? ? ? ? ? ? 第三段（5～6年級）

【內(nèi)容要求】

? ? ? （1）知道2，3，5的倍數(shù)的特征，了解公倍數(shù)和最小公倍數(shù)，了解公因數(shù)和最大公因數(shù)，了解奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)（或素數(shù)）和合數(shù)。

（2）結(jié)合具體情境探索并理解小數(shù)和分數(shù)的意義，感悟計數(shù)單位；會進行小數(shù)、分數(shù)的轉(zhuǎn)化，進一步發(fā)展數(shù)感和符號意識。

（3）結(jié)合具體情境理解整數(shù)除法與分數(shù)的關(guān)系（例16）。

例16? 除法可以寫成分數(shù)的形式

? ? 為什么4÷2可以寫成4/2?

? ? 【說明】首先，可以通過除法運算的意義和分數(shù)的意義理解它們之間的等價關(guān)系。前者可以表示4個蘋果平均分給2個人，每人分到2個；后者可以表示4個蘋果的1/2，等價于2個蘋果。

? ? ? 其次，通過算理進行一般性說明。怎樣知道“4÷2=⊿”中的“⊿”是多少?由于除法是乘法的逆運算，它等于“4=⊿×2”。根據(jù)等式的基本性質(zhì)，等式兩邊同乘1/2后等式不變，計算得到4×1/2=⊿。根據(jù)基本事實“等量的等量相等”，所以4÷2=4×1/2成立。

? ? ? ? 最后，因為4×1/2表示4個1/2相加，所以寫成4/2，即4÷2=4/2。這個結(jié)果表明，除以一個數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。

（4）能進行簡單的小數(shù)、分數(shù)四則運算和混合運算，感悟運算的一致性，發(fā)展運算能力和推理意識。

2.數(shù)量關(guān)系

（1）根據(jù)具體情境理解等式的基本性質(zhì)（例17）。

例17觀察下面兩組等式，你有什么發(fā)現(xiàn)？與同伴交流，嘗試解釋你的發(fā)現(xiàn)。

（1）17+8=25

? ? ? ? 17+8-5=25-5

? ? ? ? ? 17+8+10=25+10

（2）20×3=60

? ? ? ? 20×3×4=60×4

? ? ? ? 20×3÷2=60÷2

? ? 【說明】這兩組等式表達了等式的兩個基本性質(zhì)。第一組是等式的基本性質(zhì)1，即“等式兩邊同時加或減同一個數(shù)，等式兩邊仍然相等”。第二組是等式的基本性質(zhì)2，即“等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，等式兩邊仍然相等”。這兩個基本性質(zhì)同樣適用于含有未知數(shù)的等式，在后續(xù)學(xué)習(xí)方程時會用到。

（2）在解決實際問題的過程中，會選擇合適的方法進行估算（例18）

例18? 估算的上屆和下屆

? ? ? ? 李阿姨去商店購物，帶了100元，她買了2袋面，每袋30.4元；又買了1塊牛肉，用了19.4元。她還想買1條魚，大一些的每條25.2元，小一些的每條15.8元。請幫助李阿姨估算一下，她此時剩余的錢夠不夠買小魚?夠不夠買大魚?

? ? 【說明】對于給定的數(shù)量，許多估算問題是為了得到上屆或者下屆。為此，需要對給定的數(shù)量進行適當放大或縮小，湊整計算。此例中兩個問題的核心都是估計用100元購物后的剩余金額，但兩種估計方法有所不同。

? ? ? ? 第一問“夠不夠買小魚”需要估計剩余金額的下屆（至少剩余多少元），如果下屆超過15.8元，就夠買小魚。對于估計下屆的問題，購物金額要適當?shù)胤糯蟆＠纾I1袋面不超過31元，買2袋面不超過62元；買牛肉不超過20元；總共不超過62+20=82（元），至少還剩100-82=18（元）。所以，李阿姨剩余的錢買1條小魚是夠用的。

? ? ? 第二問“夠不夠買大魚”需要估計剩余金額的上屆（至多剩余多少元），如果上屆不到25.2元，就不夠買大魚。對于估計上屆的問題，購物金額要適當?shù)乜s小。例如，買1袋面至少要30元，買2袋面至少要60元；買牛肉至少要19元；總共至少要60+19=79（元），至多還剩100-79=21（元）。所以，李阿姨余的錢不夠買1條大魚。

（3）在具體情境中，探索用字母表示事物的關(guān)系、性質(zhì)和規(guī)律的方法，感悟用字母表示的一般性（例19）。

例19用字母表示數(shù)量關(guān)系或規(guī)律

? ? （1）小華比小明多5張漫畫卡。如果小明有8張，小華有幾張?如果小明有12張呢?如果小明有若干張，怎樣用字母表示小華有多少張漫畫卡?

? ? （2）我們學(xué)習(xí)過一些圖形面積的計算公式，還學(xué)過加法和乘法的運算律，你能用字母表示這些計算公式和運算律嗎?

（3）如圖6，1張餐桌可坐4人，2張餐桌拼在一起可做6人，3張餐桌拼在一起可坐8人，按這樣拼下去，n張餐桌拼在一起可做多少人?

【說明】這三個問題涉及用字母表示數(shù)量關(guān)系或規(guī)律。

（1）教學(xué)時，可以先從具體數(shù)量入手；小明有8張、12張時，小華的漫畫卡數(shù)量應(yīng)如何表示?如果小明有不知道具體數(shù)量的若干張時，小華的漫畫卡數(shù)量可以表示為（5+a）,其中的字母a表示小明的漫畫卡數(shù)量，是一個變化的值。

（2）讓學(xué)生探索用字母表示面積計算公式和運算律的過程，感悟用字母表示所得到的結(jié)果具有一般性。

（3）讓學(xué)生經(jīng)歷用字母表示變化規(guī)律的過程，培養(yǎng)符號意識。1張餐桌可做4人，2張餐桌拼在一起可做6人，3張餐桌拼在一起可坐8人，以此類推，n張餐桌拼在一起可坐（2n+2）人。

（4）在實際情境中理解比和比例以及按比例分配的含義，能解決簡單的問題。

（5）通過具體情境，認識成正比的量（如y/x=5）（例20）；能探索規(guī)律或變化趨勢（如y=5x）（例21）。

例20? 認識成正比的量

? ? ? 王阿姨去超市買蘋果，每千克蘋果5元，如果購買2千克，3千克……分別需要多少元?

【說明】可以借助列表或者畫圖象的方法分析問題，例如，把計算的結(jié)果記錄在表5中。

觀察表5可以發(fā)現(xiàn)，隨著購買蘋果數(shù)量的增多，總價也增多，這兩個量變化的最基本特征是:總價與數(shù)量的比值保持不變?？梢园堰@個關(guān)系表示為總價/數(shù)量=5，或者用符號表示為y/x=5，這時稱y和x為成正比的量。

例21? ? 探索數(shù)量之間的變化規(guī)律

? ? ? 王阿姨去超市買蘋果，每千克蘋果5元，夠買2千克、3千克……分別需要多少元?探索其中的規(guī)律。

【說明】這是例20的延續(xù)。從例20的說明中可以知道，為了保證兩個數(shù)量的比值保持不變，這兩個數(shù)量必須一起變化。顯然，也可以把這個表達式轉(zhuǎn)化為y=5x的形式。這樣的表達能夠更好地體現(xiàn)“隨著購買蘋果數(shù)量的增多，總價也增多”的變化規(guī)律，這就是初中將要學(xué)習(xí)的正比例函數(shù)。

（6）能運用常見的數(shù)量關(guān)系解決實際問題，能合理解釋結(jié)果的實際意義，逐步形成模型意識和幾何直觀，提高解決問題的能力。

【學(xué)業(yè)要求】

1.數(shù)與運算

? ? ? ? 能找出2，3，5的倍數(shù)。在1～100的自然數(shù)中:能找出10以內(nèi)自然數(shù)的所有倍數(shù)，10以內(nèi)兩個自然數(shù)的公倍數(shù)和最小公倍數(shù)；能找出一個自然數(shù)的所有因數(shù)，兩個自然數(shù)的公因數(shù)和最大公因數(shù)；能判斷一個自然數(shù)是否是質(zhì)數(shù)或合數(shù)。

? ? ? ? 能用直觀的方式表示分數(shù)和小數(shù)，能比較兩個分數(shù)的大小和兩個小數(shù)的大??；會進行小數(shù)和分數(shù)的轉(zhuǎn)化（不包括將循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化分數(shù)）。能在實際情境中運用小數(shù)和分數(shù)解決問題，進一步發(fā)展符號意識和數(shù)感。

? ? ? 能進行簡單小數(shù)和分數(shù)的四則運算和混合運算（不超過三步），并說明運算過程。能在較復(fù)雜的真實情境中，選擇恰當?shù)倪\算方法解決問題，形成運算能力和推理意識。

2.數(shù)量關(guān)系

? ? ? ? 能在具體問題中感受等式的基本性質(zhì)（例17）。

【例17觀察下面兩組等式，你有什么發(fā)現(xiàn)？與同伴交流，嘗試解釋你的發(fā)現(xiàn)。

（1）17+8=25

? ? ? ? 17+8-5=25-5

? ? ? ? ? 17+8+10=25+10

（2）20×3=60

? ? ? ? 20×3×4=60×4

? ? ? ? 20×3÷2=60÷2

? ? 【說明】這兩組等式表達了等式的兩個基本性質(zhì)。第一組是等式的基本性質(zhì)1，即“等式兩邊同時加或減同一個數(shù)，等式兩邊仍然相等”。第二組是等式的基本性質(zhì)2，即“等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，等式兩邊仍然相等”。這兩個基本性質(zhì)同樣適用于含有未知數(shù)的等式，在后續(xù)學(xué)習(xí)方程時會用到?！?/p>

? ? ? ? 能在解決實際問題中運用恰當?shù)姆椒ㄟM行估算，并能描述估算的過程。

? ? ? ? 能在具體情境中，用字母或含有字母的式子表示數(shù)量之間的關(guān)系、性質(zhì)和規(guī)律，感悟用字母表示具體有一般性。

? ? ? ? ? 能在具體情境中，用字母或含有字母的式子表示數(shù)量之間的關(guān)系、性質(zhì)和規(guī)律，感悟用字母表示具有一般性。

? ? ? ? 能在具體情境中判斷兩個量的比，會計算比值，理解比值相同的量，能解決按比例分配的簡單問題。

? ? ? ? 能在具體情境中描述成正比的量y/x=k（k≠0），能找出生活中成正比的量的實例；能根據(jù)給出的成正比關(guān)系的數(shù)據(jù)在方格紙上畫圖，了解y=kx（k≠0）的形式，能根據(jù)其中一個量的值計算另一個量值。

? ? ? ? 能解決較復(fù)雜的真實問題，形成幾何直觀和初步的應(yīng)用意識，提高解決問題的能力。

【教學(xué)提示】

? ? ? 數(shù)與運算的教學(xué)。通過整數(shù)的運算，感悟整數(shù)的性質(zhì)；通過整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的運算，進一步感悟計數(shù)單位在運算中的作用，感悟運算的一致性。

? ? ? ? 數(shù)的認識教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)數(shù)的意義，用列舉、計算、歸納等方法，探索2，3，5的倍數(shù)的特征，理解公因數(shù)和公倍數(shù)、奇數(shù)和偶數(shù)、質(zhì)數(shù)和合數(shù)，形成推理意識。

? ? ? ? 在初步認識小數(shù)和分數(shù)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生在具體情境中，理解小數(shù)和分數(shù)的意義，感悟計數(shù)單位。在教學(xué)過程中，可以讓學(xué)生體驗與小數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)文化（例22），理解、描述各數(shù)位上數(shù)字的意義，進一步提升數(shù)感。

【例22? ? 圓周率的故事

? ? ? 通過講述祖沖之計算圓周率的故事，讓學(xué)生感知圓周率的逼近過程，同時，也理解小數(shù)的十進制名稱的表達，感受中國古代數(shù)學(xué)家的杰出貢獻。

【說明】據(jù)《隨書》卷十六《志》第十一《律歷》記載，南北朝時期的祖沖之的到圓周率的結(jié)果是:

? ? ? 以圓徑一億為丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，肭數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈肭二限之間。密率，圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十二?！畷?，名為《綴術(shù)》，學(xué)官莫能究其深奧，是故廢而不理。

因此，祖沖之得到圓周率在3.1415926和3.1415927之間；根據(jù)不同的需要，可近似取作22/7（約率）或355/113（密率）。由此可以看到，祖沖之得到的圓周率精確到小數(shù)點后第6位，這個結(jié)果領(lǐng)先世界約1000年之久。

? ? ? 特別值得指出，類似自然數(shù)的單位（如個、十、百、千、萬等），祖沖之清晰地表達、定義了十進制的小數(shù)單位——尺、寸、分、厘、毫、秒、忽，表述到小數(shù)點后七位。由此可見，中國古代人民對于小數(shù)的理解和表達都是深刻的?！?/p>

? ? ? 數(shù)的運算教學(xué)應(yīng)注重對整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)四則運算的過程中，引導(dǎo)學(xué)生理解通分的目的是得到同樣計數(shù)單位，進一步理解計數(shù)單位對分數(shù)表達的重要性，理解整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)的加減運算都要在相同計數(shù)單位下進行，感悟加減運算的一致性。

? ? ? ? 數(shù)量關(guān)系的教學(xué)。理解用字母表示的一致性，形成初步的代數(shù)思維。

? ? ? ? 用字母表示的教學(xué)要設(shè)計合理的實際情境，引導(dǎo)學(xué)生會用字母或含有字母的式子表達實際情境中的數(shù)量關(guān)系、性質(zhì)和規(guī)律。例如:用字母表達常見數(shù)量關(guān)系及其變形，“路程=速度×?xí)r間”表示s=v×t,這個關(guān)系的變式表示為v=s÷t，t=s÷v；還可以表達圖形的周長和面積計算公式等，感受字母表達的一致性。運用數(shù)和字母表達數(shù)量關(guān)系，通過運算或推理解決問題（例23），形成與發(fā)展學(xué)生的符號意識、推理意識和初步的應(yīng)用意識。

【例23? 用字母表示數(shù)量關(guān)系

回顧例19（3）的情境，請用字母表示餐桌數(shù)與人數(shù)之間的關(guān)系。

【說明】引導(dǎo)學(xué)生用不同的字母分別表示餐桌數(shù)與人數(shù)，建立二者之間的關(guān)系。例如，用a表示餐桌數(shù)，b表示人數(shù)。根據(jù)問題的背景，可以建立關(guān)系式:b=b+2a+2。

? ? ? 引導(dǎo)學(xué)生理解，如果知道兩個量中的一個量，就可以通過對關(guān)系式的四則運算得到另一個量。在上式中，如果a=2，那么b=6；如果a=3，那么b=8。反之亦然。在這樣的過程中，啟發(fā)學(xué)生進一步感悟可以用字母表示數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生初步經(jīng)歷通過具體數(shù)值的計算歸納一般關(guān)系的過程?！?/p>

? ? ? ? 估算教學(xué)要借助真實情境，引導(dǎo)學(xué)生在選擇合適單位估算的基礎(chǔ)上，感悟選擇合適的方法估算的重要性，提高解決問題的能力，發(fā)展初步的應(yīng)用意識。

? ? ? ? 比和比例教學(xué)要合理利用實際生活中的情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并用字母表達兩個數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系。例如，通過同樣照片的放大與縮小、食品中原料的成分比等，理解比例的意義，能解決簡單的按比例分分配的問題。

? ? ? 成正比的量教學(xué)要在具體情境中呈現(xiàn)兩個成正比的量的變化規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生理解可以把這個規(guī)律表示y/x=k（k≠0）的形式，也可以表示為y=kx（k≠0）的形式，感悟這兩個表達的共性與差異；引導(dǎo)學(xué)生嘗試在方格紙上畫出給定的成正比的量的數(shù)據(jù)，建立幾何直觀，為初中學(xué)習(xí)函數(shù)積累經(jīng)驗。