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總體來看，整個章節(jié)的脈絡(luò)可以這么看

整除部分脈絡(luò).png

為了節(jié)省時間，也為了簡潔性，就在這里大概的講一講。
(前置條件從略)

第一層知識

(1) $(歐式除法): \forall a,b,r \in N^+,(a,b \neq 1), \quad , \exists q \in N, 有唯一的a=q*b+r, \ r \in [0,b)$
$若r=0,則稱b整除a,記作b|a$
$其中q稱作不完全商,r稱作余數(shù)$

以下給出整除的幾個簡單性質(zhì)，傳遞性，線性穩(wěn)定性以及相等

$若c|b, b|a,則c|a \ [傳遞性]$
$若c|a, c|b,則\forall s,t \in Z,\ c|(sa+tb) \quad [線性穩(wěn)定性]$
$若a|b, b|a,則 \ a= \pm b [這里采用國內(nèi)的素數(shù)域拓展到負數(shù)，潘承洞書中拓展了，不影響整體]$
$以上證明從略，2可以通過證明c|ka 和c|a+b推出$

第二層知識&部分第三、四層知識

(2) $素數(shù)，素因子[包含篩法和算數(shù)基本定理以及有關(guān)階乘的整除判定]$

$素數(shù)(采用正素數(shù)定義):因子只有自身和1$
$素因子: 整數(shù)的素數(shù)因子$
$素數(shù)基本定理: 所有整數(shù)都可以寫做素數(shù)和1的乘積，簡單證明，合數(shù)會分解為素數(shù)或是更小的合數(shù),$
$不斷分解，直至分解為素數(shù)乘積。$

幾個關(guān)于素數(shù)的簡單知識點

$整數(shù)都可以表示為qb+r的形式，類似一個余數(shù)系$
$若n為一個正合數(shù),p為n的非1最小因數(shù),則p為素數(shù),且p \leq \sqrt{n}$
關(guān)于這點的證明: $p*p \leq n=p* \frac{n}{p} , 且若p不為素數(shù)，則p可分為素數(shù)與1的乘積$
這一定理確定了排除合數(shù)的方法，即排除能被小于 $\sqrt{n}$ 的非1因子整除的數(shù)
$若一個數(shù)n不能被所有小于\sqrt{n}的非1正因子整除，則n為素數(shù)$
$由上式可推出平凡篩法，即去除\sqrt{N} 范圍內(nèi)所有素數(shù)的倍數(shù)，即可得出規(guī)模為N的素數(shù)表$
$素數(shù)的個數(shù)為無窮個，證明很多，其中歐幾里得的證明非常巧妙，可以假設(shè)素數(shù)有限，$
$并假設(shè)素數(shù)列為p_1p_2...p_n,設(shè)N=\prod_{i=1}^{n}{p_i},利用N+1來證明矛盾$
$利用數(shù)都可以用qb+r來表示，可以證明大于5的素數(shù)都分布在6N\pm1上，類似的也可以推出其它的表達$

素數(shù)基本定理的數(shù)學(xué)表達

$\forall n>1(n \in Z), \exists p_i \in Primes: \ n= p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}...p_s^{\alpha_s}$

(3) $最大公因數(shù)\&最小公倍數(shù)$
$\forall a,b\in Z的最大公因數(shù)記作gcd(a,b)或是(a,b)$
$\forall a,b\in Z的最小公倍數(shù)記作[a,b]$

(重點)互素:

$\forall a,b\in N^+, 若 \ gcd(a,b)=1,a,b互素$

從這里會開始建立一個有關(guān)整除和公因數(shù)的體系，請注意

$T1:已知a=qb+r,(a,b)=(b,r)$
$證明 : let \ d|a, d|b,a=qb+r$
$\qquad then \qquad d|a+(-q)*b$
$\qquad \therefore d|r$
$\qquad let \ d=gcd(a,b)\ , d'=gcd(b,r)$
$\qquad d'\leq d$
$\qquad \therefore d=gcd(b,r)$
$\qquad \therefore (a,b)=(b,r)$
前置:最大公因數(shù)大于等于所有因數(shù)，這是最基本的，也是常用的
$T2:當T1不斷進行時,r是單減的，有限步內(nèi)r=0,(b,r)=(r,0),則此時最小的非0的r就是最大公因數(shù)$
這個就是輾轉(zhuǎn)相除法的基本方法
$T3:很顯然的gcd(a,b)|(sa+tb),進一步的\exists s,t\in Z使得gcd(a,b)=sa+tb$
$這是顯然的,記gcd(a,b)為d,將a,b分別寫做k_1*d,k_2*d$
$這就是解一個s*k_1+t*k_2=1的不定方程，恒有整數(shù)解,這個會在后面討論證法$
$這個式子被稱作貝祖等式，提示,可以先把k_1,k_2轉(zhuǎn)化為互素的形式$

前面是如何求最大公因數(shù)，以及最大公因數(shù)與原數(shù)的關(guān)系，以下則轉(zhuǎn)向?qū)驍?shù)與整除的關(guān)系

$T4: 最大公因數(shù)的充要條件與性質(zhì)$
$(1) d|a \ , d|b$
$(2) \forall \ d'|a \ d'|b,有d'|d$
證明可以通過素數(shù)分解來得到,最大公因數(shù)d其實就是共有素數(shù)的全部的冪次乘積，而公因數(shù)d'則是共有素數(shù)的冪次乘積

$T5:互素整數(shù)的構(gòu)造$
$( \frac{a}{gcd(a,b)},\frac{gcd(a,b)})=1$
可用素數(shù)因數(shù)分解來證明
$T6:(m*b,m*b)=m*(a,b)$
也可用素數(shù)因數(shù)分解來證明，左右兩端同乘m即可
$T7: 一個小例子c \neq 0 ,若c|ab \ ,(a,c)=1 ,則c|b$
$這實際上就是c的素數(shù)列必須包含于b中,互素的本質(zhì)就是無公共素數(shù)列$
一個小的建議，將所有數(shù)拆分為素數(shù)列乘積，可以很清楚的分析整除的情況