知識(shí)點(diǎn)
- 構(gòu)建了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，特例與推廣之間的關(guān)系
- 注意極值的定義
- 若函數(shù)可導(dǎo)，則極值點(diǎn)→駐點(diǎn)
- 若函數(shù)不一定可導(dǎo)，則極值點(diǎn)與駐點(diǎn)無(wú)關(guān)系
- 只有導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)才是可能的極值點(diǎn)
- 第三充分條件可通過(guò)，皮亞諾余項(xiàng)泰勒公式和極值定義證明
- 凸凹性就是切線與弦的關(guān)系
- 二階導(dǎo)數(shù)變號(hào)
- 二階導(dǎo)為0且三階導(dǎo)不為0，或者奇數(shù)階導(dǎo)為0（類比極值點(diǎn)第三充分條件），或者二階不可導(dǎo)的點(diǎn)
題型
- 偶函數(shù)
- 隱函數(shù)求二階導(dǎo)時(shí)，注意一階導(dǎo)在該點(diǎn)若為0，那么一階導(dǎo)為系數(shù)的項(xiàng)，則不用完全求導(dǎo)，其他提前得了0的項(xiàng)也類似，具體見(jiàn)李正元例4.15及其后面的評(píng)注
- 舉例法
- 注意本題是二階連續(xù)導(dǎo)，所以二階導(dǎo)為0，但是去心鄰域內(nèi)大于0
- 二階導(dǎo)連續(xù)
- 經(jīng)典錯(cuò)誤，有二階導(dǎo)，沒(méi)說(shuō)二階導(dǎo)是否連續(xù)，只能用一次洛必達(dá)
- 利用保號(hào)性，分別討論
,
的情況，確定
在鄰域內(nèi)的大小關(guān)系，根據(jù)極值定義即可得出結(jié)果
-
，可導(dǎo)-可導(dǎo)=可導(dǎo)，所以
三階可導(dǎo)
- n為奇數(shù)，導(dǎo)數(shù)不為0是拐點(diǎn)，偶數(shù)不為0是極值點(diǎn)
- 注意
與
的關(guān)系，然后再通過(guò)
- 求極限的功夫要過(guò)關(guān)
- 斜漸近線另一種求法，把原函數(shù)改寫(xiě)成
，（
時(shí)，
），則
就是斜漸近線
- 用一步泰勒公式
- 注意
的無(wú)窮次方要分正負(fù)?。?！
- 偶函數(shù)，對(duì)稱美！所以漸近線也是對(duì)稱的
-
的無(wú)窮次方也要注意正負(fù)?。?！
- 羅爾定理推論，直接用
假設(shè)有
個(gè)零點(diǎn)，則反復(fù)使用羅爾定理可得出，
階導(dǎo)數(shù)有一個(gè)0點(diǎn)，與條件矛盾
- 零點(diǎn)定理：①連續(xù)②異號(hào)
- 羅爾定理：要找個(gè)原函數(shù)（閉區(qū)間連續(xù)，開(kāi)區(qū)間可導(dǎo)，端點(diǎn)值相等）
- 羅爾定理
- 對(duì)數(shù)比冪函數(shù)趨近0的速度快（見(jiàn)李正元例1.37）
-
區(qū)間
比
- 注意找好判定正負(fù)的點(diǎn)
羅爾定理推論
根據(jù)極值的定義，端點(diǎn)不可能是極值點(diǎn)！
- 羅爾定理推論
- 用反證法也可，假設(shè)還有個(gè)零點(diǎn)，則兩個(gè)零點(diǎn)之間存在導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，與條件矛盾
- 用拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式證有一個(gè)點(diǎn)的值小于0（在題目給出信息最多的點(diǎn)展開(kāi)）
- 拉格朗日中值定理
- 李正元例4.23
- 泰勒公式
- 拉格朗日
- 唯一極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)
- 凹凸性，切線與割線的關(guān)系
- 凹凸性
羅爾定理
-
同號(hào)所以
不可能是0
分析法
微分方程法
- 可用拉格朗日或者羅爾定理
-
，令
- 利用積分中值定理再找個(gè)零點(diǎn)
- 第一步的分段構(gòu)造函數(shù)方法類似李正元例4.34
-
，令
- 方法+規(guī)律
拉格朗日中值定理、柯西中值定理
- 注意第一問(wèn)的結(jié)論
- 根據(jù)逆推法分析出分界點(diǎn)，且保證分界點(diǎn)是存在的
- 互不相同很重要?。?！相同就變成簡(jiǎn)單題了
直接證第二問(wèn)？
分析出分界點(diǎn)
泰勒中值定理
- 套個(gè)絕對(duì)值，取兩個(gè)
中大的那個(gè)，放大一次，
- 提供信息一樣多，就選有導(dǎo)數(shù)值的那個(gè)點(diǎn)
