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2011年理數(shù)江蘇卷題18

分值：16分

如圖，在平面直角坐標(biāo)系 $xOy$ 中， $M、N$ 分別是橢圓 $\dfrac{x^2}{4}+ \dfrac{y^2}{2} =1$ 的頂點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于 $P、A$ 兩點(diǎn)，其中點(diǎn) $P$ 在第一象限，過(guò) $P$ 作 $x$ 軸的垂線，垂足為 $C$ . 連接 $AC$ ，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn) $B$ . 設(shè)直線 $PA$ 的斜率為 $k$ .

（1）當(dāng)直線 $PA$ 平分線段 $MN$ 時(shí)，求 $k$ 的值；
（2）當(dāng) $k=2$ 時(shí)，求點(diǎn) $P$ 到直線 $AB$ 的距離 $d$ ；
（3）對(duì)任意的 $k \gt 0$ ，求證： $PA \perp PB$ .

2011年理數(shù)江蘇卷題18

2012年理數(shù)江蘇卷題19

分值：16分

如圖，在平面直角坐標(biāo)系 $xOy$ 中，橢圓 $\dfrac{x^2}{a^2}+ \dfrac{y^2}{b^2}+ =1 (a \gt b \gt 0)$ 的左、右焦點(diǎn)分別為 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$ . 已知點(diǎn) $(1,e)$ 和 $(e, \dfrac{\sqrt{3}}{2})$ 都在橢圓上，其中 $e$ 為橢圓的離心率.

（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè) $A,B$ 是橢圓上位于 $x$ 軸上方的兩點(diǎn)，且直線 $AF_1$ 與直線 $BF_2$ 平行， $AF_2$ 與 $BF_1$ 交于點(diǎn) $P$ ，
（i）若 $AF_1-BF_2 = \dfrac{\sqrt{6}}{2}$ . 求直線 $AF$ 的斜率；
（ii）求證： $PF_1+PF_2$ 是定值.

2012年理數(shù)江蘇卷題19

2013年理數(shù)江蘇卷題17

分值：14分

如圖，在平面直角坐標(biāo)系 $xOy$ 中，點(diǎn) $A(0,3)$ , 直線 $l:y=2x-4$ . 設(shè)圓 $C$ 的半徑為 $1$ ，圓心在 $l$ 上.

（1）若圓心 $C$ 也在直線 $y=x-1$ 上，過(guò)點(diǎn) $A$ 作圓 $C$ 的切線，求切線的方程；

（2）若圓 $C$ 上存在點(diǎn) $M$ ，使 $MA=2OM$ . 求圓心 $C$ 的橫坐標(biāo) $a$ 的取值范圍.

2013年理數(shù)江蘇卷題17

2014年理數(shù)江蘇卷題17

分值：14分

如圖, 在平面直角坐標(biāo)系 $xOy$ 中， $F_1,F_2$ 分別是橢圓 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1(a \gt b \gt 0)$ 的左、右焦點(diǎn),頂點(diǎn) $B$ 的坐標(biāo)為 $(0,b)$ , 連接 $BF_2$ 并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn) $A$ , 過(guò)點(diǎn) $A$ 作 $x$ 軸的垂線交圓于另一點(diǎn) $C$ , 連接 $F_1C$ .

（1）若點(diǎn) $C$ 的坐標(biāo)為 $(\dfrac{4}{3},\dfrac{1}{3})$ , 且 $BF_2=\sqrt{2}$ , 求橢圓的方程;
（2）若 $F_1C \perp AB$ , 求橢圓離心率 $e$ 的值.

2014年理數(shù)江蘇卷題17

2015年理數(shù)江蘇卷題18

分值：16分

如圖, 在平面直角坐標(biāo)系 $xOy$ 中,已知橢圓 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1(a \gt b \gt 0)$ 的離心率為 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , 且右焦點(diǎn) $F$ 到左準(zhǔn)線 $l$ 的距離為 $3$ .

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò) $F$ 的直線與橢圓交于 $A,B$ 兩點(diǎn), 線段 $AB$ 的垂直平分線分別交直線 $l$ 和 $AB$ 于點(diǎn) $P,C$ . 若 $PC=2AB$ , 求直線 $AB$ 的方程.

2015年理數(shù)江蘇卷題18

2016年理數(shù)江蘇卷題18

分值：16分

如圖，在平面直角坐標(biāo)系 $xOy$ 中，已知以 $M$ 為圓心的圓 $M:x^2+y^2-12x-14y+60=0$ 及其上一點(diǎn) $A(2,4)$ .

（1）設(shè)圓 $N$ 與 $x$ 軸相切，與圓 $M$ 外切，且圓心 $N$ 在直線 $x=6$ 上，求圓 $N$ 的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)平行于 $OA$ 的直線 $l$ 與圓 $M$ 相交于 $B,C$ 兩點(diǎn)，且 $BC=OA$ ，求直線 $l$ 的方程；

（3）設(shè)點(diǎn) $T(t,0)$ 滿足：存在圓 $M$ 上的兩點(diǎn) $P$ 和 $Q$ ，使得 $\overrightarrow{TA}+\overrightarrow{TP}=\overrightarrow{TQ}$ ，求實(shí)數(shù) $t$ 的取值范圍.

2016年理數(shù)江蘇卷題18

2017年江蘇卷題17

分值：14分

如圖，在平面直角坐標(biāo)系 $xOy$ 中，橢圓 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt b \gt 0)$ 的左、右焦點(diǎn)分別為 $F_1,F_2$ ，離心率為 $\dfrac{1}{2}$ ，兩準(zhǔn)線之間的距離為 $8$ . 點(diǎn) $P$ 在橢圓 $E$ 上，且位于第一象限，過(guò)點(diǎn) $F_1$ 作直線 $PF_1$ 的垂線 $l_1$ ，過(guò)點(diǎn) $F_2$ 作直線 $PF_2$ 的垂線 $l_2$ .

（1）求橢圓 $E$ 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線 $l_1,l_2$ 的交點(diǎn) $Q$ 在橢圓 $E$ 上，求點(diǎn) $P$ 的坐標(biāo).

2017年江蘇卷題17

2018年理數(shù)江蘇卷題18

分值：16分

如圖，在平面直角坐標(biāo)系 $xOy$ 中，橢圓 $C$ 過(guò)點(diǎn) $\sqrt{3},\dfrac{1}{2}$ , 焦點(diǎn) $F_1(-\sqrt{3},0),F_2(\sqrt{3},0)$ , 圓 $O$ 的直徑為 $F_1F_2$ ,

（1）求橢圓 $C$ 及圓 $O$ 的方程；

（2）設(shè)直線 $l$ 與圓 $O$ 相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn) $P$ .

①若直線 $l$ 與橢圓 $C$ 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求點(diǎn) $P$ 的坐標(biāo);

②直線 $l$ 與橢圓 $C$ 交于 $A,B$ 兩點(diǎn).若 $\triangle OAB$ 的面積為 $\dfrac{2}{7}\sqrt{6}$ , 求直線 $l$ 的方程.

2018年理數(shù)江蘇卷題18

2019年理數(shù)江蘇卷題17

分值：14分

如圖, 在平面直角坐標(biāo)系 $xOy$ 中, 橢圓 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1(a \gt b \gt 0)$ 的焦點(diǎn)為 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$ . 過(guò) $F_2$ , 作 $x$ 軸的垂線 $l$ , 在 $x$ 軸的上方, $l$ 與圓 $F_2:(x-1)^2+y^2=4a^2$ 交于點(diǎn) $A$ , 與橢圓 $C$ 交于點(diǎn) $D$ . 連接 $AF_1$ 并延長(zhǎng)交圓 $F_2$ 于點(diǎn) $B$ . 連接 $BF_2$ 交橢圓 $C$ 于點(diǎn) $E$ , 連接 $DF_1$ , 已知 $DF_1=\dfrac{5}{2}$ .
(1)求圓 $C$ 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求點(diǎn) $E$ 的坐標(biāo).

2019年理數(shù)江蘇卷題17

2020年理數(shù)江蘇卷題18

分值：16分

在平面直角坐標(biāo)系 $xOy$ 中，已知橢圓 $E:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3} = 1$ 的左、右焦點(diǎn)分別為 $F_1,F_2$ , 點(diǎn) $A$ 在橢圓 $E$ 上且在第一象限內(nèi), $AF_2 \perp F_1F_2$ . 直線 $AF_1$ 與橢圓 $E$ 相交于另一點(diǎn) $B$ .