從“核心概念”出發(fā) 感悟“數(shù)與運算”一致性

一、緣起新課標

“一致性”該詞在數(shù)學(xué)新課標中共出現(xiàn)了18次，我提取了其中的幾條，通過分析，我們發(fā)現(xiàn)，其表述角度和內(nèi)涵包含這三個方面：今天，我主要和大家一起來探討數(shù)的概念角度和數(shù)的運算角度的一致性。

新課標把“數(shù)與代數(shù)”原來的六個主題：數(shù)的認識、數(shù)的運算、常見的量、探索規(guī)律、式與方程、正反比例，調(diào)整為“數(shù)與運算”和“數(shù)量關(guān)系”兩個主題。

將數(shù)的認識與數(shù)的運算進行了整合，對數(shù)與運算的教學(xué)提出了新的要求。加深對數(shù)概念的一致性、運算意義的關(guān)聯(lián)性、數(shù)與運算的整體性、算理和算法的一致性、運算規(guī)律的共通性的教學(xué)理解，有助于我們把握新課標精神，引導(dǎo)學(xué)生探索運算一致性，促進學(xué)生加強知識間的相互聯(lián)系，從而使學(xué)生形成更為整體而結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識。

那么數(shù)與運算，包括整數(shù)，小數(shù)，分數(shù)，還包括加減乘除。這么龐大的內(nèi)容，怎么去體現(xiàn)一致性呢？

二、數(shù)的概念一致性

首先我們來看數(shù)的概念。數(shù)概念的重點在于理解數(shù)的意義，學(xué)生要經(jīng)歷由數(shù)量到數(shù)的抽象過程，理解和掌握數(shù)概念，初步體會數(shù)是對數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性，來形成數(shù)感和符號意識。

數(shù)是對數(shù)量的抽象，不管是整數(shù)，小數(shù)，分數(shù)，它們都是對數(shù)量的抽象。

數(shù)是多少個計數(shù)單位的表達，整數(shù)小數(shù)和分數(shù)都可以從計數(shù)單位和計數(shù)單位的個數(shù)這個角度來認識。整數(shù)，小數(shù)，分數(shù)都是表達了多少個這樣的計數(shù)單位。

數(shù)是多少個單位的表達，一是打通“數(shù)域”之間關(guān)聯(lián)，二是架起了“數(shù)與運算”的橋梁。

三、數(shù)與運算一致性

“數(shù)”與“運算”之間的聯(lián)系。數(shù)的概念是數(shù)的運算的基礎(chǔ)，數(shù)的運算是數(shù)的概念的再應(yīng)用”，數(shù)的表達與運算方法的具有一致性。

1.數(shù)與運算的整體性

數(shù)與運算密切相關(guān)，數(shù)失去運算也就沒有意義了。事實上，通過計數(shù)單位的累加和細分來認識數(shù)的過程中，就已經(jīng)進行了運算。

整數(shù)、小數(shù)的加減法本質(zhì)上是相同計數(shù)單位的數(shù)的累加與遞減；分數(shù)相加減時，從分數(shù)的意義出發(fā)，需要統(tǒng)一分數(shù)單位。因此，無論是整數(shù)、小數(shù)還是分數(shù)的認識，都與運算密不可分。

學(xué)習(xí)四則運算必須通過理解算理達到掌握算法，而對算理的理解必須依據(jù)對數(shù)的意義和運算意義的理解，就像整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)相加減，都要歸結(jié)為相同計數(shù)單位（分數(shù)單位）上的數(shù)相加減。讓學(xué)生從數(shù)的意義和計數(shù)單位的視角理解算理，建立起概念性知識和程序性知識的聯(lián)系，有助于他們形成整體性的知識結(jié)構(gòu)。

2.加減法運算的一致性

在小學(xué)數(shù)學(xué)四則運算中，整數(shù)加減法強調(diào)相同數(shù)位對齊，小數(shù)加減法強調(diào)小數(shù)點對齊，分數(shù)加減法則強調(diào)分母相同才能直接相加減。其算理在于，整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的四則運算本質(zhì)上都是對計數(shù)單位進行運算，加減法表現(xiàn)為對計數(shù)單位的累加或遞減。整數(shù)加減運算，就是將每一個數(shù)按照計數(shù)單位進行分解，然后相同計數(shù)單位上的數(shù)字相加減。分數(shù)相加減時，需要先統(tǒng)一分數(shù)單位：同分母分數(shù)相加減，分母不變，分子相加減；異分母分數(shù)相加減，先化成同分母的分數(shù)，再相加減。可見，分數(shù)相加減，均是“相同計數(shù)單位上的數(shù)字相加減”，這與整數(shù)運算保持了一致。

小數(shù)加減法的算理、算法既可以基于整數(shù)的算理、算法，也可以基于分數(shù)的算理、算法，這充分顯示了小數(shù)的“兩棲性”。無論基于整數(shù)加減，還是基于分數(shù)加減，均是“相同計數(shù)單位上的數(shù)字相加減”。

綜上所述，加減法運算的一致性體現(xiàn)為：相同計數(shù)單位上的數(shù)字相加減，計數(shù)單位不變。

在六年級下冊教學(xué)《數(shù)的運算》這節(jié)課時，我們就是通過這樣的豎式對比的方法，重在對計數(shù)單位及計數(shù)單位個數(shù)的探究，使學(xué)生直觀感知到加減法運算的一致性。

3.乘法運算的一致性

相信大家在很多地方已經(jīng)看到過用這樣的拆解方法來探究整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)乘法的運算一致性了，在這樣的拆解過程中使用到了運算律。我們可以發(fā)現(xiàn)，整數(shù)乘法運算要進行兩類運算：計數(shù)單位與計數(shù)單位相乘（這兩個計數(shù)單位可以一樣、可以不一樣），從而得到新的計數(shù)單位；計數(shù)單位上的數(shù)字與計數(shù)單位上的數(shù)字相乘，得到新的計數(shù)單位上的新的數(shù)字。

4.除法運算的一致性

關(guān)于除法運算的一致性，一直是我比較困惑的地方，如果有分享的不到我的地方，希望在座的各位老師提出自己的寶貴意見意見。

5.四則運算的一致性

史寧中教授指出：數(shù)的建構(gòu)與數(shù)的運算都是基于計數(shù)單位進行的，所有的運算都是相同計數(shù)單位個數(shù)的變化。

在教學(xué)時，借助數(shù)軸回顧加減乘除四則運算的本質(zhì)，理解加、減、乘、除運算意義之間的聯(lián)系，感悟加法是計數(shù)單位個數(shù)的合并，減法是計數(shù)單位個數(shù)的拆分，乘法是計數(shù)單位個數(shù)的累加，除法則是計數(shù)單位個數(shù)的遞減。因此，運算一致性的核心內(nèi)容就是計數(shù)單位。

體會減法是加法的逆運算，乘法是加法的簡便運算，除法是乘法的逆運算，所有運算都可以還原為加法，加法運算是所有運算的基礎(chǔ)，而“計數(shù)單位”在打通四則運算一致性的過程中起到了至關(guān)重要的作用。

6.運算律角度感悟一致性

探究運算的一致性時，我們將數(shù)拆分成不同計數(shù)單位的數(shù)的和或積，然后再依據(jù)運算律進行運算，這一過程與運算律是密不可分的。實際教學(xué)過程中，通過圖中這種數(shù)形結(jié)合的方式，感悟數(shù)的運算一致性，形成整體性的知識結(jié)構(gòu)。

新課標頒布后，課程內(nèi)容進行結(jié)構(gòu)化整合，在“數(shù)與運算”這個主題下，溝通了數(shù)的概念與數(shù)的運算之間的關(guān)聯(lián)，有助于學(xué)生從整體上理解數(shù)與運算的知識和方法，感悟數(shù)與運算之間的密切聯(lián)系，體會數(shù)的運算本質(zhì)上的一致性，也將促進學(xué)生數(shù)感、符號意識、運算能力、推理意識等核心素養(yǎng)的提升。