2019-02-25

第三講：自然坐標(biāo)系下曲線運(yùn)動(dòng)的加速度

—— 以圓周運(yùn)動(dòng)為例

數(shù)學(xué)符號(hào)

\vec{e}_n, \vec{e}_{t}, \frac{x}{y}, \sqrt{x}

對應(yīng)的代碼為
$\vec{e}_n$, $\vec{e}_{t}$, $\frac{x}{y}$, $\sqrt{x}$

知識(shí)點(diǎn)

  • 曲線運(yùn)動(dòng)的加速度\vec{a}?

    • 自然坐標(biāo)系， \vec{e}_n，\vec{e}_{t}

    • 勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度，向心加速度 a_n=\frac{v^2}{R}

      • 寫成矢量式 \vec{a}_n=\frac{v^2}{R}\vec{e}_n

    • 直線運(yùn)動(dòng)的加速度，切向加速度 a_t=\frac{dv}{dt}?

      • 寫成矢量式 \vec{a}_t=\frac{dv}{dt}?\vec{e}_t

    • 變速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度

      • \vec{a}=\frac{v^2}{R}\vec{e}_n+\frac{dv}{dt}?\vec{e}_t?

    • 一般曲線運(yùn)動(dòng)的加速度
      -\vec{a}=\frac{v^2}{\rho}\vec{e}_n+\frac{dv}{dt}?\vec{e}_t?

    • 曲率半徑的直觀感受

    • 計(jì)算曲率半徑

例題

  • 例1.

    曲線運(yùn)動(dòng)中，加速度經(jīng)常按切向\vec{e}_{t}和法向\vec{e}_{n}進(jìn)行分解：

    \vec{a}=\vec{a}_{t}+\vec{a}_{n}?=\frac{dv}{dt}\vec{e}_{t}+\frac{v^{2}}{R}\vec{e}_{n}?

    借助熟悉的例子來構(gòu)建其直觀物理圖像，有助于理解并記憶這些復(fù)雜的公式。

    • 在彎曲的軌道上勻速率行駛的火車，
      (1) \vec{a}_{t}\neq0，
      (2) \vec{a}_{t}=0，

    • 在直線上加速跑向食堂的小伙伴，
      (3) \vec{a}_{t}\neq0，
      (4) \vec{a}_{t}=0，

    • 變速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，
      (5) \vec{a}_{t}\neq0，\vec{a}_{n}=0。
      (6) \vec{a}_{t}\neq0，a_{n}=\frac{v^{2}}{R} (不就是高中學(xué)過的向心加速度嘛)

      上述判斷正確的為

解答：(2) (3) (6)

  • 例2.

    一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),則

    • 切向加速度一定改變, 法向加速度也改變
    • 切向加速度可能不變, 法向加速度一定改變
    • 切向加速度可能不變, 法向加速度不變
    • 切向加速度一定改變, 法向加速度不變

解答：B

  • 例3.

    物體作斜拋運(yùn)動(dòng)，初速度大小為v_{0}，且速度方向與水平前方夾角為\theta，則物體軌道最高點(diǎn)處的曲率半徑為( )。

解答：

圖片發(fā)自簡書App

當(dāng)軌跡運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)有a_{n}=g
因 a_{n}=\frac{v^2}{\rho}, v=v_{0}\cos{\theta}
所以\rho=\frac{(v_{0}\cos{\theta})^2}{g},

  • 例4.

    質(zhì)點(diǎn)在Oxy 平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為\vec{r}=t\ \vec{i}+\frac{1}{2}t^{2}\ \vec{j}．則在t=1 時(shí)切向和法向加速度分別為( )

解答：加速度為a=|\frac{d\vec{r}}{dt^2}|=1m/s^2，
速率為v=|\frac{d\vec{r}}{dt}|，
切向加速度為a_n=|\frac{dv}{dt}|= \frac{\sqrt{2}}{2}m/s^2，
因a=\sqrt{a_n^2+a_t^2}，
發(fā)向加速度為a_t=\frac{\sqrt{2}}{2}m/s^2

作業(yè)

  • 質(zhì)點(diǎn)在Oxy 平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)方程為\vec{r}=3t\ \vec{i}+(1-t^{2})\ \vec{j}．則在t_{1}=1 到t_{2}=5 時(shí)間內(nèi)的平均速度為

解答：1s時(shí)位矢\vec{r_1}=3\vec{i}，
5s時(shí)位矢\vec{r_2}=15\vec{i}-9\vec{j}
平均速率\vec{v}=|\frac{\vec{r_2}-\vec{r_1}}{t_2-t_1}|=3.75m/s

  • 設(shè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為 \vec{r}=R\cos{\omega t} \vec{i}+R\sin\omega t\ \vec{j} (式中R、\omega皆為常量) 則質(zhì)點(diǎn)的速度和速率分別為

解答:質(zhì)點(diǎn)的速度為\vec{v}=\omega R\cos{\omega t}\vec{j}+\omega R\sin\omega t\vec{i}
質(zhì)點(diǎn)的速率為v=\sqrt{(\omega R\cos{\omega t})^2+(\omega R\sin\omega t)^2}

運(yùn)動(dòng)學(xué)的一個(gè)核心問題是已知運(yùn)動(dòng)方程，求速度和加速度。質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為
\begin{cases} x=-10t+30t^{2} & ,\\ y=15t-20t^{2} & , \end{cases}
則t時(shí)刻的速度與速率

解答：
t時(shí)刻水平速率為v_{1}=-10+60t,
t時(shí)刻豎直速率為v_{2}=15-40t,
t時(shí)刻速度為\vec{v}=(-10+60t)\vec{i}+(15-40t)\vec{j}
t時(shí)刻速率為v=\sqrt{v_{1}^2+v_2^2}

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