無窮小量與無窮大量

無窮小量

定義：設(shè)f在 $U^\circ(x_0)$ 上有定義,若 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=0$ ,則稱f為當(dāng) $x\to x_0$ 時(shí)的無窮小量

若g在 $U^\circ(x_0)$ 上有界,則稱g為當(dāng) $x\to x_0$ 時(shí)的有界量

注：任何無窮小量必是有界量

性質(zhì)：

1.兩個(gè)相同類型的無窮小量之和差積仍是無窮小量

2.無窮小量與有界量的乘積為無窮小量

函數(shù)極限與無窮小量

$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\Leftrightarrow f(x)-A是當(dāng)x\to x_0的無窮小量$

無窮小量階的比較

用以判斷收斂速度

設(shè)當(dāng) $x\to x_0$ 時(shí),f與g均為無窮小量

1.若 $\lim\limits_{x\to x_0}{f(x)\over g(x)}=0$ ,則稱當(dāng) $x\to x_0$ 時(shí)f為g的高階無窮小量,或稱g為f的低階無窮小量,記作 $f(x)=o(g(x))(x\to x_0)$

特別,f為當(dāng) $x\to x_0$ 時(shí)的無窮小量記作 $f(x)=o(1)(x\to x_0)$

2.若 $\exists K,L\gt 0$ 使在 $U^\circ(x_0)$ 上有 $K\le |{f(x)\over g(x)}|\le L$ ,則稱f與g為當(dāng) $x\to x_0$ 時(shí)的同階無窮小量

特別, $\lim\limits_{x\to x_0}{f(x)\over g(x)}=c\neq 0$ 時(shí)f與g為同階無窮小量

例： $x\to 0$ 時(shí)x與 $x(2+sin{1\over x})$ 都是無窮小量, $1\le |2+sin{1\over x}|\le 3$ , $\therefore x與x(2+sin{1\over x})$ 為當(dāng) $x\to 0$ 時(shí)的同階無窮小量

3.若 $\exists L\gt 0$ 使在 $U^\circ(x_0)$ 上有 $|{f(x)\over g(x)}|\le L$ ,記作 $f(x)=O(g(x))(x\to x_0)$

特別,若f在 $U^\circ(x_0)$ 內(nèi)有界,則記作 $f(x)=O(1)(x\to x_0)$

注：

1.當(dāng) $f(x)=o(g(x))(x\to x_0)$ 時(shí)也有 $f(x)=O(g(x))(x\to x_0)$

2.等式中,左邊為一個(gè)函數(shù),右邊為一個(gè)函數(shù)類,中間的等號含義是"屬于"

例： $1-cosx=o(sinx)(x\to 0)$

其中 $o(sinx)=\{f|\lim\limits_{x\to 0}{f(x)\over sinx}=0\}$

等式表示1-cosx屬于此函數(shù)類

4.若 $\lim\limits_{x\to x_0}{f(x)\over g(x)}=1$ ,則稱f與g是當(dāng) $x\to x_0$ 時(shí)的等價(jià)無窮小量,記作 $f(x)\sim g(x)(x\to x_0)$

注：不是任何兩個(gè)無窮小量都可以進(jìn)行階的比較

例： $x\to 0$ 時(shí), $xsin{1\over x}與x^2$ 都是無窮小量,但它們的比

${xsin{1\over x}\over x^2}={1\over x}sin{1\over x}或{x^2\over xsin{1\over x}}={x\over sin{1\over x}}$

當(dāng) $x\to 0$ 時(shí)都不是有界量,所以不能比較

定理：設(shè)函數(shù)f,g,h在 $U^\circ(x_0)$ 上有定義,且有 $f(x)\sim g(x)(x\to x_0)$

1.若 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)h(x)=A$ ,則 $\lim\limits_{x\to x_0}g(x)h(x)=A$

2.若 $\lim\limits_{x\to x_0}{h(x)\over f(x)}=B$ ,則 $\lim\limits_{x\to x_0}{h(x)\over g(x)}=B$

例：求 $\lim\limits_{x\to 0}{tanx-sinx\over sinx^3}$

解：

$原式=\lim\limits_{x\to 0}{sinx(1-cosx)\over cosxsinx^3}$

$=\lim\limits_{x\to 0}{1\over cosx}{x{x^2\over 2}\over x^3}={1\over 2}$

注：只能對式中相乘或相除的因式用等價(jià)無窮小量代換,而對式中相加或相減部分則不可隨意代換

無窮大量

非正常極限

定義：設(shè)f在 $U^\circ(x_0)$ 上有定義, $\forall G\gt 0,\exists \delta\gt 0$ 使得 $x\in U^\circ(x_0;\delta)\subset U^\circ(x_0)$ 時(shí)有 $|f(x)|\gt G$ ,則稱f當(dāng) $x\to x_0$ 時(shí)有非正常極限 $\infty$ ,記作 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty$

若上式換成 $f(x)\gt G$ 或 $f(x)\lt -G$ ,則稱f當(dāng) $x\to x_0$ 時(shí)有非正常極限 $+\infty$ 或 $-\infty$ ,記作 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=+\infty$ 或 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=-\infty$

其他情況：

$\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=-\infty$ ： $\forall G\gt 0,\exists M\gt 0$ 使得 $x\gt M$ 時(shí)有 $f(x)\lt -G$

$\lim\limits_{n\to \infty}a_n=+\infty$ ： $\forall G\gt 0,\exists N\gt 0$ 使得 $n\gt N$ 時(shí)有 $a_n\gt G$

無窮大量

定義：對x的某種趨向(或 $n\to \infty$ ),所有以 $\infty$ , $+\infty$ 或 $-\infty$ 為非正常極限的函數(shù)(包括數(shù)列)都稱為無窮大量

注：

1.無窮大量是具有非正常極限的函數(shù)

2.若f為 $x\to x_0$ 時(shí)的無窮大量,則f為 $U^\circ(x_0)$ 上的無界函數(shù),但無界函數(shù)不一定是無窮大量

例： $f(x)=xsinx$ 在 $U(+\infty)$ 上無界, $\forall G\gt 0$ ,取 $x_n=2n\pi+{\pi\over 2}(n\in Z_+,n\gt {G\over 2\pi})$ 則有

$f(x_n)=(2n\pi+{\pi\over 2})sin(2n\pi+{\pi\over 2})=2n\pi+{\pi\over 2}\gt G$

但 $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)\neq 0$ ,取數(shù)列 $x_n^*=2n\pi(n=1,2,\cdots)$ 則 $x_n^*\to +\infty(n\to \infty)$ , $\lim\limits_{n\to \infty}f(x_n^*)=0$

例：設(shè)f(x)為 $x\to x_0$ 時(shí)的無窮大量,g(x)在 $U^\circ(x_0)$ 上滿足 $|g(x)|\ge K\gt 0$ ,證明：f(x)g(x)為 $x\to x_0$ 時(shí)的無窮大量

證：

$\because \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty$

$\therefore \forall G\gt 0,\exists \delta\gt 0$

$0\lt |x-x_0|\lt \delta時(shí)有$

$|f(x)|\gt {G\over K}$

$\therefore |f(x)g(x)|\gt {G\over K}K=G$

$即\lim\limits_{x\to x_0}f(x)g(x)=\infty\qquad\mathcal{Q.E.D}$

無窮小量與無窮大量的關(guān)系

定理：設(shè)f在 $U^\circ(x_0)$ 上有定義且 $f\neq 0$ ,若f為 $x\to x_0$ 時(shí)的無窮小(大)量,則 ${1\over f}$ 為 $x\to x_0$ 時(shí)的無窮大(小)量

曲線的漸近線

定義：若曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P沿著曲線無限地遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí),P與某定直線L的距離趨于0,則稱直線L為曲線C的漸近線

斜漸近線： $y=kx+b$

垂直漸近線： $x=x_0$

斜漸近線

設(shè)曲線 $y=f(x)$ 有斜漸近線 $y=kx+b$ ,曲線上動(dòng)點(diǎn)P到哦漸近線的距離為

$|PN|=|PMcos\alpha|=|f(x)-(kx+b)|{1\over \sqrt{1+k^2}}$

按漸近線的定義, $x\to +\infty$ 時(shí), $|PN|\to 0$

即 $\lim\limits_{x\to +\infty}[f(x)-(kx+b)]=0$

或 $\lim\limits_{x\to +\infty}[f(x)-kx]=b$

又 $\lim\limits_{x\to +\infty}[{f(x)\over x}-k]=\lim\limits_{x\to +\infty}{1\over x}[f(x)-kx]=0$

$\therefore \lim\limits_{x\to +\infty}{f(x)\over x}=k$

注：若曲線 $y=f(x)$ 有斜漸近線 $y=kx+b$ ,則常數(shù)k與b可由 $\lim\limits_{x\to +\infty}{f(x)\over x}=k$ 和 $\lim\limits_{x\to +\infty}[f(x)-kx]=b$ 來求

垂直漸近線

定義：若f滿足 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty$ ,或 $\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=\infty,\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\infty$ ,則曲線 $y=f(x)$ 有垂直于x軸的漸近線 $x=x_0$ ,稱為垂直漸近線

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數(shù)學(xué)分析理論基礎(chǔ)11：無窮小量與無窮大量

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無窮小量與無窮大量