本章涉及知識(shí)點(diǎn)
1、前言
2、質(zhì)量的定義
3、能量的定義
4、經(jīng)典力學(xué)—?jiǎng)幽芏ɡ淼臄?shù)學(xué)推導(dǎo)
5、狹義相對(duì)論—質(zhì)能方程的數(shù)學(xué)推導(dǎo)
6、質(zhì)能方程的物理意義
7、質(zhì)能方程從狹義相對(duì)論回到經(jīng)典力學(xué)
8、案例解析
一、前言
繼寫(xiě)完《狹義相對(duì)論的數(shù)學(xué)推導(dǎo)》和《狹義相對(duì)論的兩個(gè)時(shí)空效應(yīng)》兩篇文章后，一直想把愛(ài)因斯坦留給后人在其狹義相對(duì)論里最著名的質(zhì)能方程也做一個(gè)推導(dǎo)
在經(jīng)典力學(xué)的世界觀中，物體的能量和質(zhì)量是兩個(gè)完全不同的概念；而在狹義相對(duì)論的世界觀中，愛(ài)因斯坦將能量的概念做了推廣并得出了質(zhì)量和能量準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)關(guān)系—質(zhì)能方程
二、質(zhì)量的定義
考慮如下實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景：
我們用同樣大小的力F施加到兩個(gè)不同的靜止物體m1和m2上，目的是使得這兩個(gè)物體達(dá)到相同的加速度a，花費(fèi)的時(shí)間也就不同，顯然，由于物體初始狀態(tài)都是靜止的，耗時(shí)較長(zhǎng)的物體表明它具有較大的慣性；而耗時(shí)較少的物體表明它具有較小的慣性
由于在相同力的作用下，根據(jù)牛頓第二定律
物體的加速度和它的質(zhì)量成正比，因此可以得出：物體的質(zhì)量可以度量物體的慣性，即
（1）質(zhì)量用來(lái)描述物體慣性大小的物理量
（2）質(zhì)量決定受力物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化的難易程度
三、能量的定義
在物質(zhì)的一切物理屬性中，運(yùn)動(dòng)是其最基本的屬性，世間萬(wàn)物均在不停運(yùn)動(dòng)（包括宏觀世界里的人，或微觀世界里的電子），例如星球的公轉(zhuǎn)周期、火車(chē)的行使速度、雨滴的下落距離、風(fēng)車(chē)的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率、電子的自旋特征等，這些所有物質(zhì)的不同物理屬性，都可以用運(yùn)動(dòng)來(lái)具體表示
物質(zhì)因其運(yùn)動(dòng)而有了能量，即
（1）能量是物質(zhì)運(yùn)動(dòng)所轉(zhuǎn)換的量度
（2）能量是表征物理系統(tǒng)做功的本領(lǐng)
能量的形式包括：力學(xué)的動(dòng)能、勢(shì)能、重力勢(shì)能、彈性勢(shì)能、引力勢(shì)能、化學(xué)能、熱能、電能、核能等
四、經(jīng)典力學(xué)—?jiǎng)幽芏ɡ淼臄?shù)學(xué)推導(dǎo)
動(dòng)能屬于能量的一種，指物體因運(yùn)動(dòng)而所具有的能量
我們考慮其一般形式，一個(gè)物體在合外力F的作用下，從靜止?fàn)顟B(tài)運(yùn)動(dòng)到速度達(dá)到v的這個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其動(dòng)能Ek的表達(dá)式寫(xiě)為：
我們將合外力F和位移的微元dx均寫(xiě)為速度v的形式，且在經(jīng)典力學(xué)中，物體的質(zhì)量m是一個(gè)常量，即可推導(dǎo)出動(dòng)能定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：
動(dòng)能定理適用于恒力、變力、分段、全程做功等，可以用來(lái)定量的描述物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，合外力F因運(yùn)動(dòng)做功所帶來(lái)的動(dòng)能變化量，但是依舊沒(méi)能描述出能量和質(zhì)量的數(shù)學(xué)關(guān)系，這二者在經(jīng)典力學(xué)里還是沒(méi)有關(guān)聯(lián)
五、狹義相對(duì)論—質(zhì)能方程的數(shù)學(xué)推導(dǎo)
接下來(lái)我們從狹義相對(duì)論的世界觀里，來(lái)尋找能量和質(zhì)量的數(shù)學(xué)關(guān)系，仍然從動(dòng)能的基本表達(dá)式出發(fā)
這里我們將合外力F寫(xiě)為動(dòng)量P對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，即
位移dx寫(xiě)為速度v的形式，即
將上面兩個(gè)式子帶入動(dòng)能的表達(dá)式，得
這里速度v和動(dòng)量P都是變量，由分部積分法，得
由狹義相對(duì)論知識(shí)，物體運(yùn)動(dòng)的質(zhì)量m和其靜止的質(zhì)量m0之間的關(guān)系為
結(jié)合動(dòng)量P的定義為
將P帶入動(dòng)能的表達(dá)式，得
上述表達(dá)式里定積分的函數(shù)原型為
帶入求解定積分原型，得
而上述表達(dá)式的第一項(xiàng)，就完整包含了狹義相對(duì)論中物體運(yùn)動(dòng)中的質(zhì)量表達(dá)式，則上述方程寫(xiě)為
至此我們得到了在狹義相對(duì)論的世界觀中，動(dòng)能Ek的數(shù)學(xué)表達(dá)式
因?yàn)樵讵M義相對(duì)論世界觀里，一切物理屬性具有相對(duì)性效應(yīng)，所以物體靜止時(shí)也具有能量，我們稱(chēng)之為靜能，其表達(dá)式E0為
我們?cè)O(shè)E來(lái)表示物體在運(yùn)動(dòng)總過(guò)程里所具有的的總能量，則E的表達(dá)式為其靜能和動(dòng)能之和，即
至此，我們就得到了物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，總能量E和質(zhì)量m的關(guān)系—質(zhì)能方程
六、質(zhì)能方程的物理意義
由上述推導(dǎo)出的質(zhì)能方程表達(dá)式，我們可以看到
（1）在狹義相對(duì)論中，能量和質(zhì)量有了確定的數(shù)學(xué)關(guān)系
（2）靜止的物體，也具備其固有的能量（靜能）
（3）質(zhì)量可以轉(zhuǎn)化為純能量
其中第三點(diǎn)，我們可以計(jì)算出，每一千克的質(zhì)量，就可以釋放出9×10^16焦耳的能量，相當(dāng)于2100萬(wàn)噸的TNT爆炸所釋放出的能量
質(zhì)能方程可以通過(guò)測(cè)量不同原子核的質(zhì)量，估算出原子核所包含的結(jié)合能的能量值，即側(cè)面有效的估算出了輕核的核聚變和重核的核裂變所釋放的結(jié)合能，可見(jiàn)質(zhì)能方程對(duì)原子彈的發(fā)展起到至關(guān)重要的作用！
七、質(zhì)能方程從狹義相對(duì)論回到經(jīng)典力學(xué)
接下來(lái)我們來(lái)證明，在經(jīng)典力學(xué)的世界觀里，從狹義相對(duì)論推導(dǎo)出的質(zhì)能方程仍然適用
在經(jīng)典力學(xué)里，有
由于在經(jīng)典力學(xué)里，質(zhì)量是一個(gè)常量，與物體是否運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)，則我們從質(zhì)能方程的動(dòng)能表達(dá)式里，沒(méi)有化簡(jiǎn)出運(yùn)動(dòng)質(zhì)量的表達(dá)式出發(fā)，即
我們將上式改寫(xiě)為
觀察上式，存在一個(gè)冪次項(xiàng)
由于冪次項(xiàng)很難計(jì)算，因此我們用多項(xiàng)式擬合函數(shù)的知識(shí)，構(gòu)造這個(gè)冪次項(xiàng)的冪函數(shù)原型為
我們對(duì)f(x)進(jìn)行在零點(diǎn)的泰勒展開(kāi)，得
可以看到f(x)屬于遞增函數(shù)，我們將a=-1/2, x=-v^2/c^2帶入，得
我們?nèi)《囗?xiàng)式的前兩項(xiàng)來(lái)近似這個(gè)冪次項(xiàng)結(jié)果，即
將冪次項(xiàng)的近似值帶入動(dòng)能的表達(dá)式，得
這正是經(jīng)典力學(xué)中的動(dòng)能表達(dá)式，至此，我們可以看出：
經(jīng)典力學(xué)是相對(duì)論在低速情況下的近似表現(xiàn)
八、案例解析
最后我們來(lái)看一個(gè)案例
太陽(yáng)內(nèi)部持續(xù)不斷地發(fā)生著四個(gè)質(zhì)子（氫核）聚變一個(gè)α粒子，同時(shí)發(fā)射兩個(gè)正電子和兩個(gè)沒(méi)有靜止質(zhì)量的中微子的核反應(yīng)，這個(gè)核反應(yīng)釋放出的大量能量就是太陽(yáng)的能源，已知：mp＝1.0073u，mα＝4.0015u，me＝0.00055u，求：
（1）太陽(yáng)每一次聚變所釋放的能量？
（2）已知太陽(yáng)每秒釋放能量為3.8×10^26J，則太陽(yáng)每秒減少的質(zhì)量為多少千克？
解(1)：
一個(gè)原子的單位質(zhì)量為碳12原子質(zhì)量的1/12，用u來(lái)表示，即
則根據(jù)質(zhì)能方程，1u釋放的能量為
將其化為MeV為單位，即
則太陽(yáng)每一次核反應(yīng)的質(zhì)量虧損為
由質(zhì)能方程計(jì)算出太陽(yáng)每一次聚變所釋放的能量為
解(2)：
由質(zhì)能方程計(jì)算出太陽(yáng)每一秒減少的質(zhì)量為
