The Arrow Paradox

天上飛的箭是不動的。

因為在任何一個無任何持續(xù)時間的瞬間，這支箭都沒有動，那么在所有的瞬間箭也沒有動。所以箭是不動的。

這當然與人們一般的判斷是相悖的。判斷動與不動的標準是箭在每個不一樣的時點的空間位置是不是發(fā)生了變化。而飛矢在不一樣的時間點的空間位置是發(fā)生變化的，所以它是動的。

飛矢不動悖論是芝諾諸悖論之一。希臘哲學家埃萊亞的芝諾（Zeno of Elea）認為，要發(fā)生運動，物體必須改變它所占據的位置。他舉了一個箭在飛行的例子。他認為，在任何一個無任何持續(xù)時間的瞬間，箭既不會移動到它所在的地方，也不會移動到它所不在的地方。它不能移動到它所不在的地方，因為沒有時間讓它移動到那里；它不能移動到它所在的地方，因為它已經在那里了。換句話說，在每一個瞬間都沒有運動發(fā)生。如果每一個瞬間都是靜止的，而時間完全是由瞬間組成的，那么運動是不可能的。

破解

這是一個由于無窮而導致的悖論。

判斷動與不動的標準是箭在每個不一樣的時點的空間位置是不是發(fā)生了變化。而飛矢在不一樣的時點的空間位置是發(fā)生變化的，所以它是動的。

芝諾的論證把時間分割成無窮多的、沒有時長的瞬間。這是錯誤的假設。無論如何分割時間也不可能得到沒有時長的時點，無論多少沒有時長的時點的累加也不可能成為有時長的一段時間。一個瞬間無論時長有多短，它仍是有時長的。一方面把瞬間看作是沒有時長的時點，另一方面又認為時間是由這樣的瞬間組成的，引發(fā)了荒謬的結論。

假如我們把這個問題抽象為一個數學問題，姑且把芝諾所說的無任何持續(xù)時間的瞬間看做時長為無窮小的瞬間，那么這樣的瞬間就有無窮多個。我們今天根據微積分原理知道，即便是芝諾把時間分割成無窮多個時長為無窮小的瞬間，盡管在單個無窮小的瞬間，物體的位移是無窮小的，但是在所有這些無窮多個無窮小的瞬間累積起來的時間內，無窮多段無窮小的位移累積起來就成為可測量的位移。但這只是一種抽象，把現實問題模擬成數學問題來討論。

現實中既不存在無窮大，也不存在無窮小?？臻g是物體之間相對位置的度量。任何空間的測量都是以一組物體相對空間位置的差異與另一組物體相對空間位置的差異作比較。比如用一把直尺量一個杯子的高度時，如果直尺刻度0到10厘米的差距與杯口到杯底的差距相同，我們就說杯子的高度是10厘米。那么，測量越微小的物體就需要越微小的尺。宇宙中最小的物質只能用它本身來度量，假如可能度量的話。所以，一個最小物質的大小是一個最小物質。這個最小物質就是最小的空間度量單位。世界上不存在半個最小物質的長度。不但任何實際測量結果不可能是半個最小物質，就是在邏輯上也不可能有這種測量結果。半個最小物質只能是一個抽象概念。比如說10個單位的空間有5個最小物質，因此平均每個單位空間有半個最小物質，就好像說10個教室里有5個學生，平均每個教室里有半個學生。半個最小物質和半個學生一樣只能是一個抽象的概念。

因為每一次測量都有一個最小刻度，現實世界中的變化是離散的而不是連續(xù)的。在如此小的刻度上，勻速運動是不可能的。在非常小的刻度上，事物在某些瞬間會移動，在其他瞬間則不會。

如果時間被持續(xù)地細分，箭在一個瞬間內的位移會變得越來越小，并且必然會達到一個瞬間，在這個瞬間內，箭經歷了一個最小的邏輯上可測量的位移。如果我們將這個瞬間細分為更小的一些瞬間，箭只在其中一個瞬間里移動，在其余瞬間里保持靜止。如果我們進一步將箭移動的那個瞬間細分為更小的瞬間，箭在更小的一個瞬間內移動，在其他瞬間內則保持靜止。我們可以繼續(xù)這個過程。但永遠不會出現這樣的情況：箭在一個瞬間內移動，但在所有細分后的瞬間內保持靜止。

芝諾的論點基于這樣一個前提，即無限在現實中是存在的。這個前提是錯誤的。通過拒絕這個錯誤的前提，我們可以破解這個悖論。