悖論一（二分法悖論）：從A點到B點是不可能的。

看了這個命題，你會馬上說，這怎么不可能？別著急，我們先來看看芝諾的邏輯。

芝諾講，要想從A到B，先要經(jīng)過它們的中點，我假設(shè)是C點，而要想到達C點，則要經(jīng)過A和C的中點，假設(shè)是D點……這樣的中點有無窮多個，找不到最后一個。因此從A點出發(fā)的第一步其實都邁不出去。

悖論二（阿喀琉斯悖論）：阿喀琉斯追不上烏龜。

我們知道阿喀琉斯是古希臘神話中著名的飛毛腿，但是芝諾講如果他和烏龜賽跑，只要烏龜跑出去一段路程，阿喀琉斯就永遠追不上了。按照我們的常識，芝諾的講法當然是錯的。不過我們還是聽聽他的邏輯。

為了方便起見，我們簡單地假設(shè)阿喀琉斯奔跑的速度是烏龜?shù)?0倍。如果烏龜先跑出10米。等阿喀琉斯追上了這10米，烏龜又跑出1米，等阿喀琉斯追上這1米，烏龜又跑出0.1米……總之阿喀琉斯和烏龜?shù)木嚯x在不斷接近，卻追不上。

悖論三（飛箭不動悖論）：射出去的箭是靜止的。

在芝諾的年代，運動最快的是射出去的箭。但是芝諾卻說它是不動的，因為在任何一個時刻，它有固定的位置，既然有固定的位置，就是靜止的。而時間則是由每一刻組成，如果每一刻飛箭都是靜止的，那么總的說來，飛箭就是不動的。

這個悖論，可能就比前兩個難辯駁了。

悖論四（基本空間和相對運動悖論）：兩匹馬跑的總距離等于一匹馬跑的距離。

如果有兩匹馬分別以相同的速度往兩個方向遠離我們而去，我們站在原地不動。在我們看來，單位時間里它們各自移動了一個單位Δ（Δ通常表示增量），顯然一匹馬跑出去的總距離就是很多Δ相加。但是如果兩匹馬上有人，那么在彼此看來，對方在單位時間卻移動了兩個Δ長度，彼此的距離應(yīng)該是很多兩倍的Δ相加。

那么，如果Δ非常非常小，小到無限接近于零，芝諾就干脆認為Δ=0，0乘以任何數(shù)還是0，那么1Δ＝2Δ。但是左右兩匹馬跑出去的總距離怎么可能等于一匹馬跑的距離呢？

解析

今天我們就用無窮小的概念回答芝諾的第1、2和第4個悖論，由于第一個和第二個悖論其實是一回事，我們只討論第二個，也就是阿喀琉斯和烏龜賽跑的例子。

我們知道，在阿喀琉斯悖論中，芝諾其實把阿喀琉斯追趕的時間分成了無限份，每一份逐漸變小卻又不等于零。比如我們假設(shè)阿喀琉斯一秒鐘跑10米，那么芝諾所分的每一份時間就是1秒、0.1秒、0.01秒，等等。如果我們把它們加起來，就是之前講的等比級數(shù)。

S=1+0.1+0.01+0.001+……

接下來的問題是，這樣無限份的時間加起來是多少？假如每一份時間都存在一個最小的、具體的長度，那么這樣子的無限份加起來顯然就是無限大，這是矛盾所在。但是，如果我們能夠定義一個被稱為“無窮小”的量，它滿足這樣兩個條件，芝諾的悖論就能夠解決了。

1 它不是零；

2 它的絕對值小于任何一個你能夠給定的數(shù)。比如你說10^-100（10的負100次方就是10的100次方分之一）非常小，那么我這個無窮小比你說的還小，如果你說再來一個更小的數(shù)10^-10000，那么我這個無窮小依然比你的數(shù)字小。

無窮多個無窮小量加在一起可以有三種情況，分別是一個有限的數(shù)，無窮大，或者是無窮小，我們在后面介紹無窮大和無窮小的比較時會詳細講。

在這個具體情況中，無限個無窮小量加起來是一個有限的數(shù)，這一點我們在后面講到極限的概念時會說明，S這個級數(shù)的極限是10/9。

因此引入了無窮小的概念，就解決了阿喀琉斯悖論?？梢灾v，正是阿喀琉斯悖論幫助我們補上了數(shù)學上的一個缺失。

其實芝諾的錯誤就是把無窮小直接當做了0。

至于第三個悖論，芝諾其實混淆了兩個概念，即瞬間位移量和瞬間速度的差別。芝諾注意到了當間隔時間Δt趨近于零的時候，箭頭飛行的距離ΔS也趨近于零。但是，它們的比值，也就是速度，并不是零。

至于第四個相對運動悖論，其實說起來就更簡單了。芝諾所說的Δ，其實就是無窮小，雖然它趨近于零，但是不等于零，因此Δ≠2Δ。

總結(jié)

當邏輯和我們的經(jīng)驗有了矛盾時，有兩個結(jié)果，一個結(jié)果是我們的經(jīng)驗錯了。比如說，到底是地球圍繞太陽轉(zhuǎn)，還是太陽圍繞地球轉(zhuǎn)？在這件事上，我們的經(jīng)驗就錯了。當然還有一個可能性就是，我們看似正確的邏輯，本身可能有問題，因為有概念的缺失，芝諾的悖論就屬于第二種。