? 邏輯會把你從A帶到B，想象力能帶你去任何地方。---- 愛因斯坦
? 想象力比知識更重要，因為知識是有限的，而想象概括著宇宙的一切，推動著社會進步，并且是知識進化的源泉。嚴格地說，想象力是科學(xué)研究中的實在因素。----愛因斯坦
? 數(shù)學(xué)發(fā)明創(chuàng)造的動力不是推理，而是想象力的發(fā)揮。----數(shù)學(xué)家德摩根
什么是想象
? 內(nèi)容自己看，見想象https://baike.baidu.com/item/%E6%83%B3%E8%B1%A1/5134
想象的認識功能與解題功能
? 想象是一種思維形式，和邏輯思維相比，它是自由的靈活的，具有跳躍性，而邏輯思維偏于循規(guī)蹈矩、定向、模式固化。
? 在人類許多領(lǐng)域中，都有想象思維的身影，例如在文學(xué)藝術(shù)的創(chuàng)作與欣賞中，在哲學(xué)研究中、在科學(xué)研究中、在日常生活中。通過想象，可以不受時空和現(xiàn)實的制約，打破邏輯思維僵化的藩籬，擴展人類的認識。
? 想象在數(shù)學(xué)思維中是非常重要的創(chuàng)造性思維活動，合情合理地猜想、設(shè)想、構(gòu)想，也就是通過想象，化隱為顯，可以直接把需要的事物想象出來，把數(shù)學(xué)模式想出來，而不是靠邏輯推理出來，這些隱藏的或不存在的或難以到達的事物單憑邏輯推理是難以發(fā)現(xiàn)、發(fā)明、到達的。
? 如下圖，在沙漠中的一條公路，邏輯之車只能沿著公路到達A、B、C、D，到不了E和F，而一些非邏輯思維如想象、直覺、靈感、聯(lián)想、類比等卻可以帶我們到這些地方(E、F)，我們尋覓的東西可能就位于E或F處。
? 初中數(shù)學(xué)中對多項式進行因式分解時，有時就會運用想象，合情合理地設(shè)想或預(yù)見多項式為多個因式相乘的結(jié)構(gòu)形式，再結(jié)合待定系數(shù)法確定這些因式的系數(shù)。
? 想象(嚴格來說是非邏輯思維)與邏輯推理在一定程度上互補(結(jié)合)，彌補了邏輯思維在創(chuàng)造性、超現(xiàn)實性方面的先天不足&局限性，體現(xiàn)了想象的“補充作用、預(yù)見作用、代替作用”。
? 我們的數(shù)學(xué)教育界提到想象，口頭上和書籍中言必稱“直觀想象”，他們關(guān)于想象的內(nèi)容，全都是“直觀想象”，也就是把“想象”等同于“直觀想象”，還把“直觀想象”作為數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)之一。其實，只有“直觀想象”是錯誤的，數(shù)學(xué)中的想象不是只有“直觀想象”，還有很大一部分是和圖形圖像無關(guān)的非直觀想象。
? ?數(shù)學(xué)既鍛煉邏輯思維能力，更鍛煉非邏輯思維能力。數(shù)學(xué)思維高人的思維水平和功底體現(xiàn)在非邏輯思維方面，例如想象、直覺、聯(lián)想、類比等，而不是邏輯思維。鍛煉邏輯思維能力實在不難，難在非邏輯思維。
? ?數(shù)學(xué)知識(主要是陳述性知識)和數(shù)學(xué)思維是兩碼事，絕大多數(shù)數(shù)學(xué)知識不難掌握，難在領(lǐng)悟通透系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維之道。掌握的數(shù)學(xué)知識不多，但數(shù)學(xué)思維能力強是可能的。而掌握很多數(shù)學(xué)知識，并不意味著數(shù)學(xué)思維能力就強，它們很大程度不成正比，掌握很多數(shù)學(xué)知識的人不少，但領(lǐng)悟通透系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維之道的人極少。專業(yè)玩數(shù)學(xué)的人很多不一定如廣大吃瓜群眾想象的那么聰明(思維能力強),他們主要就是掌握的數(shù)學(xué)知識多, 執(zhí)著勤奮，浸淫數(shù)學(xué)多年，看的數(shù)學(xué)書多，做的題多，研究時間長，手熟爾。而即便一個高中生，如何他真正領(lǐng)悟了通透系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維之道，那他的數(shù)學(xué)思維能力就比絕大多數(shù)數(shù)學(xué)博士、教授要強，雖然他掌握的數(shù)學(xué)知識不如后者多。
想象與合情合理設(shè)想&推理解題實踐
? ? 合情合理的設(shè)想&猜想&推理是一種數(shù)學(xué)思想方法，合情地設(shè)想思維方向、合情設(shè)想和確定下一階段的探索目標(biāo)，合情設(shè)想問題的數(shù)學(xué)模式。例如利用待定系數(shù)法進行因式分解時先要合情合理地設(shè)想出多個因式相乘的結(jié)構(gòu)模式，接下來確定其中的待定系數(shù)。有時在待定系數(shù)數(shù)量較多，且系數(shù)方程次數(shù)超過一次時，還要合情合理地對部分系數(shù)賦予特殊值代入系數(shù)方程，嘗試求出其它系數(shù)，例如6個系數(shù)中有兩個系數(shù)b1、b2，它們的乘積b1*b2=2,此時可以優(yōu)先合情設(shè)想特殊值對(1,2)、(-1,-2)代入系數(shù)方程。
? 前面的文章也講過這種思想，例如用于不等式解題等。這里再用一道初中幾何題來進一步闡釋，這題是在頭條一位老師"初高數(shù)學(xué)微課"那里看到的。題目如下圖，第3問求最小值，前兩問跳過不管。
? ?看到第3問的圖3，感覺和胡不歸、阿氏圓、將軍飲馬似曾相識，但由于D、G都是動點，所以一對比可以判斷都不是這些，或者說只是形似，談不上神似,也就是在本質(zhì)上是不同的。另外瓜豆題型也不適用。
? ?對這種類型的題，我讀初高中時沒碰到過，高中畢業(yè)后幾十年不玩數(shù)學(xué)，不在教育和培訓(xùn)行業(yè)，只是最近兩三年開始由于某種原因在業(yè)余時間玩下初高中數(shù)學(xué)題，也不看數(shù)學(xué)教材和數(shù)學(xué)參考書，就憑初高中自學(xué)數(shù)學(xué)時領(lǐng)悟的數(shù)學(xué)思維方法論來寫這些文章和破解數(shù)學(xué)題。
? ?此時碰到這題，我仍是借助于領(lǐng)悟的數(shù)學(xué)思維方法論，從方法論這個工具箱中搬出一些思維方法和思想方法來指導(dǎo)我探索解題方法，探索解題突破口，因為這些思維方法和思想方法可以指導(dǎo)我怎么想(思維的形式)和想什么(想的內(nèi)容，或?qū)?nèi)容對各種數(shù)學(xué)對象做些什么操作，做些什么變換和變化)，例如"合情合理的設(shè)想"這種數(shù)學(xué)思想就提醒我要這樣想(想的內(nèi)容)：要設(shè)想出某種模式，在這道題中就指導(dǎo)我設(shè)想出最小值模式、某個定點到G點的距離恒等于根號5/5*DG這個關(guān)系模式?！邦惐人季S”也指導(dǎo)我這樣想：和將軍飲馬類似的最小值模式。
? ?我的第一種原創(chuàng)方法是運用類比思維和如下數(shù)學(xué)思想方法：模式思想、物化思想、合情合理的設(shè)想，其中隱含有轉(zhuǎn)化思想和構(gòu)造思想。
? 借用或類比將軍飲馬的形似，合情設(shè)想/合情猜測出這道題可能的最小值模式：在BC下方存在定點E，且對在BC線段上任意的G點，恒有成立。此時顯然所求的最小值就是AE(A、G、E三點共線)。設(shè)想的最小值模式如下圖。
? ?物化思想先前也講過，就是化虛為實，將虛的事物、概念、關(guān)系等實物化(實體化)、對象化。此處就是將虛的化為實實在在的GE對象。
? ?下面求定點E，確定它是否存在，合情合理的設(shè)想和推理具有或然性，有可能并不成立，不像邏輯推理在它的框架下具有必然性確定性。
? ?在探索這個解題方法的過程中，我們運用了聯(lián)想思維、類比思維和比較判斷，運用了如下數(shù)學(xué)思想方法：模式思想、物化思想、合情合理的設(shè)想&假設(shè)法、構(gòu)造思想。也就是通過做這道題，熏陶和鍛煉了我們的這些思維方法和思想方法。
? ?題外，求出定點E后，易知角BEC為135度。
? ?第二種原創(chuàng)方法就是直接用解析幾何坐標(biāo)法，以B為原點，BC和BA為X、Y軸建立直角坐標(biāo)系。
? 設(shè)BG為x,可直接求出的代數(shù)式，否定之否定，再根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，得到對應(yīng)的幾何圖形，使用數(shù)形結(jié)合思想，如下圖。
? 由勾股或兩點間距離公式可求出最小值為AE=16，故所求最小值為16。
? 方法一和方法二找的定點是相同的，這兩種方法找定點其實是一正一反。
? ?第三種方法是這位老師的方法，很好的純幾何法，最終也是找到一個定點。由于未向這位老師申請在我文章中公開該方法的許可，就不介紹了，望理解。
你為何想不到？為何不知道怎么想？為何不知道想什么？
? ?在解決問題的思維過程中，在對問題已經(jīng)有清晰了解的情況下，你為何想不到(解決方案)？也就是為何出現(xiàn)思維障礙？
? ?原因是多方面的，綜合的，例如：
? ?可能是由于知識貯備不夠，不熟悉或沒學(xué)過與問題有關(guān)的知識，巧婦難為無米之炊；
? ?有可能是時間太短，來不及深入思考；
? ?有可能是身體或情緒原因；
? ? 有可能是外界環(huán)境因素。
? ?排除上面這些原因，在數(shù)學(xué)解題思維過程中，很多時候“想不到”不是沒掌握好數(shù)學(xué)知識，而是思維能力差，所學(xué)知識難以轉(zhuǎn)化成解題能力。碰到問題時不知道怎么想，不知道想什么，看問題沒有正確的眼光，不知道做些什么，不知道怎么變，找不到合適的思維起點和思維方向，找不到問題突破口。
? ?怎么熏陶和鍛煉思維能力？首先要明白思維方法和思想方法的作用和價值是什么，第二是學(xué)習(xí)悟道高人(領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)思維之道的人)的解題思維過程，多回味他的思維之道。第三是在解題實踐中有意識運用思維之道，在解題思維過程中體驗到思維方法和思想方法的作用。第四是總結(jié)反思，形成自己的思維方法論體系。
? ? 通過第兩種方法，我們應(yīng)該能進一步體會到思維方法和思想方法的最直接的作用和價值，它們好比是有靈性的有智慧的智囊團，也就是它們可以指導(dǎo)和啟發(fā)你在解題時：怎么想（思維形式）？想什么(思維的內(nèi)容）？怎么看(看問題的眼光、觀點和視角方向）？做些什么？怎么做？策略有哪些？在它們的引導(dǎo)下就容易發(fā)現(xiàn)解題突破口，容易探索發(fā)現(xiàn)解題方法，所以它們也是解題方法之母，產(chǎn)生解題方法的，如果不領(lǐng)悟它們，就不容易找到解題方法，也就是難產(chǎn)，不知母焉知子？
? ?數(shù)學(xué)知識相對而言幾乎都是僵死的，沒有智能和靈性的，當(dāng)然在破題階段也需要數(shù)學(xué)知識的配合參與，但它們在此時一般不唱主角，而是充當(dāng)賣苦力(體力)的被動角色，等待被激活利用和調(diào)動差遣。
? ?初高中和大學(xué)階段的數(shù)學(xué)難，其實主要在難以領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思維，很多人雖然掌握了許多數(shù)學(xué)知識，但思想空洞，思維僵化，或思維層次不高，碰到有些難度的數(shù)學(xué)問題，不知道怎么想，不知道想什么，想不到，這就是數(shù)學(xué)難的主要表現(xiàn)。相對而言數(shù)學(xué)知識大多數(shù)都不算難，其實很多數(shù)學(xué)知識通過自學(xué)就能掌握，不需要依賴數(shù)學(xué)老師。
? ?形式與內(nèi)容是辯證法的一對矛盾概念，對立又統(tǒng)一。各種思維方法主要決定了你的思維形式，例如類比思維就啟發(fā)引導(dǎo)你進行類比，它也對指導(dǎo)你想些什么(你的思維內(nèi)容)起到指導(dǎo)啟發(fā)作用；而各種思想方法主要指導(dǎo)啟發(fā)你的思維內(nèi)容(碰到問題時想些什么，想的內(nèi)容)和對內(nèi)容的各種操作和變換(對數(shù)學(xué)題和題中的數(shù)學(xué)對象、想到的內(nèi)容做些什么，例如進行平方，進行旋轉(zhuǎn)變換，進行加減等操作和變化)。
? ?知識的性質(zhì)是僵死的，思維的性質(zhì)是靈性的智能的，要靠通透的系統(tǒng)的思維方法論給力。
