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環(huán)的定義：我們知道，環(huán)是一個非空集合 $R$ ,在 $R$ 上面有著兩種預(yù)算，我們稱為加法 $(R,＋)$ 和乘法 $(R, \cdot \ )$ . 并且滿足 $(R,+)$ 是一個交換群， $(R,\cdot \ )$ 是一個半群，除此之外，乘法對加法滿足左分配律和右分配律。

注：因為環(huán)對于乘法構(gòu)成的是一個半群，因此在環(huán) $R$ 上一定有零元 $0$ ，但是不一定有單位元 $1$ 。

子環(huán)：我們假設(shè) $S$ 為 $R$ 的一個非空子集，并且滿足 $S$ 自身構(gòu)成環(huán)，且對 $R$ 上的加法和乘法封閉，我們就說 $S$ 是 $R$ 的一個子環(huán)。

例： $\mathbb{Z}$ 對于整數(shù)的加法和乘法構(gòu)成一個環(huán)。 $2\mathbb{Z}$ 就是他的一個子環(huán)。 $\mathbb{Z}_{2}$ 就不是它的子環(huán)，因為 $\mathbb{Z}_2$ 中的元素和不是整數(shù)。

在上面子環(huán)的例子中，我們發(fā)現(xiàn) $I = 2\mathbb{Z}$ 是 $Z$ 的一個子集，且滿足對于任意的 $r\in R$ , $a\in I$ ,我們有 $ra$ 和 $ar$ 仍然是 $I = 2 \mathbb{Z}$ 中的元素，也就是說， $I$ 雖然做為 $R$ 的子集，但是它可以吸收 $R$ 中的元素。由此引出環(huán)的理想這一概念。

【理想這一命名的來源】戴德金最早提出了這一類子集，并將其命名為"ideal"，【德語中的ideale】，強調(diào)它是環(huán)中“最理想，最適配”的子集-恰好可以支撐商環(huán)的構(gòu)造。

理想：環(huán) $R$ 的理想是它的一個子集 $I$ ：滿足如下兩個條件：
①對任意 $a,b \in I$ ，有 $a-b \in I$ ?！炯?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=I" alt="I" mathimg="1">是加法子群】
②對于任意的 $r \in R, a \in I$ ，有 $ra \in I$ 【左吸收】和 $ar \in I$ 【右吸收】。
③顯然有 $\{0\}$ 和 $R$ 本身都是 $R$ 的理想，把它們叫做平凡的理想。我們可以證明，當(dāng) $R$ 是一個幺環(huán)時，任何一個非平凡的理想都不可能含有單位元素。

注：如果只滿足左吸收，我們就把 $I$ 叫做左理想，如果只滿足右吸收，我們就把 $I$ 叫做右理想。我們通常說的理想是指雙邊理想，也就是同時滿足左右吸收率。

常見的理想的例子：
①對于整數(shù)環(huán) $\mathbb{Z}$ ,對任意的正整數(shù) $n$ ,有 $n\mathbb{Z}$ 都是 $\mathbb{Z}$ 的理想。
②模6剩余類 $R=\mathbb{Z}_6$ ,我們有 $I=\{\overline{0},\overline{2},\overline{4}\}$ 是它的一個理想. $I = \{ \overline{0},\overline{3}\}$ 也是它的一個理想。

我們知道，在整數(shù)中有一類性質(zhì)非常好的數(shù)：素數(shù)，我們一般用字母 $p$ 來表示。我們有下面的定理：
$在\mathbb{Z}中，p為素數(shù) \Longleftrightarrow 可以由p|ab推出： p|a或者p|b$
也就是說素數(shù)是一類性質(zhì)非常好的數(shù)。因此我們類比素數(shù)的性質(zhì)，來定義素理想。

素理想：設(shè) $R$ 是有單位元 $1(\neq 0)$ 的交換環(huán)， $P$ 是 $R$ 的一個非平凡理想。如果對于任意的 $a,b\in R$ 如果有 $ab\in P$ 我們就能夠推出 $a \in P$ 或則 $b\in P$ 。那我們把 $P$ 稱為 $R$ 的一個素理想。

整數(shù)環(huán)的素理想： $(p) = \{np |n\in \mathbb{Z}\}$ 或者 $(0)$

那么在對于環(huán)的結(jié)構(gòu)的研究中，素理想起著一個什么作用呢？我們有如下定理：
$P是R的素理想 \Longleftrightarrow R/P是整環(huán)$

多項式環(huán) $\mathbb{Q}[x]$ 中 $(x-2)$ 為素理想，所以 $\mathbb{Q}[x]/(x-2) \cong \mathbb{Q}$ 是一個整環(huán)。

極大理想：假設(shè) $M$ 是環(huán) $R$ 的一個理想，如果說在 $R$ 中包含 $M$ 的理想只有 $M$ 和 $R$ ，那我們就把 $M$ 稱為 $R$ 的極大理想。

注意：極大理想是不唯一的，比如對于整數(shù)環(huán) $\mathbb{Z}$ ,任何一個素數(shù)的生成理想 $(p)$ 都是 $\mathbb{Z}$ 的極大理想，他們互不相同。
但是如果說 $a$ 不是素數(shù)，那么 $(a)$ 雖然也是 $\mathbb{Z}$ 的一個理想，但是就不是極大理想了。