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設 $k$ 是一個非負整數(shù)，令
$k\mathbb{Z} := \{km \mid m \in \mathbb{Z}\}.$
(1) 說明 $k\mathbb{Z}$ 是 $(\mathbb{Z}, +)$ 的一個子群；
【解答】：只需要說明 $k \mathbb{Z}$ 對減法封閉即可。

對任意的 $a,b \in k \mathbb{Z}$ ,都有 $a = k a_1,b = k b_1$ ，因此 $a - b = k(a_1 - b_1) \in k \mathbb{Z}$

所以 $k\mathbb{Z}$ 是 $\mathbb{Z}$ 的子群。

(2) 說明 $k\mathbb{Z}$ 是循環(huán)群。

【解答】：只需要找到它的生成元即可。
$k \mathbb{Z} = <k>$
這個是一個階無限的群，并且實際上他和 $\mathbb{Z}$ 是同構的。

設 $A, B$ 是群 $G$ 的兩個非空子集，若群 $G$ 的運算為乘法，則規(guī)定 $AB := \{ab \mid a \in A, b \in B\}$ ；若群 $G$ 的運算為加法，則規(guī)定 $A + B := \{a + b \mid a \in A, b \in B\}$ 。
證明：(1) 群 $G$ 的子集的運算滿足結合律，即設 $A, B, C$ 是群 $G$ 的非空子集，若 $G$ 的運算為乘法，則 $(AB)C = A(BC)$ ；
若 $G$ 的運算為加法，則 $(A + B) + C = A + (B + C)$ 。

【解答】說明集合相等只需要證明雙包含即可。也就是 $(AB)C$ 中的任意一個元素都在 $A(BC)$ 中，反之亦然。

(2) 若 $G$ 的運算為乘法，則 $(A \cup B)C = (AC) \cup (BC)$ 。
【解答】我們仍然同構雙包含關系證明：一方面：任意的 $x \in (A \cup B)C$ ， $x = dc$ 其中， $d$ 至少屬于 $A$ 和 $B$ 其中之一， $dc$ 就至少屬于 $AC$ 和 $BC$ 其中之一。從而 $x = dc \in (AC) \cup (BC)$ 。
另一面，如果說 $y \in (AC) \cup (BC)$ ,不管它屬于前后哪一個集合， $y$ 都一定屬于 $(A \cup B)C$ 。

設 $H, K$ 都是群 $G$ (運算為乘法) 的子群，證明： $HK$ 為 $G$ 的子群當且僅當 $HK = KH$ 。
【充分性】如果說 $HK = KH$ 成立，那么任意的 $h_1k_1,h_2k_2 \in HK$ ,我們計算 $(h_1k_1)(h_2k_2)^{-1} = h_1k_1k_2^{-1}h_2{^{-1}}$
由于 $k_1k_2^{-1}h_2{^{-1}} \in KH =Hk$ ，那么就一定有 $k_1k_2^{-1}h_2{^{-1}} = hk$
從而 $(h_1k_1)(h_2k_2)^{-1} = h_1k_1k_2^{-1}h_2{^{-1}} = h_1hk \in HK$
有此我們就說明了 $HK$ 是 $G$ 的子群。

【必要性】任意的 $hk \in HK$ , 根據 $HK$ 是子群，那么 $hk$ 的逆元一定可以表示成 $h_1k_1$ 因此 $hk = (h_1k_1)^{-1} = k_1^{-1}h_1^{-1} \in KH$ 。從而
$HK \subset KH$ 。
另一方面，對于任意的 $kh \in KH$ , $(kh)^{-1} = h^{-1}k^{-1} \in HK$ ,由于 $HK$ 是子群。所以 $kh \in HK$ ，從而 $KH \subset KH$
命題得證。

舉一個例子說明 $H, K$ 都是群 $G$ 的子群，但是 $HK$ 不是 $G$ 的子群。

【解析】顯然對于交換群來說 $HK = KH$ 都是成立的，因此在交換群中 $HK$ 必定是子群，因此我們只能去非交換群中尋找這樣的例子。

考慮 $S_3$ 的兩個子群 $H =\{(1 )\ (1 2)\}$ 和 $K = \{(1) \ (13)\}$

證明：群 $G$ 的任意子群族 $\{H_i \mid i \in I\}$ 的交集 $\bigcap_{i \in I} H_i$ 仍是 $G$ 的子群。

【解答】對于 $x,y \in \bigcap_{i \in I} H_i$ .
顯然對于任意的 $i$ 都滿足 $xy^{-1} \in H_i$ ，從而 $xy^{-1} \in \bigcap_{i \in I} H_i$ .
它是一個子群。

設 $H, K$ 都是群 $G$ 的有限子群，證明：
$|HK| = \frac{|H| \cdot |K|}{|H \cap K|}.$

【解答】不妨記 $H\cap K = M$ 根據上一個題目可以知道 $M$ 也是一個子群。

考慮 $M$ 在 $H$ 中的左陪集分解式 $H = \cup_{i=1}^r h_iM$

所以 $HK = \cup_{i=1}^r h_i MK =\cup_{i=1}^rh_iK$

所以 $|HK| = r|K| =\frac{|H|}{|M|}|K| = \frac{|H|\cdot |K|}{|H \cap K|}$

設 $S$ 是群 $G$ 的一個非空子集， $G$ 的包含 $S$ 的所有子群的交集 $\bigcap_{S \subseteq H \subseteq G} H$ 稱為由 $S$ 生成的子群，記做 $\langle S \rangle$ ，稱 $S$ 是子群 $\langle S \rangle$ 的生成元集。證明：
$\langle S \rangle = \{x_1^{m_1} x_2^{m_2} \cdots x_k^{m_k} \mid x_i \in S, m_i \in \mathbb{Z}, 1 \leq i \leq k, k \in \mathbb{N}^*\},$
其中 $x_1, x_2, \ldots, x_k$ 不必是不同的。
【解答】第一步：我們可以先來說明這個集合確實是一個子群
記 $H= \{x_1^{m_1} x_2^{m_2} \cdots x_k^{m_k} \mid x_i \in S, m_i \in \mathbb{Z}, 1 \leq i \leq k, k \in \mathbb{N}^*\}$

對于任意 $x =x_1^{m_1} x_2^{m_2} \cdots x_k^{m_k} , y = y_1^{n_1} y_2^{n_2} \cdots y_l^{n_l}$ ，確實有 $xy^{-1} \in H$

第二步：證明這個集合等于 $\langle S \rangle$
我們上面以及證明了 $H$ 是包含 $S$ 的子群，根據生成子群的定義，我們就知道 $\langle S \rangle \subset H$

另一方面：根據 $H$ 的定義， $H \subset \langle S \rangle$ .
因此，命題得證。

在 $(\mathbb{C}, +)$ 中，由 $\{1, i\}$ 生成的子群 $\langle 1, i \rangle$ 稱為高斯整數(shù)群，它的元素是什么樣子？

$\langle 1, \ i\rangle = \{m + ni | m,n \in \mathbb{Z}\}$

如圖是一個正方形的棋盤，求它的對稱(性)群。

正方形期盼

【解答】它的對稱群只有四個元素：①恒等變換。②繞中心旋轉 $180$ 度。③關于對角線對稱【兩個情況】。

分別求 $(\mathbb{Z}_4, +), (\mathbb{Z}_6, +)$ 的所有子群。
【解答】 $\mathbb{Z}_4$ 是四階循環(huán)群，它的子群的階數(shù)只可能為1,2,4。
因此它所有的子群為：一階子群 $\{ \overline{0}\}$ ，二階子群 $\{\overline{0},\overline{2}\}$ ,和四階子群它本身。

$\mathbb{Z}_6$ 是6階循環(huán)群，它的子群的階數(shù)只能是 $1，2，3，6$ .
它的一階和六階子群都是平凡的。它的二階子群為 $\{\overline{0},\overline{3}\}$ ,它的三階子群為 $\{\overline{0},\overline{2},\overline{4}\}$

寫出 $S_3$ 的所有子群。
【解答】 $S_3$ 的階數(shù)為 $6$ 因此它子群的階只可能為 $1,2,3,6$ 。一階和六階是平凡的子群。
它的二階子群有 $\{(1) ,(12)\},\{(1) ,(13)\},\{(1) ,(23)\}$
它的三階子群為 $\{(1),(1,2,3),(1,3,2)\}$
寫出 $A_4$ 的所有子群。

【注釋】 $A_4$ 沒有 $6$ 階子群

證明：域 $F$ 的乘法群 $F^*$ 的有限子群必為循環(huán)群。

【解答】：我們假設 $F^*$ 的一個有限子群為 $H$ ，不妨假設 $|H| = n$ ,那么 $\forall x \in H$ ， $x$ 的階都滿足是 $n$ 的因子，所以 $x^n = e$ 。滿足這個方程的解的個數(shù)不超過 $n$ ,那么 $H$ 中的 $n$ 個元素恰好為這個方程的 $n$ 個根，他就是一個循環(huán)群。

證明：如果 $G = \langle a \rangle$ 是 $n$ 階循環(huán)群，則對于任給正整數(shù) $m$ ，方程 $x^m = e$ 在 $G$ 中的解的個數(shù)不超過 $m$ 。

【解答】：我們令 $H = \{x | x^m = e\}$ 不難驗證, $H$ 構成了 $G$ 的一個子群。而循環(huán)群的子群也必定是循環(huán)群。我們假設他有一個生成元 $b$ ,滿足 $H = \langle b \rangle$ 那么 $b$ 滿足 $b^m = e$ 因此 $H$ 的階數(shù)不超過 $m$ 。

群 $G$ 中元素 $a$ ，如果存在 $b \in G$ 使得 $b^2 = a$ ，那么稱 $a$ 是平方元，把 $b$ 稱為 $a$ 的一個平方根。證明：奇數(shù)階群 $G$ 的每個元素 $a$ 都是平方元，且 $a$ 的平方根唯一。

【解答】不妨假設群 $G$ 的階數(shù)為奇數(shù) $2n+1$ ，那么在這個有限群中 $a$ 的階數(shù)必定是 $2n+1$ 的因子，所以有 $a^{2n+1} = e$ 從而 $a = a \cdot e = a^{2n+2}$

我們令 $b = a^{n+1}$ 就得到了 $a$ 的一個平方根，從而 $a$ 是平方元。

接下來我們考慮。因為 $a = b^2$ ，所以有 $\langle a \rangle \subset \langle b \rangle$ ,并且 $a$ 的階數(shù)和 $b$ 的階數(shù)要么相等，要么 $|a| = 2|b|$ 。但是 $|a|$ 又是一個奇數(shù)【因為群 $G$ 的階是奇數(shù)， $|a|$ 的階是他的因子，也是奇數(shù)】。所以只可能 $|a| = |b|$