2023年同等學(xué)力申碩計(jì)算機(jī)綜合試題解析--數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

聲明：本人已經(jīng)在2023年完成了答辯獲取了碩士學(xué)位，解數(shù)學(xué)題也是我的業(yè)余愛(ài)好。感謝網(wǎng)友收集了考試題目以及提供部分題目的解析思路（本套題我是通過(guò)一位同學(xué)提供的題目，多位同學(xué)提供的解題思路）。大部分題目由本人所做，結(jié)合教材理論完成了本文的編寫(xiě)。符號(hào)太多編寫(xiě)工作量大，如發(fā)現(xiàn)答案有錯(cuò)誤或者不夠準(zhǔn)確請(qǐng)及時(shí)給我留言。后期老師講解后，會(huì)同步更新到這里。如需轉(zhuǎn)載請(qǐng)表明出處。

一. 邏輯符號(hào)表達(dá)

1. 新冠病毒比任何一種流感病毒傳染性強(qiáng) (要求寫(xiě)出兩種形式, 一種用全稱量詞, 一種用存在量詞)

[解析] P(x): 病毒是流感病毒, Q(a): 病毒是新冠病毒, R(m,n): 病毒 m 比病毒 n 感染性強(qiáng)

全稱量詞表達(dá) ：?x(Q(a) \land P(x) \rightarrow? R(a,x))) （其中a是特指新冠病毒)

用存在量詞表述：? \exists x((Q(a) \land P(x)) \lor? R(a,x))。

二. 選擇題

1. 己所不欲勿施于人不是等價(jià)邏輯的是（C）

A. 只有己所欲才能施于人? ? ? B. 除非己所欲, 否則不施于人

C. 若己所欲，則施于人? ? ? ? ? D. 凡是施于人的都應(yīng)該是己所欲

【解析】己所不欲勿施于人，即”施于人“的必要條件是”己所欲“，但不是”己所欲“就一定要”施于人“，因此選C

2. 已知A,B 是集合,P(A) P(B)為其冪集, 且 A \cap? B =? ? ，則 P (A) \cap? P (B)? = （? ）

A. ?? ? B. { ?}? C.{{ ?}}? D.{ ?, { ?}}

【解析】 本題考冪集：P(A) = \{x | x \subseteq A \} ， P(B) = \{x | x \subseteq B \} ,由于 A \cap? B =? ? 因此P (A) \cap? P (B) = ?｝，本題選B

3. 高度h (h ≥ 1) 且有k 個(gè)葉子的完全二叉樹(shù)中,h和 k滿足的關(guān)系式

A.h = log_2 (k + 1)? ? ? ? ? B. 2^h? =k ? ? ? ? ? C. h = 2^k ? ? ? D. h > log_2 k

【解析】完全二叉樹(shù)葉節(jié)點(diǎn)只能出現(xiàn)在最下層和次下層，并且最下面一層的結(jié)點(diǎn)都集中在該層最左邊的若干位置的二叉樹(shù)。關(guān)于完全二叉樹(shù)和滿二叉樹(shù)相關(guān)知識(shí) 請(qǐng)點(diǎn)當(dāng)前連接。當(dāng)為滿二叉樹(shù)時(shí)，子葉節(jié)點(diǎn)數(shù)為k = 2^{h-1} ，對(duì)于完全二叉樹(shù)而言，則k < 2^{h-1}? \implies? h >? log_2k +? 1? \implies h > log_2k,因此本題選D

圖1 完全二叉樹(shù)
圖 2 滿二叉樹(shù)

4.方程 x _1+ x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 10 的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)

A. C_{14}^5? ? B. C_{14}^4? ? C. C_{9}^4? ? D. C_{9}^5

【解析】本題有兩種解法：方法一、可以理解成用10個(gè)球用4塊擋板來(lái)做分隔，正整數(shù)解則要求擋板必須最少隔斷一個(gè)球，10個(gè)球有9個(gè)空擋，用4塊擋板可以分割成5個(gè)部分，可以理解成在9個(gè)空擋中插入4塊擋板，因此答案為C_{9}^4 ，選C，由于本題中C和D答案的結(jié)果一樣，不知道是否有問(wèn)題。方法二、請(qǐng)參考2010年考題計(jì)算題第2題.

5. 表達(dá)式 (x_1? + x_2? + x_3 + x_4? + x_5 )^6 ? 的展開(kāi)式合并同類項(xiàng)后 x_1^2x_2 x_4^3 的系數(shù)

A.\frac{6!}{2!3!} ? ? B. \frac{6!}{2!} ? ? C.\frac{6!}{2!} ? D.\frac{6!}{5!}

【解析】本題主要考的是萊布尼茨的多項(xiàng)式定理(x_1+x_2+...+x_m)^n = \sum\nolimits\frac{n!}{n_1!n_2!...n_m!}x_1^{n_1} x_2^{n_2}... x_m^{n_m} ,將多項(xiàng)式結(jié)果代入公式得到合并類型結(jié)果：\frac{6!}{2!3!}x_1^{2} x_2x_4^{3} ，因此本題選A。

6. 設(shè) π_k (G) 是用 k 種顏色給圖 G 正常著色的不同方法數(shù), 且 p4? 表示有4 個(gè)定點(diǎn)的路,則 π_k (p4 ) 為（? ）

A.k(k ? 1)(k-2)? B. k^3 (k ? 1) ? ? C.k(k ? 1)^2 (k ? 2) ? D.k(k ? 1)^3

【解析】本課題考的是圖論的圖著色問(wèn)題, 對(duì)于P4可以表示成v_1v_2v_3v_4，如四邊形頂點(diǎn)，v_1有k種顏色，相連的v_2有k-1種，此時(shí)v_3與v_1不相連，因此也有k-1種，最后的v_4與v_1和v_3相連，因此有k-2種，算在一起則有k(k ? 1)^2 (k ? 2) 。答案選C

三.填空題

1. 集合A = {2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14} 偏序關(guān)系 R為 A 上的整除關(guān)系,則 <A,R>

最長(zhǎng)鏈長(zhǎng)度（? ? ? ? ? ）， 最長(zhǎng)鏈個(gè)數(shù)（? ? ? ? ? ）,? 最長(zhǎng)反鏈長(zhǎng)度（? ? ? ? ? ） ,

極大元個(gè)數(shù)（? ? ? ? ? ）,? 極小元個(gè)數(shù) （? ? ? ? ? ）,

最大元個(gè)數(shù) （? ? ? ? ? ）,? 最小元個(gè)數(shù)（? ? ? ? ? ）

【解析】用哈斯圖來(lái)表示，如圖3所示。集合來(lái)表示如下：B_1 = \{2,4,8\}, B_2 = \{2,6,12\}, B_3 = \{2,10\} ,B_4 = \{2,14\}, B_5 = \{3,6,12\},B_6 = \{3,9\}, B_7 = \{5,10\},因此可以看出，最長(zhǎng)鏈長(zhǎng)度為3，最長(zhǎng)鏈個(gè)數(shù)3，【定理】設(shè)A為偏序集，若A的最長(zhǎng)鏈的長(zhǎng)度為n，則A存在n個(gè)劃分塊的劃分，每個(gè)塊都是反鏈。最長(zhǎng)反鏈長(zhǎng)度為3。極大元：如果b ∈ B，并且沒(méi)有x ∈ B，x≠b使得b≤x，則b叫做B的極大元；極小元：如果b ∈ B，并且沒(méi)有x ∈ B，x≠b使得x≤b，則b叫做B的極小元。最大元：設(shè)為有序集，B ? A。如果b ∈ B，并且對(duì)每一x ∈ B都有x≤b，則b叫做B的最大元； 最小元：設(shè)為有序集，B ? A。如果b ∈ B，并且對(duì)每一x ∈ B都有b≤x，則b叫做B的最小元。每個(gè)集都有極大值和極小值，也有最小值和最大值，且每樣都是一個(gè)（如圖4）。因此極大元7個(gè)，極小元7個(gè)，最大元7個(gè)，最小元7個(gè)。

圖3 哈斯圖
圖4 極大元極小元和最大元最小元

2. 平面連通圖所有面度數(shù)之和為a, 其邊數(shù)為b, a和 b 的關(guān)系? ?

【解析】這個(gè)考的是【定理】G中各面的度數(shù)之和等于圖G邊數(shù)的兩倍，所以 a = 2b

四.計(jì)算題

1. 求小于 1001且可以被 3或 5整除的正整數(shù)個(gè)數(shù)

【解析】小于1001的正整數(shù)只能是1-1000，令整除關(guān)系個(gè)數(shù)函數(shù)為 F(x,y) = int(\frac{y}{x}) ,則F(3,1000) =? int(\frac{1000}{3}) = 333? ，F(5,1000) =? int(\frac{1000}{5} )= 200? ，3和5的公倍數(shù)為15，則有F(15,1000) =? int(\frac{1000}{15}) =66 ，如圖5 文氏圖所示，正整數(shù)的個(gè)數(shù)為F(3,1000) + F(5,1000) - F(15,1000) = 333 + 200 - 66 = 467。

圖5 文氏圖

2. 計(jì)算 \sum\nolimits_{k=1}^n k C_n^k

【解析】該題有多種解法，由牛頓二項(xiàng)式公式（1+x）^n = \sum_{k=0}^∞C_{n}^kx^k ，兩邊同時(shí)求導(dǎo)得到n(1+x)^{n-1} = \sum_{k=0}^∞C_{n}^kkx^{(k-1)} ,此時(shí)令x = 1帶入公式可得n(1+1)^{n-1} = \sum_{k=0}^∞C_{n}^kk1^{(k-1)}? \implies? n2^{n-1} = \sum_{k=0}^∞C_{n}^kk ，其中k = 0時(shí)，C_{n}^kk = 0，因此 n2^{n-1} = \sum_{k=0}^∞C_{n}^kk = \sum_{k=1}^∞C_{n}^kk，另外無(wú)窮大為n的取值，因此可以得到 n2^{n-1} = \sum_{k=1}^∞C_{n}^kk= \sum_{k=1}^nC_{n}^kk 得解。

3. 證明對(duì)于任意集合 A,B和 C, 已知A ∪ B = A ∪ C , 且A ∩ B = A ∩ C , 證明B =C

【解析】本題考的是集合論相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。證明方法也有很多，B=C即兩個(gè)集合包含的元素相同，由已知條件A ∪ B = A ∪ C 可知A ∪ B 和 A ∪ C包含相同的元素。又根據(jù)已知條件A ∩ B = A ∩ C，可知A ∩ B 和A ∩ C只包含了B和A，以及A和C共有的元素，且元素是相同。其中A是一個(gè)固定集合，當(dāng)A ∪ B = A ∪ C 且A ∩ B = A ∩ C可以推出B和C包含相同的元素個(gè)數(shù)，即得到B=C .

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