在游戲編程或者傳統(tǒng)三維軟件中，點(diǎn)和矢量是特別容易混淆的，因?yàn)樗鼈兊谋硎痉椒ǘ家粯?。比如一個(gè)點(diǎn)P，它的坐標(biāo)表示為P=(x,y,z)，但是矢量的表示方法也是如此，那它們到底有什么區(qū)別呢？

點(diǎn)表示的是空間中的一個(gè)位置，它沒(méi)有方向、大小、長(zhǎng)度這類(lèi)的概念。

而矢量是一段包含了長(zhǎng)度（又叫做模）和方向的有向線(xiàn)段，它也經(jīng)常被稱(chēng)為向量。我們常說(shuō)的速度，就是一種典型的矢量。

與矢量形成對(duì)比的，叫做標(biāo)量。標(biāo)量是一種只有長(zhǎng)度、沒(méi)有方向的數(shù)學(xué)概念。生活中常提到的距離，它其實(shí)就是一種標(biāo)量。

在這里，我們主要了解矢量，因?yàn)樗灤┯谟螒蚓幊痰氖冀K。對(duì)于矢量來(lái)說(shuō)，只有它的模和方向保持不變，無(wú)論放在任何位置，都是同一個(gè)矢量。比如說(shuō)下面的矢量a 和 矢量b，盡管它們?cè)谧鴺?biāo)系中的位置不同，但是它們的模和方向都是相同的，因此，它們是同一個(gè)矢量。矢量通常被用于表示相對(duì)于某個(gè)點(diǎn)的偏移。

矢量可以和矢量做運(yùn)算，也可以和標(biāo)量做運(yùn)算。

矢量和標(biāo)量的乘/除法

矢量和標(biāo)量的運(yùn)算比較簡(jiǎn)單，它們之間只能做乘除法，不能做加減法。矢量和標(biāo)量相乘，只需要矢量的每個(gè)分量和標(biāo)量相乘即可，而矢量除以標(biāo)量，相當(dāng)于乘以標(biāo)量的倒數(shù)。

從幾何意義來(lái)看，矢量乘以一個(gè)正標(biāo)量k，相當(dāng)于將矢量擴(kuò)大了k倍，方向不變；而乘以一個(gè)負(fù)標(biāo)量，矢量不僅擴(kuò)大了|k|倍，方向也會(huì)取反。

矢量的加/減法

兩個(gè)矢量相加減，只需要將每個(gè)矢量的對(duì)應(yīng)分量相加減即可，最后的結(jié)果是得到一個(gè)新矢量。

矢量的加減法，它表達(dá)的是偏移的幾何意義。

以加法為例，矢量a + 矢量b，它表示的是：一個(gè)點(diǎn)，從a的起始位置出發(fā)，便偏移了a，接著又偏移了b，就等同于進(jìn)行了一個(gè)a+b的位移。這里的矢量a、b，它們的首尾是相連的。

如果a、b首尾不相連，就變成了減法，a-b，表示的是a相對(duì)于b的偏移。

矢量的點(diǎn)積

矢量之間也可以進(jìn)行乘法，通常有兩種類(lèi)型：點(diǎn)積和叉積。先來(lái)說(shuō)說(shuō)點(diǎn)積。

矢量的點(diǎn)積有兩種公式，第一種是矢量之間對(duì)應(yīng)分量的乘積之和，也就是：

從公式可以看出，點(diǎn)積是滿(mǎn)足乘法交換律的，也就是a * b = b * a。

點(diǎn)積可以用來(lái)判斷兩個(gè)矢量之間的方向夾角關(guān)系。

如果 a * b > 0,說(shuō)明a和b是銳角關(guān)系；

如果 a * b = 0,說(shuō)明a和b是直角關(guān)系；

如果 a * b < 0,說(shuō)明a和b是鈍角關(guān)系；

在游戲編程中，也通常使用點(diǎn)積來(lái)計(jì)算投影，這和求矢量方向夾角是同一個(gè)道理。

另外，點(diǎn)積可以和標(biāo)量進(jìn)行乘法運(yùn)算，并且符合乘法的結(jié)合律。

點(diǎn)積還可以結(jié)合矢量加法做運(yùn)算，相當(dāng)于求點(diǎn)積之和。

一個(gè)矢量和本身進(jìn)行點(diǎn)積，結(jié)果是這個(gè)矢量模的平方。

這里有說(shuō)到矢量的模，它的求法等于矢量各分量的平方和開(kāi)根號(hào)，即：

另外，模為1的矢量，被稱(chēng)為單位矢量，也叫做歸一化矢量。

矢量的第二種公式是：

矢量的叉積

矢量的另一種乘法運(yùn)算叫做叉積，和點(diǎn)積不同的是，叉積的結(jié)果仍然是一個(gè)矢量，而非標(biāo)量。

兩個(gè)矢量的叉積用a X b來(lái)表示，這個(gè)x號(hào)不同于數(shù)學(xué)的乘號(hào)，這點(diǎn)不要混淆。叉積計(jì)算也有兩種公式，第一種是：

叉積不滿(mǎn)足交換律，即 a X b ≠ b X a，但它滿(mǎn)足反交換律，即a X b = -( b X a)

叉積也不滿(mǎn)足結(jié)合律，即 (a X b) X c ≠ a X (b X c)

從幾何意義來(lái)講，兩個(gè)矢量叉積的結(jié)果，會(huì)得到一個(gè)同時(shí)垂直于這兩個(gè)矢量的新矢量，這個(gè)新矢量的模很好計(jì)算，既可以通過(guò)模公式來(lái)得到，也可以通過(guò)矢量a、b以及他們之間的夾角θ來(lái)得到

對(duì)于新矢量的方向，它可能存在兩個(gè)完全相反的方向，要確定具體哪個(gè)方向，就要看使用的左手坐標(biāo)系還是右手坐標(biāo)系。

要求a X b 新矢量的方向，如果是左手坐標(biāo)系，伸直左手拇指微握其他四指，指背與矢量a方向垂直，四指彎曲方向朝矢量b靠攏，這是拇指指向的方向，就是新矢量的方向。

同樣地，如果是右手坐標(biāo)系，則伸出右手按照同樣的法則來(lái)判斷方向。

叉積在游戲編程中，經(jīng)常用于計(jì)算垂直于一個(gè)平面、三角形的矢量。另外，還可以用于判斷三角面片的朝向。