中值定理及相關(guān)定理

最值定理

若 $f(x)$ 在[a,b]上連續(xù)，則 $f(x)$ 在[a,b]上存在最大值M和最小值m

有界性定理

若 $f(x)$ 在[a,b]上連續(xù)，則 $f(x)$ 在[a,b]上必有界

$f(x)有界\Rightarrow \exists正數(shù)M_0，有|f(x)|\leq M_0$

介值定理

若函數(shù) $f(x)$ 在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且c介于 $f(a)$ ， $f(b)$ ，則在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一點 $\xi$ ，使得 $f(\xi)$ =c

推論

若函數(shù) $f(x)$ 在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則存在最大值M和最小值m，又 $m \leq c \leq M$ ，則在閉區(qū)間（a，b）上至少有一點 $\xi$ ，使得 $f(\xi)$ =c

零點定理

若函數(shù) $f(x)$ 在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且 $f(a)$ 與 $f(b)$ 異號（即 $f(a)·f(b)<0$ ），則在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少至少有一點 $\xi$ ，使得 $f(\xi)$ =0

推論

若函數(shù) $f(x)$ 在開區(qū)間（a,b）上連續(xù)，且 $f(a^+)$ 與 $f(b^-)$ 異號（即 $f(a^+)·f(b^-)<0$ ），則在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少至少有一點 $\xi$ ，使得 $f(\xi)$ =0

費馬引理

設(shè)函數(shù) $f(x)$ 在點 $x_0$ 的某鄰域 $U(x_0)$ 內(nèi)又定義，并且在 $x_0$ 處可導，如果對任意 $x \in U(X_0)$ 有 $f(x) \le f(x_0)$ （或 $f(x) \ge f(x_0)$ ），則 $f'(x_0)=0$ ， $x=x_0$ 是駐點

駐點：導函數(shù)的零點 $f'(x_0)=0$

推論

若 $x=x_0$ 是（a，b）內(nèi)的可導最大（?。┲迭c，則 $f'(x_0)=0$

羅爾定理

設(shè)函數(shù) $f(x)$ 滿足：

1、在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)

2、在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導

3、 $f(a)=f(b)$

則存在 $\xi \in$ (a,b)，使得 $f'(\xi)=0$

判斷使用依據(jù)：導數(shù)、等式方程

拉格朗日中值定理

設(shè)函數(shù) $f(x)$ 滿足

1、在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)

2、在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導

則存在 $\xi \in$ (a,b)，使得 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)$ 或 $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$

判斷使用依據(jù)： $f(b)-f(a)$ /同時出現(xiàn) $f'(x)$ 和 $f(x)$

用于處理不等式

了解形式2：

?設(shè)函數(shù) $f(x)$ 滿足

?1、在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)

?2、在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導

?則存在 $\theta \in (0,1)$ ，使得 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)$ ，其中 $\frac{\xi -a}{b-a}=\theta$ 即 $\xi = a + \theta (b-a)$

?特殊地， $\frac{f(x)-f(0)}{x}=f'(\theta x),\theta \in (0,1),b=x,a=0$

推論：

?若 $f(x)$ 在(a,b)內(nèi)可導且 $f'(x)\equiv 0$ ，則 $f(x)$ 在(a,b)為常數(shù)

柯西中值定理

設(shè)函數(shù) $f(x)$ 和 $g(x)$ 滿足：

1、在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)

2、在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導

3、 $g'(x) \not = 0$

則存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$

泰勒公式

求 $f^{(n)}(x)$

法1：常見

$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+……+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o[(x-x_0)^n]$

$f^{(n)}(x)=a_n*n!\ \ \ a_n=+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$

法2：拉格朗日余項

帶拉格朗日余項的==n階==泰勒公式： $f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+……+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$

其中， $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$ ??拉格朗日余項

判斷使用依據(jù)：高階等式/高階不等式證明

導數(shù)應(yīng)用

單調(diào)性

一階導、區(qū)間性

$f(x)$ 在區(qū)間可導且 $f'(x_0)>0(<0)$

? $\not =>$ 在某點附近單調(diào)增(減)

在x=0處具有一階連續(xù)導數(shù)且 $f'(0)>0(<0)$ /在x=0處具有二階導數(shù)

? $=>$$lim_{x \to 0}f'(x)=f'(0)$

? $=>f(x)$ 在x=0附近單調(diào)增(減)

極值(局部最大值/最小值)

不是所有點都大于/小于極值

$極值點可疑點\begin{cases} 駐點 \\ 不可導點 \end{cases}$

$\begin{cases} 可導點\begin{cases} 駐點 \\ 其他點 \end{cases} \\ 不可導點 \end{cases}$

若 $x_0$ 是可導極值點，則 $x_0$ 必是駐點，即 $f'(x_0)=0$

充要條件：

?一、已知連續(xù)點 $x_0$ 是駐點或不可導點，則

? $\begin{cases} f'(x)在x_0兩側(cè)異號\begin{cases} 左正右負：極大值 \\ 左負右正：極小值 \end{cases} \\ f'(x)在x_0兩側(cè)同號：不是極值 \end{cases}$

?二、已知 $x_0$ 是駐點，則

?? $\begin{cases} f''(x)\not = 0\begin{cases} 若<0:極大值 \\ 若>0:極小值 \end{cases} \\ f’'(x)=0，方法失效：按定義或第一充分條件重做 \end{cases}$

凹凸性

定義：

凹： $\forall x_1<x_2$ ，均有 $f(\frac{x_1+x_2}{x})<\frac{1}{2}[f(x_1)+f(x_2)]$

凸： $\forall x_1<x_2$ ，均有 $f(\frac{x_1+x_2}{x})>\frac{1}{2}[f(x_1)+f(x_2)]$

凹凸性定理

$f''(x)<0$ ， $x \in (a,b) \to y = f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是凸的 $f''(x)>0$ ， $x \in (a,b) \to y = f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是凹的

拐點

	極值點	拐點
定義	局部最值點	凹凸性改變的臨界點
可疑點	駐點與不可導點（一階導）	二階導零點與二階導不存在點（二階導）
必要條件	可導極值點必為駐點	二階可導的拐點必是二階導的零點
充分條件1	f'(x)在x0兩側(cè)異號	f‘’(x)在x0兩側(cè)異號
充分條件2	f'‘(x0)不等于0	f'''(x0)不等于0