人工智能通識(shí)-科普-微積分計(jì)算曲線長(zhǎng)度

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這篇我們介紹微積分弧長(zhǎng)公式的推導(dǎo)，復(fù)習(xí)微積分的概念。
如何計(jì)算任意函數(shù)曲線的長(zhǎng)度？


人工智能通識(shí)-2019年3月專題匯總

細(xì)分曲線

如下圖，如何計(jì)算在[a,b]區(qū)間上任意連續(xù)函數(shù)f(x)曲線的長(zhǎng)度？

使用積分的思路，我們把[a,b]區(qū)間劃分為n份，然后研究每一份的曲線長(zhǎng)度如何計(jì)算。

如上圖所示，我們把曲線長(zhǎng)度L劃分為n段，變?yōu)椋?/p>

L=\lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n}|P_i-P_{i-1}|

每段長(zhǎng)度

現(xiàn)在問(wèn)題就變成了如何計(jì)算|P_i-P_{i-1}|長(zhǎng)度了。

從上圖可以知道，每段弧線的長(zhǎng)度最終可以近似成為兩點(diǎn)之間的直線長(zhǎng)度，就是x和y的微分量，即：

\begin{align} |P_i-P_{i-1}|&=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\\ &= \sqrt{(x_i-x_{i-1})^2+(y_i-y_{i-1})^2}\\ &= \sqrt{(x_i-x_{i-1})^2+(f(x_i)-f(x_{i-1}))^2}\\ \end{align}

使用微分函數(shù)

從微分定義和斜率概念我們知道：

f'(x)=\frac{\Delta y}{\Delta x}

關(guān)于微分部分請(qǐng)參考這兩個(gè)文章：
0117數(shù)學(xué)-微分
0118數(shù)學(xué)-微分2

所以每段細(xì)分線段的長(zhǎng)度就可以轉(zhuǎn)換成：

\begin{align} |P_i-P_{i-1}|&=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\\ &=\sqrt{(\Delta x)^2+(f'(x)*\Delta x)^2}\\ &=\sqrt{(\Delta x)^2(1+(f'(x))^2)}\\ &=\Delta x\sqrt{1+(f'(x))^2}\\ \end{align}

由于\Delta x就是dx，所以可以寫作:

|P_i-P_{i-1}|=\sqrt{1+(f'(x))^2}dx

使用積分

我們利用上面這個(gè)結(jié)論就可以替換掉曲線總長(zhǎng)公式中的|P_i-P_{i-1}|部分內(nèi)容：
\begin{align} L&=\lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n}|P_i-P_{i-1}|\\ &=\lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n}\sqrt{1+(f'(x))^2}dx \end{align}

如果我們把上面結(jié)果的根號(hào)下面內(nèi)容視為一個(gè)函數(shù)，那么看上去就很像是積分定義的格式：

\int_a^bf(z)dx= {\lim_{n \to +\infty}}\sum_{i=1}^{n}f(z)dx

關(guān)于積分的內(nèi)容請(qǐng)參考這兩個(gè)文章：
人工智能通識(shí)-科普-微積分定理
人工智能通識(shí)-科普-微積分概念

所以我們可以寫作把曲線的長(zhǎng)度積分公式表示為：

L=\int_a^b\sqrt{1+(f'(x))^2}dx

從這里我們知道，要求[a,b]區(qū)間一個(gè)曲線函數(shù)f(x)的曲線長(zhǎng)度，那么只要找到它的斜率函數(shù)f'(x)，然后就可以用積分求得。

在下一篇我們將使用這個(gè)曲線公式推導(dǎo)圓周長(zhǎng)的算法，為什么圓周長(zhǎng)是2\pi r？

可能大家已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，我很久沒(méi)有更新編程類文章了，尤其是Python和TensorFlow相關(guān)文章，對(duì)這方面感興趣的讀者可以觀看這里獲得更多技巧，例如：
- 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)P圖神器：摘墨鏡，戴美瞳，加首飾，換發(fā)型【TensorFlow實(shí)現(xiàn)】；
- CentOS7 下 nginx 安裝 ，SSL證書申請(qǐng)和配置，讓網(wǎng)站支持https

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