6、頻率域?yàn)V波

1、基礎(chǔ)

  • 卷積定理
    f(x,y)★h(h,y)\Leftrightarrow H(u,v)F(u,v)
    f(x,y)h(h,y) \Leftrightarrow H(u,v)*F(u,v)

  • 折疊誤差補(bǔ)零

當(dāng)處理DFT時(shí)，圖像及其變換是周期的。在周期接近函數(shù)非零部分的持續(xù)周期時(shí)，對(duì)周期函數(shù)進(jìn)行卷積會(huì)引起相鄰周期的串?dāng)_。
這種稱為 折疊誤差 的串?dāng)_可通過(guò)補(bǔ)零方法來(lái)避免。

假設(shè)函數(shù) f(x,y) 和 h(x,y) 的大小分別為 A x B 和 C x D。通過(guò)對(duì) f 和 g 補(bǔ)零，構(gòu)造兩個(gè)大小均為 P x Q 的擴(kuò)展函數(shù)。
按如下方式進(jìn)行選擇可以避免折疊誤差：

P \ge A+C-1,\\Q \ge B+D-1

下面 paddedsize 的函數(shù)可以滿足上面等式的 P 和 Q 的最小偶數(shù)值。

function PQ = paddedsize(AB, CD, PARAM)
if nargin == 1
    PQ = 2*AB;
elseif nargin == 2 && -ischar(CD)
    PQ = AB + CD - 1;
    PQ = 2 * ceil(PQ / 2);
elseif nargin == 2
    m = max(AB);
    P = 2^nextpow2(2*m);
    PQ = [P, P];
elseif (nargin == 3) && strcmp(PARAM, 'pwr2')
    m = max([AB CD]);
    P = 2^nextpow2(2*m);
    PQ = [P, P];
else
    error('Wrong number of inputs.')
end

示例

[f, revertcalss] = tofloat(f);
sig = 10;
PQ = paddedsize(size(f));
Fp = fft2(f, PQ(1), PQ(2));
Hp = lpfilter('gaussian', PQ(1), PQ(2), 2*sig); %濾波器大小是未填充時(shí)的兩倍
Gp = Hp .* Fp;
gp = ifft2(Gp);
gpc = gp(1:size(f, 1), 1:size(f, 2));
gpc = revertcalss(gpc);
imshow(gp)


2、DFT 濾波的基本步驟

1、使用函數(shù) tofloat 把輸入圖像轉(zhuǎn)換為浮點(diǎn)圖像：

[f, revertclass] = tofloat(f);

2、使用函數(shù) paddedsize 獲得填充參數(shù)：

PQ = paddedsize(size(f));

3、得到有填充圖像的傅里葉變換：

F = fft2(f, PQ(1), PQ(2));

4、生成一個(gè)大小為 PQ(1) * PQ(2) 的濾波器函數(shù)。如果它是居中的，使用前要令 H = ifftshift(H)。
5、使用濾波器乘以該變換：

G = H .* F;

6、獲得G的IFFT：

g = ifft2(G);

7、將左上部的矩形修剪為原始大?。?/p> 

g = g(1:size(f, 1), 1:size(f, 2));

8、需要時(shí)，將濾波后的圖像轉(zhuǎn)換為輸入圖像的類(lèi)：

g = revertclass(g);
  • 用于頻率域?yàn)V波的M函數(shù)
function g = dftfilt(f, H, classout)
[f, revertcalss] = tofloat(f);

F = fft2(f, size(H, 1), size(H, 2))
g = ifft2(H .* F);
g = g(1:size(f, 1), 1:size(f, 2));

if nargin == 2 || strcmp(classout, 'original')
    g = revertcalss(g);
elseif strcmp(classout, 'fltpoint')
    return
else
    error('Undefined class fot the output image.')
end


3、從空間濾波器獲得頻域?yàn)V波器

通常當(dāng)濾波器較小時(shí)，在計(jì)算上空間濾波要比頻率域?yàn)V波更有效率。
當(dāng)濾波器大約有 32 個(gè)或更多元素時(shí)，使用 FFT 算法的濾波處理要比空間實(shí)現(xiàn)快。

函數(shù) freqz2 可以將空間濾波器轉(zhuǎn)換為頻率域?yàn)V波器

H = freqz2(h, R, C)

示例

h = fspecial('sobel')'
freqz2(h)

% 頻率域?yàn)V波器
PQ = paddedsize(size(f));
H = freqz2(h, PQ(1), PQ(2));
H1 = ifftshift(H)

函數(shù) dftfilt 用于處理頻率域?yàn)V波

gf = dftfilt(f, H1);


4、在頻率域中直接生成濾波器

  • 創(chuàng)建用于實(shí)現(xiàn)頻率域?yàn)V波器的網(wǎng)格數(shù)組
function [U, V] = dftuv(M, N)
u = single(0:(M - 1));
v = single(0:(N - 1));

idx = find(u > M/2);
u(idx) = u(idx) - M;
idy = find(v > N/2);
v(idy) = v(idy) - N;

[V, U] = meshgrid(v, u);

% ----------------------- %
[U, V] = dftuv(8, 5);
DSQ = hypot(U, V)

  • 低通（平滑）頻率域?yàn)V波器

    • 理想低通濾波器（ILPF）
      H(u, v)=\begin{cases} 1,D(u,v)\le D_0\\ 0,D(u,v)\gt D_0 \end{cases}

    • 巴特沃斯低通濾波器（BLPF）
      H(u,v)=\frac{1}{1+[D(u,v)/D_0]^{2n}}

    • 高斯低通濾波器
      H(u,v)=e^{-D^2(u,v)/2D^2_0}

示例，對(duì)圖像 f 應(yīng)用一個(gè)高斯低通濾波器，其中 D0 為所填充圖像寬度的 5%。

[f, revertclass] = tofloat(f);
PQ = paddedsize(size(f));
[U, V] = dftuv(PQ(1), PQ(2));
D = hypot(U, V);
D0 = 0.05 * PQ(2);
F = fft2(f, PQ(1), PQ(2));
H = exp(-(D .^ 2) / (2 * (D0^2)));
g = dftfilt(f, H);
g = revertclass(g)
  • 低通濾波器整合函數(shù)
function H = lpfilter(type, M, N, D0, n)
[U, V] = dftuv(M, N);
D = hypot(U, V);

switch type
case 'ideal'
    H = single(D <= D0);
case 'btw'
    if nargin == 4
        n = 1;
    end
    H = 1 ./ (1 + (D./D0) .^ (2*n));
case 'gaussian'
    H = exp(-(D.^2) ./ (2*(D0^2)));
otherwise
    error('Unknown filter type.')
end


5、繪制線框圖和表面圖

繪制二維函數(shù)的最簡(jiǎn)單方法是使用函數(shù) mesh

mesh(H(1:k:end, 1:k:end))

默認(rèn)繪出彩色網(wǎng)格圖命令為

colormap([0 0 0])

關(guān)閉網(wǎng)格和坐標(biāo)軸命令

grid off
axis off

觀察點(diǎn)由函數(shù) view 控制

view(az, el) %az,el 代表方位角和仰角
view(3) %默認(rèn)觀察點(diǎn)

示例，繪制一個(gè)高斯低通濾波器

H = fftshift(test2('gaussian', 500, 500, 50));
mesh(double(H(1:10:500, 1:10:500)))
axis tight
colormap([0 0 0])
untitled.jpg
  • 表面圖
surf(H)


6、高通（銳化）頻率域?yàn)V波器

  • 理想高通濾波器（IHPF）
    H(u, v)=\begin{cases} 0,D(u,v)\le D_0\\ 1,D(u,v)\gt D_0\\ \end{cases}

  • 巴特沃斯高通濾波器（BHPF）
    H(u,v)=\frac{1}{1+[D_0/D(u,v)]^{2n}}

  • 高斯高通濾波器
    H(u,v)=1 - e^{-D^2(u,v)/2D^2_0}

基于 lpfilter 構(gòu)建一個(gè)高通濾波器函數(shù)

function H = hpfilter(type, M, N, D0, n)
if nargin == 4
    n = 1;
end

H1p = lpfilter(type, M, N, D0, n);
H = 1 - H1p;

% ---------------------------% 
H = fftshift(hpfilter('ideal', 500, 500, 50));

高頻強(qiáng)調(diào)濾波

高通濾波器偏離了直流項(xiàng)，將圖像的平均值降低為0.補(bǔ)償方法之一是給高通濾波器加上一個(gè)偏移量。把偏移量與將濾波器乘以一個(gè)大于1的常數(shù)結(jié)合起來(lái)的方法就稱為 高頻強(qiáng)調(diào)濾波。

H_{HFE}(u, v)=a + bH_{HP}(u, v)

示例，聯(lián)合使用高頻強(qiáng)調(diào)濾波和直方圖均衡

PQ = paddedsize(size(f));
D0 = 0.05 * PQ(1);
HBW = hpfilter('btw', PQ(1), PQ(2), D0, 2);
H = 0.5 + 2*HBW;
gbw = dftfilt(f, HBW, 'fltpoint');
gbw = gscale(gbw);
ghf = dftfilt(f, H, 'fltpoint');
ghf = gscale(ghf);
ghe = histeq(ghf, 256);
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