各種損失函數(shù)詳解

1. 損失函數(shù)、代價(jià)函數(shù)與目標(biāo)函數(shù)

損失函數(shù)（Loss Function）：是定義在單個(gè)樣本上的，是指一個(gè)樣本的誤差。
代價(jià)函數(shù)（Cost Function）：是定義在整個(gè)訓(xùn)練集上的，是所有樣本誤差的平均，也就是所有損失函數(shù)值的平均。
目標(biāo)函數(shù)（Object Function）：是指最終需要優(yōu)化的函數(shù)，一般來(lái)說(shuō)是經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)+結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)，也就是（代價(jià)函數(shù)+正則化項(xiàng)）。

2. 常用的損失函數(shù)

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（1）0-1損失函數(shù)（0-1 loss function）

L(Y,f(X)) = \begin{cases} 0, & \text{Y = f(X)} \\ 1, & \text{Y $\neq$ f(X)} \end{cases} 也就是說(shuō)，當(dāng)預(yù)測(cè)錯(cuò)誤時(shí)，損失函數(shù)為1，當(dāng)預(yù)測(cè)正確時(shí)，損失函數(shù)值為0。該損失函數(shù)不考慮預(yù)測(cè)值和真實(shí)值的誤差程度。只要錯(cuò)誤，就是1。

（2）平方損失函數(shù)（quadratic loss function）

L(Y,f(X)) = (Y-f(X))^2是指預(yù)測(cè)值與實(shí)際值差的平方。

（3）絕對(duì)值損失函數(shù)（absolute loss function）

L(Y,f(X)) = \lvert{Y-f(X)}\rvert該損失函數(shù)的意義和上面差不多，只不過(guò)是取了絕對(duì)值而不是求絕對(duì)值，差距不會(huì)被平方放大。

（4）對(duì)數(shù)損失函數(shù)（logarithmic loss function）

L(Y,f(X)) = -logP(Y|X)這個(gè)損失函數(shù)就比較難理解了。事實(shí)上，該損失函數(shù)用到了極大似然估計(jì)的思想。P(Y|X)通俗的解釋就是：在當(dāng)前模型的基礎(chǔ)上，對(duì)于樣本X，其預(yù)測(cè)值為Y，也就是預(yù)測(cè)正確的概率。由于概率之間的同時(shí)滿足需要使用乘法，為了將其轉(zhuǎn)化為加法，我們將其取對(duì)數(shù)。最后由于是損失函數(shù)，所以預(yù)測(cè)正確的概率越高，其損失值應(yīng)該是越小，因此再加個(gè)負(fù)號(hào)取個(gè)反。

（5）Hinge loss

Hinge loss一般分類算法中的損失函數(shù)，尤其是SVM，其定義為：

L(w,b)=max(0,1?yf(x))

其中 y=+1或y=?1y,f(X)=wx+b，當(dāng)為SVM的線性核時(shí)。

3. 常用的代價(jià)函數(shù)

（1）均方誤差（Mean Squared Error）

MSE=\frac1N\sum_{i=1}^N{(y_{i}-f(x_{i}))}^2

均方誤差是指參數(shù)估計(jì)值與參數(shù)真值之差平方的期望值; MSE可以評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)的變化程度，MSE的值越小，說(shuō)明預(yù)測(cè)模型描述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)具有更好的精確度。（i表示第 i 個(gè)樣本，N 表示樣本總數(shù)）
通常用來(lái)做回歸問(wèn)題的代價(jià)函數(shù)。

（2）均方根誤差

RMSE=\sqrt{\frac1N\sum_{i=1}^N{(y_{i}-f(x_{i}))}^2}
均方根誤差是均方誤差的算術(shù)平方根，能夠直觀觀測(cè)預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的離散程度。
通常用來(lái)作為回歸算法的性能指標(biāo)。

（3）平均絕對(duì)誤差（Mean Absolute Error）

MAE=\frac1N\sum_{i=1}^N\lvert{y_{i}-f(x_{i})}\lvert

平均絕對(duì)誤差是絕對(duì)誤差的平均值 ，平均絕對(duì)誤差能更好地反映預(yù)測(cè)值誤差的實(shí)際情況。
通常用來(lái)作為回歸算法的性能指標(biāo)。

（4）交叉熵代價(jià)函數(shù)（Cross Entry）

H(p,q)=?\sum_{i=1}^Np(x_{i})logq(x_{i})

交叉熵是用來(lái)評(píng)估當(dāng)前訓(xùn)練得到的概率分布與真實(shí)分布的差異情況，減少交叉熵?fù)p失就是在提高模型的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率。其中 p(x)p(x) 是指真實(shí)分布的概率， q(x) 是模型通過(guò)數(shù)據(jù)計(jì)算出來(lái)的概率估計(jì)。
比如對(duì)于二分類模型的交叉熵代價(jià)函數(shù)（可參考邏輯回歸一節(jié)）：

L(y,f(x))=\frac1N\sum_{i=1}^N(y_{i}logf(x_{i})+(1?y_{i})log(1?f(x_{i})))其中 f(x)可以是sigmoid函數(shù)?；蛏疃葘W(xué)習(xí)中的其它激活函數(shù)。而 y_{i}∈0,1。
通常用做分類問(wèn)題的代價(jià)函數(shù)。

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