自然變換將定義在兩個范疇間的一個函子變?yōu)榱硪粋€函子，因為函子本身是將一個范疇中的對象和箭頭映到另一個范疇中的對象和箭頭，所以對于不同的函子而言，區(qū)別只體現(xiàn)在范疇的像，也就是陪域范疇中的對象和箭頭。所以自然變換形式上就是陪域范疇中的箭頭。

也就是說給出函子F:C→D,G:C→D,對于范疇C中的任意對象A，在范疇D中有兩個像，F(xiàn)A,GA,分別通過這兩個范疇映射而來。那么如果給出自然變換θ:F→G，對對象A而言，其內(nèi)容就是θA:FA→GA。對于箭頭可以類似定義f→Ff,f→Gf，θf:Ff→Gf。

自然變換相比于普通的函子間映射而言，有一個獨特的性質(zhì)，自然性。也就是說，對于所有的對象而言，這樣的映射是統(tǒng)一的，自然的，沒有哪一個對象是特殊的。

具體形式是，對任意的箭頭Ff:FA→FB，Gf:GA→GB有GfоθA=θBоFf。

也就是下圖

這種自然性說明了這個映射是關(guān)乎于結(jié)構(gòu)的，而不是具體的對象和箭頭。是框架而不是內(nèi)容。所以有著更好的通用性，能反映出本質(zhì)的東西。

與自然變換關(guān)聯(lián)的重要定義就是自然同構(gòu)，自然同構(gòu)給一些抽象概念賦予了具體的構(gòu)造，從文字性的描述變成了具體可行的構(gòu)造方法。應(yīng)該算得上是一種進(jìn)步。

比如上圖，就通過自然同構(gòu)對遺忘函子，冪集函子，超濾函子進(jìn)行了具體的箭頭集構(gòu)造。這種構(gòu)造真的稱不上是簡單，或許更難理解了。

比如第一個構(gòu)造，就是源對象發(fā)出的箭頭，自然是一個元素唯一對應(yīng)一個箭頭，這樣的箭頭集顯然與群的元素集同構(gòu)，群的元素集就是通過遺忘函子得到的群的基礎(chǔ)集。

第二個構(gòu)造，其實就是將集合元素的屬于關(guān)系通過雙元素集來表示，對于集合中任意的元素，映到1就代表屬于，映到0就代表不屬于，于是1的逆像其實就是集合的子集，于是，每一個不同的箭頭對應(yīng)了集合的不同的子集，所有的這些子集就是集合的冪集。同樣實現(xiàn)了箭頭與冪集元素的一一對應(yīng)。

最后一個是布爾代數(shù)中的超濾，其實就類似于環(huán)中的極大理想，濾子與理想，主濾子與主理想，超濾與極大理想，非常類似。具體的就不展開了，比較一般見不著也用不上。