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坐標(biāo)基

一組向量 $V = {v_1， v_2， v_3， \cdots, v_n}$ ，如果存在至少一個(gè) $c_i \ne 0, i = 0, 1, 2, \cdots, n$ 使得下列等式滿足：
$v_1 c_1 + v_2 c_2 + \cdots + v_n c_n = 0$
我們稱 ${v_1， v_2， v_3， \cdots, v_n}$ 是線性相關(guān)的，否則稱這一組向量是線性無關(guān)的。

一組線性無關(guān)的向量成為這組向量張成的子空間的一組基。

坐標(biāo)

對(duì)于向量空間的某一個(gè)向量 $\overrightarrow{C}$ ，它可以表示為這個(gè)向量空間的坐標(biāo)基的線性組合：
$\overrightarrow{C} = v_1 c_1 + v_2 c_2 + \cdots + v_n c_n$
那么 $(c_1, c_2, \cdots, c_n)$ 成為該向量在該坐標(biāo)基下的坐標(biāo)值。

這里很重要的一點(diǎn)就是：沒有坐標(biāo)基談坐標(biāo)值是沒有意義的。

我們最熟悉的是三維空間坐標(biāo)，經(jīng)常說某個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為 $P = (p_x, p_y, p_z)$ ，這里已經(jīng)有一個(gè)假設(shè)就是我們使用的是三維空間的標(biāo)準(zhǔn)基：
$\begin{aligned} i &= [1,0,0]^T \\ j &= [0, 1, 0]^T \\ k &= [0, 0, 1]^T \end{aligned}$

坐標(biāo)的唯一性

express_in_dif_coord.png

如上圖的二維坐標(biāo)中，在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系 $([1, 0]^T, [0, 1]^T)$ 下，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 $(1, 1)$ 。我們現(xiàn)在使用另外一組坐標(biāo)基 $([\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}]^T, [-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}]^T)$ ，那么該點(diǎn)在這組基下的坐標(biāo)就是 $(\sqrt{2}, 0)$ 。

上面的圖也說明一個(gè)問題：一個(gè)點(diǎn)在某一組基下的坐標(biāo)是確定的，但是隨著基的不同坐標(biāo)值是不同的。

不同坐標(biāo)系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

coordinate-transform.png

我們看在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系的點(diǎn) $P = (p_x, p_y)$ ，它跟著坐標(biāo)系一起圍繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了 $\beta$ 角度。旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)我們表示為 $P'$ 。現(xiàn)在我們想知道 $P'$ 在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系的坐標(biāo)。

點(diǎn) $P'$ 在旋轉(zhuǎn)之后的坐標(biāo)系的坐標(biāo)依然為 $(p_x, p_y)$ ，因?yàn)樗队暗絻蓚€(gè)軸上的距離是沒有變的。 $x'$ 也很容易知道是 $[\cos\theta, \sin\theta]^T$ ， $y'$ 是 $[-\sin\theta， \cos\theta]^T$ ，所以 $P'$ 在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系的坐標(biāo)表示為：
$\label{ocoord-to-trans-coord} P' = \begin{bmatrix}p_x'\\p_y'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p_x \cos\theta - p_y \sin\theta \\ p_x \sin\theta + p_y \cos\theta \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix}p_x \\p_y\end{bmatrix}$

那么反過來，點(diǎn) $P$ 在旋轉(zhuǎn)之后的坐標(biāo)系下的坐標(biāo) $(c_x, c_y)$ 是多少呢？

從公式上面公式我們可以知道：
$\begin{bmatrix}p_x\\p_y\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix}c_x \\c_y\end{bmatrix}$
我們可以得到
$\begin{bmatrix}c_x \\c_y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix}p_x \\p_y\end{bmatrix}$

其實(shí)我們還可以得到另外一個(gè)結(jié)論：

當(dāng) $x', y'$ 是用的局部坐標(biāo)基的時(shí)候，該點(diǎn)和坐標(biāo)基礎(chǔ)的組合表達(dá)的是坐標(biāo)原點(diǎn)和該點(diǎn)之間的局部向量，也就是在局部坐標(biāo)基下的向量；
當(dāng) $x', y'$ 是用的在某個(gè)坐標(biāo)系W下的向量表示的時(shí)候，該點(diǎn)和坐標(biāo)基礎(chǔ)的組合表達(dá)的是坐標(biāo)原點(diǎn)和該點(diǎn)之間的向量在W坐標(biāo)系下的向量。

坐標(biāo)架(Coordinate Frame)

coordinate-frame2.png

考慮上面的坐標(biāo)變換，坐標(biāo)基不但進(jìn)行了旋轉(zhuǎn)，還進(jìn)行了平移。這種情況下，只用上面的坐標(biāo)基變換明顯是不夠的。

coordinate-frame3.png

但是從這幅圖我們可以看出 $o'p$ 當(dāng) $x'$ 和 $y'$ 使用的是在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)基下的向量的時(shí)候表達(dá)的是 $o'p$ 在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)基上的表達(dá)，而要求 $p$ 在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)基下的坐標(biāo)，本質(zhì)上就是要求向量 $op$ 在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)基下的表達(dá)。從向量的三角關(guān)系很容易得知：
$\begin{aligned} \overrightarrow{op} &= \overrightarrow{o'p} + \overrightarrow{oo'} \\ &= \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix}c_x \\c_y\end{bmatrix} + \overrightarrow{oo'} \end{aligned}$
其中 $(c_x, c_y)$ 是點(diǎn)p在平移后的坐標(biāo)系的坐標(biāo)， $[\cos\theta, \sin\theta]^T$ 是 $x'$ 在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系中的表達(dá)， $[-\sin\theta， \cos\theta]^T$ 是 $y'$ 在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系中的表達(dá)。

假設(shè) $o'$ 的在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為 $t = (t_x, t_y)$ ，并且記
$R = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$
那么我們有
$\begin{bmatrix}p_x\\p_y\end{bmatrix} = R \begin{bmatrix}c_x\\c_y\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}t_x\\t_y\end{bmatrix}$

也就是說，要完整表達(dá)兩個(gè)坐標(biāo)之間的關(guān)系，不僅僅需要知道坐標(biāo)基之間的旋轉(zhuǎn)關(guān)系，還需要知道坐標(biāo)原點(diǎn)之間的關(guān)系。

我們把坐標(biāo)基以及坐標(biāo)原點(diǎn)一起叫做坐標(biāo)架(Coordinate Frame)。

三維空間坐標(biāo)架

三維空間是二維空間直接拓展，我們有如下公式：
$\begin{bmatrix}p_x\\p_y\\p_z\end{bmatrix} = R \begin{bmatrix}c_x\\c_y\\c_z\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}t_x\\t_y\\t_z\end{bmatrix}$

我們可以把坐標(biāo)擴(kuò)展成齊次坐標(biāo)，這樣旋轉(zhuǎn)和平移矩陣就可以合并到一起了。
$\begin{bmatrix}p_x\\p_y\\p_z\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r_{00} & r_{01} & r_{02} & t_x \\ r_{10} & r_{11} & r_{12} & t_y \\ r_{20} & r_{21} & r_{22} & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}c_x\\c_y\\c_z\\1\end{bmatrix}$
物理意義：