歌德爾艾舍巴赫——一條美麗的黃金帶

這個故事首先要從數(shù)學(xué)危機談起，數(shù)學(xué)危機這個詞聽起來有點高大上，其實說白了很簡單的，數(shù)學(xué)危機其實就是在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中所產(chǎn)生的一些自我矛盾的地方，任何一個系統(tǒng)在邏輯上要滿足自洽、他洽、續(xù)洽。如果做不到就會產(chǎn)生自我矛盾，數(shù)學(xué)危機就是這樣產(chǎn)生的。

第一次數(shù)學(xué)危機是無理數(shù)危機，在古希臘的時候，有一個學(xué)派叫做畢達哥拉斯學(xué)派，這個學(xué)派崇尚萬物皆數(shù)，畢達哥拉斯說世界上萬物都是由確切的數(shù)構(gòu)成的。他最重要的一個理論成果就是畢達哥拉斯定理，在我們中國叫勾股定理，勾三股四弦五，有一天畢達哥拉斯的一個叫希帕索斯的學(xué)生就跑過來說：老師你太偉大了，三的平方加四的平方等于五的平方，這個這么美妙的秘密都被你發(fā)現(xiàn)了，不過老師啊，一的平方加一的平方等于幾的平方呢？這畢達哥拉斯就抓瞎了，這怎么辦呢？畢達哥拉斯想了想，不行把這貨弄死吧！叫你丫多嘴！于是就把這家伙扔海里弄死了。

其實這個性質(zhì)就叫做不可通約性， 在自然數(shù)環(huán)中是沒有辦法解決這個問題，這個問題的解決直到引入了無理數(shù)，引入到新的形式化系統(tǒng)才解決的。

第二次數(shù)學(xué)危機，是由芝諾悖論引起的極限危機，故事是這樣的， 阿基里斯與烏龜，阿基里斯與烏龜賽跑，他的速度是烏龜?shù)氖?，但是這個問題可以這樣想當(dāng)阿基里斯跑到烏龜?shù)哪莻€位置的時候烏龜又向前走了一段距離，而再重復(fù)這個動作的時候，阿基里斯到下一個烏龜所在的點時，烏龜又已經(jīng)不在那個點上了，那么實際上阿基里斯永遠不可能追上烏龜?shù)?，這就是芝諾悖論。這個思想和莊子所說的一尺之錘日取其半，萬世不竭是一個道理。這個悖論其實是說明數(shù)的無窮特性，我們總以為說自然數(shù)域是無窮的，一個個層疊加上去有無數(shù)多個數(shù)，但其實數(shù)與數(shù)之間了也是無窮多個的，比如說1和2之間有多少個數(shù)呢？答案是無數(shù)個，在無窮的性質(zhì)中，你只要能找出一個數(shù)和2已經(jīng)是最接近了，但你總能構(gòu)造一個數(shù)比原來那個數(shù)和2之間的距離更小，這個概念在數(shù)學(xué)中就叫做極限。第二次數(shù)學(xué)危機的直接后果就是導(dǎo)致了我們現(xiàn)在的高等數(shù)學(xué)中的微分與積分的出現(xiàn)，人們對純形式化符號的數(shù)學(xué)其邊界的理解又更深了一層。

第三次數(shù)學(xué)危機是在1897年出現(xiàn)的，這也是一個悖論論引出的，叫做理發(fā)師悖論，也叫羅素悖論。具體的內(nèi)容就是一個小鎮(zhèn)上的一個理發(fā)師說，我只給這個小鎮(zhèn)上不給自己理發(fā)的人理發(fā)。如果這句話是真的，那么他到底要不要給自己理發(fā)呢？

這個悖論涉及到了集合的知識。我盡量用簡單的方法去解釋這個問題。但要解釋這個先要討論其他一些問題。

我們來看一個簡單的悖論，

第一句話，下面這句話是真的。

第二句話，上面這句話是假的。

那么好，問題來了，這兩句話是自相矛盾的，你接受其中一條就必須放棄另一條，不然你自身的邏輯就會出現(xiàn)混亂。當(dāng)然還有更極端的一種情況，我說的這句話是假話。想必到這里大家已經(jīng)糊涂了，這些悖論到底說的是什么？

也許從其他的角度可以解釋這些悖論。

先來看看我比較喜歡的一個畫家的畫，艾舍爾的《瀑布》。

恩，圖有點小，不過應(yīng)該能看清楚，其中的奧妙大家可以自己體會，與之類似的畫還有很多，比如《城堡》。

這些畫其實都是利用人眼對環(huán)境的識別機制所產(chǎn)生的錯覺，在走完一個上下的過程之后又重新回到了原點。除了繪畫以外，還有一個比較有意思的領(lǐng)域就的音樂，在古典音樂里面有一種叫做卡農(nóng)。作者使用一種巧妙的編曲手段，使得一個上升音階在進行完之后，又重新回到了原點。這種卡農(nóng)就叫做無限升高的卡農(nóng)，這種卡農(nóng)和艾舍爾的畫有異曲同工之妙。

好了說了這么多我想大家都迷糊了。我到底想說什么？包括畫與音樂，其實都與數(shù)有一樣的性質(zhì)，這在計算機科學(xué)中就叫做循環(huán)與嵌套。

我以前常有一個想法就是如果給我一個神燈我要許一個愿望的話我就許我要再許一百個愿望。這個問題就回到了之前的那個理發(fā)師悖論了。這樣的話愿望就會無窮無盡了對不對？但是這是不可能的，一旦這么做，你就會陷入理發(fā)師一樣的矛盾。

就和解決數(shù)學(xué)危機的方法是一樣的，在原本的形式化系統(tǒng)中，已經(jīng)無法解決這種內(nèi)部矛盾。只能將這種矛盾上移，產(chǎn)生新的，討論范圍更廣的形式化系統(tǒng)。比如你要許一個再來一百個愿望的愿望，你必須有一個更高級的愿望，我們可以叫做元愿望。而如果要實現(xiàn)元愿望就需要實現(xiàn)元元愿望。這樣一直下恐怕我們只能去找造物主了。

但是這種思想在數(shù)學(xué)中就有一個專有名詞——遞歸。

在計算機中這就是最基本的編程方法，所以任何一種計算機的編程語言要描述所有的程序和動作只需要三種動作——循環(huán)、嵌套、遞歸，就可以描述整個程序的運行流程。這就是形式化系統(tǒng)的力量。

下面就是整個討論的核心內(nèi)容，什么是形式化系統(tǒng)。形式化系統(tǒng)并不一定是數(shù)學(xué)，其實質(zhì)是現(xiàn)實到抽象世界的映射。而這種映射到的東西其實是不重要的。比如說這種映射可能產(chǎn)生繪畫，產(chǎn)生音樂的藝術(shù)，也可以是數(shù)學(xué)，這幾個映射可以是同構(gòu)的。

同構(gòu)是一個數(shù)學(xué)上的名詞，原本是描述數(shù)學(xué)中代數(shù)關(guān)系的相似性的。但其實對于從現(xiàn)實到形式化系統(tǒng)只要滿足相似的映射關(guān)系兩者之間都是同構(gòu)的。

甚至我們可以說兩個人之間都是同構(gòu)的，因為滿足基本的映射關(guān)系（當(dāng)然人與人是不同的）。

生活中一個最簡單的同構(gòu)關(guān)系，就是聲音和留聲機，聲音通過留聲機在唱片上形成了深淺不一的紋路。這種紋路和聲音之間必然是同構(gòu)的，這其實是聲音系統(tǒng)在物理碟片上的映射。

對，其實形式化系統(tǒng)就是現(xiàn)實世界在抽象世界的一個映射。只不過映射的方法多種多樣，但這種映射關(guān)系的邏輯結(jié)構(gòu)都是一致的。

在數(shù)學(xué)中一個比較成功的例子就是幾何學(xué)。想必大家都學(xué)過對吧？在傳統(tǒng)的歐幾里德幾何學(xué)中我們知道，歐幾里得僅從幾條公理就推出了整個幾何學(xué)的大廈，但這一定是對的嗎？其實這只是平面幾何，因為最開始的幾條公理就不一定是絕對的，所以最后的結(jié)論也不是絕對的。這只是平面當(dāng)中的幾何，但我們生活的世界真的是平面的嗎?顯然我也不知道，但只要這種描述關(guān)系是正確的就可以了。我們就可以用這種幾何學(xué)來形容我們的世界，至于其他的非歐幾里德幾何學(xué)又是其他的形式化系統(tǒng)了。

那么好我們理解了什么是形式化系統(tǒng)了，我們就必須理解形式化系統(tǒng)的本質(zhì)。所謂形式化系統(tǒng)其實就是抽象化的信息載體。

這里不就不說信息論中對信息的定義了，僅討論一下信息的載體語言。首先語言其實就是一種形式化的系統(tǒng)，語言的最大作用就是承載信息。而這種信息的承載也是有很明確的層次的。就以這篇文章來說，對于一個不懂中文的小孩來說這篇文章就是一個電子文檔，這種判斷并不需要你認識中文，只需要你懂得一些常識就可以了，這叫做信息的框架。第二層，你也不用理解這是什么內(nèi)容，但你也很容易判斷出來這是用中文寫的文章，這叫做外在的信息表現(xiàn)。第三層就必須要你用中文的知識去理解這篇文章所表達的信息，這就是信息的內(nèi)在。但這還沒有完，在任何一種文字中，其所表達的很可能是在文字之外的東西，這個就叫做隱喻。對于一個外星人來說，如果得到了這篇文章它很容易判斷里面有信息，它所需要做的就是把這信息里的東西提取出來，翻譯成他們自己的文字就可以了，是不是覺得很眼熟？

對！這個過程也是同構(gòu)，只不過在不同的信息系統(tǒng)中同構(gòu)可能會有一些細微的差別。

比如在英語中，對一個不認識的詞總可以很輕松的讀出來，因為英文是典型的表音文字，其中含有大量的語音信息，但每個中文漢字都必須要有人教才能讀出來，這也就是為什么會有這么多人會讀錯字的原因。相反漢字中的語意信息很多，很多字一寫你不一定認識但常?？梢圆鲁鍪裁匆馑迹@也是為什么解讀甲骨文要比解讀線性文字容易得多的原因。

總之這些語言系統(tǒng)其實都是形式化的信息載體，而其中他們之間其實都是同構(gòu)的。

好了，我要放大招了。那么人體是不是形式化系統(tǒng)呢？是的，也是，其實人體也是一套信息的處理機制，就以最簡單的人眼來說吧？我們都知道人是通過視網(wǎng)膜來讀取信息的呢？其實原理都是一樣的，視神經(jīng)只能感覺到光的強弱變化，也只需要將光在單個細胞上所產(chǎn)生的刺激轉(zhuǎn)化成電信號就可以了。對！人眼就是一個傳感器，只不過構(gòu)造十分精巧，而他所解讀的基本信號和計算機是一樣的。都是二進制信息，但二進制和十進制在數(shù)學(xué)意義上是同構(gòu)的。只是一種形式化符號而已。對！人腦對信息的處理方法在底層和電腦是一樣的。

所有的現(xiàn)實現(xiàn)象，都可進行抽象，而實際上這兩種形式系統(tǒng)是互通的，是互相影響的。人其實也只是信息的載體，也通過一套形式化系統(tǒng)來處理信息，從某種意義上來說人就是一個函數(shù)，接受外部系統(tǒng)的信息，轉(zhuǎn)化成內(nèi)部信息的形式化，然后處理信息后又轉(zhuǎn)化成新的形式信息輸出。想到什么了？留聲機，對！性質(zhì)是一樣的。

講到這里我就要翻底牌了，那人與人的區(qū)別在哪呢？

答：形式化系統(tǒng)中，系統(tǒng)的范圍與符號量的不同。接受外部信息是一樣的，怎樣才會有不同的輸出呢？數(shù)學(xué)危機已經(jīng)告訴了我們答案。當(dāng)你在有理數(shù)域解決不了問題的時候，就出現(xiàn)了不可通約性。當(dāng)在有窮范圍內(nèi)解決不了問題的時候就出現(xiàn)了極限與無窮，當(dāng)在集合內(nèi)部產(chǎn)生悖論的時候就需要引入元命題和嵌套將問題分層。在實數(shù)域內(nèi)解決不了問題的時候，自然就出現(xiàn)了虛數(shù)。

解決形式化系統(tǒng)內(nèi)部矛盾的方法就是拓展這個系統(tǒng)，增加這個系統(tǒng)的符號量。這也就是為什么有的人語言貧瘠，想象力匱乏，因為他沒有接觸過，所以他不可能有那么好的想象力。

什么是專家？專家就是掌握了更多的專業(yè)詞匯，他們在某個領(lǐng)域有更深的理解，懂得更多的在語言上的符號的意義。

這些語言上的符號所表達的信息其實是更深入的，但我們一般人是很難理解的。比如說一個精通音樂的人，只要提出C小調(diào)馬上就能知道那是一個什么樣的旋律，因為他腦海中建立了這樣的一個形式化系統(tǒng)的抽象，而我們一般人的腦海中是沒有這樣的映射的。同樣的在不同的文化中這種效果也是不同的，英國人就更能分辨手套的不同，為什么？因為在他們語言系統(tǒng)中Glove和mitten壓根就是兩個東西。同樣對于北方人來說，很多人直接都分不清粉和粉絲的區(qū)別，而這對于一個南方人來說是很容易的。

對這就是形式化系統(tǒng)的力量。這也是為什么小地方不與外人接觸的村莊中民風(fēng)都比較淳樸的原因，因為他們所使用的語言中的符號量太小了，很多東西都沒有辦法思考。對！所有的思考都是通過形式化系統(tǒng)實現(xiàn)的，當(dāng)然這種系統(tǒng)不一定是語言，也可以其他什么東西，但是一但這種符號量過少，思維就容易遲鈍。

我們都知道古漢語中有很多通假字對不對？其實原因很簡單，因為那個時候壓根就沒有那么多字，整個論語幾乎把當(dāng)時所有的字都用完了，也就兩千多個字，那要表示意思怎么辦？只能通假了。

所以要成為一個會思考的人應(yīng)該怎么辦？

答：不斷拓展你身體內(nèi)的形式化系統(tǒng)，接受、創(chuàng)造更多符號、概念，拓展你的域，這樣在寫作、思考，討論問題你的思維才能夠更活躍，因為思想是建立在你所能抽象的形式化系統(tǒng)之上的，這個系統(tǒng)越完善，你所能理解的知識也就越多。