過(guò)了獨(dú)立平衡方程數(shù)目時(shí)，未知量不可以全部求出，這樣的問(wèn)題稱為超靜定（靜不定）問(wèn)題。利用理論力學(xué)知識(shí)無(wú)法求解，超靜定問(wèn)題是由于物體超出了剛體的假設(shè)應(yīng)用范圍，將物體視作變形體，因此基于剛體假設(shè)基礎(chǔ)的理論力學(xué)無(wú)法解決。除了平衡條件外，需要加上變形條件（材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)）。

（2）物體系的平衡問(wèn)題及求解

例題1

先局部后整體法

例題2

先整體后局部法

注意：根據(jù)所求物理量合理選擇直角坐標(biāo)系以及矩心可以簡(jiǎn)化計(jì)算。

5.2 物體系的平衡問(wèn)題練習(xí)

例題3

例題4

例題5

5.3 平面簡(jiǎn)單桁架內(nèi)力計(jì)算

桁架

一種由桿件彼此在兩端用鉸鏈連接而成的結(jié)構(gòu)，它在受力后幾何形狀不變。（實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中，用焊接或鉚接的桿件結(jié)構(gòu)也被稱為桁架）

桁架結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)

• 結(jié)構(gòu)強(qiáng)度大，穩(wěn)定性和可靠性高，每根桿件只承受軸力，不承載彎矩和剪力。
• 重量輕，耗材少，安裝方便。
• 分析、計(jì)算方便，更換部件容易。
• 適用范圍廣，結(jié)構(gòu)靈活多變。
• 工程中被大量、廣泛地使用。

節(jié)點(diǎn)

桁架中桿件的鉸鏈接頭。

關(guān)于平面桁架的假設(shè)：

• 各桿均為直桿，各桿軸線位于同一平面內(nèi)；
• 桿件與桿件間均用光滑鉸鏈連接；
• 載荷作用在節(jié)點(diǎn)上，且位于桁架幾何平面內(nèi)；
• 各桿件自重不計(jì)或平均分布在節(jié)點(diǎn)上。
  ——>這種桁架稱為理想桁架，桁架中每根桿件均為二力桿，桁架中所有力構(gòu)成的力系是一個(gè)平面任意力系。
  
  平面桁架結(jié)構(gòu)

平面桁架結(jié)構(gòu)中桿與節(jié)點(diǎn)的數(shù)量關(guān)系

不同桁架桿與節(jié)點(diǎn)關(guān)系

計(jì)算桁架桿件內(nèi)力的方法

（1）節(jié)點(diǎn)法

逐個(gè)取節(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，由已知力（主動(dòng)力以及以桁架整體為研究對(duì)象時(shí)求出的約束力）求出全部未知的桿件內(nèi)力。

節(jié)點(diǎn)法

（2）截面法

如只想計(jì)算某幾個(gè)桿件的內(nèi)力，可選取一適當(dāng)截面，假想地把桁架截開(kāi)，考慮任何一部分的平衡，可求出這些被截桿件的內(nèi)力

截面法

• 采用截面法時(shí)，選擇適當(dāng)?shù)牧胤匠蹋ㄟx擇多力匯交點(diǎn)），通常可以較快地求得某些制定桿件內(nèi)力。
• 平面任意力系只有三個(gè)獨(dú)立的平衡方程。因此，作截面時(shí)最好只截?cái)嗳鶅?nèi)力未知的桿。
• 當(dāng)要求內(nèi)力的桿件數(shù)大于3時(shí)，可以先采取截面法計(jì)算其中某幾根的內(nèi)力，然后采取節(jié)點(diǎn)法計(jì)算相鄰桿件的內(nèi)力。

十、靜力學(xué)總結(jié)

平面靜力學(xué)

空間靜力學(xué)