??通過使用常見的系統(tǒng)表示方法，確定系統(tǒng)的模型。在確定系統(tǒng)的模型之后，我們就可以嘗試對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析了。那么針對(duì)一個(gè)系統(tǒng)，我們?cè)撊绾畏治瞿?？在分析的時(shí)候需要關(guān)注什么呢？針對(duì)一個(gè)控制系統(tǒng)而言，以及在設(shè)計(jì)控制率的時(shí)候，需要始終貫徹的關(guān)鍵字是“穩(wěn)（穩(wěn)定性）、準(zhǔn)（準(zhǔn)確性）、快（快速性）”。而針對(duì)一個(gè)系統(tǒng)，在經(jīng)典控制理論中，我們有三大分析方法，分別是時(shí)域分析法、根軌跡法、頻域分析法。此文主要闡述時(shí)域分析法的由來(lái)和原理。

1.時(shí)域分析法的由來(lái)

??20 世紀(jì)初，自動(dòng)控制理論開始興起，時(shí)域分析法在其中得到了重要應(yīng)用。控制系統(tǒng)需要分析系統(tǒng)在輸入信號(hào)作用下的輸出響應(yīng)，以評(píng)估系統(tǒng)的性能和穩(wěn)定性等。通過建立系統(tǒng)的微分方程或差分方程模型，在時(shí)間域內(nèi)求解系統(tǒng)的輸出，能直觀地了解系統(tǒng)隨時(shí)間的變化情況。

2.時(shí)域分析法原理

??在自動(dòng)控制理論的發(fā)展過程中，時(shí)域分析法逐漸形成了一套完整的分析方法和性能指標(biāo)體系。如在分析線性定常系統(tǒng)時(shí)，通過研究系統(tǒng)對(duì)典型輸入信號(hào)（如階躍信號(hào)、脈沖信號(hào)、斜坡信號(hào)等）的時(shí)域響應(yīng)，定義了諸如上升時(shí)間、峰值時(shí)間、超調(diào)量、調(diào)節(jié)時(shí)間等性能指標(biāo)，以此來(lái)衡量系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

2.1典型輸入信號(hào)

??為了求解系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，必須要了解輸入信號(hào)的解析式，然而在一般的情況下，控制系統(tǒng)的外加輸入信號(hào)無(wú)法預(yù)先確定，因此需要選擇典型的輸入信號(hào)來(lái)求解對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)響應(yīng)。很多地方都會(huì)提到常見的典型信號(hào)有階躍信號(hào)、斜坡信號(hào)、加速度信號(hào)、脈沖信號(hào)、正弦信號(hào)，但是并未給出對(duì)應(yīng)的物理含義，初看感覺就是不同的數(shù)學(xué)函數(shù)表達(dá)式而已。在這里筆者想進(jìn)一步解釋為什么會(huì)是這些信號(hào)，這些信號(hào)分別有什么物理意義。

階躍信號(hào)
在 $t=0$ 時(shí)刻，信號(hào)值從 $0$ 突變到某一恒定值，函數(shù)表達(dá)式為 $r(t)=A\times 1(t)$ , $A=1$ 時(shí)為單位階躍信號(hào)。從其函數(shù)圖像來(lái)看，就像是一個(gè)臺(tái)階一樣。實(shí)際物理場(chǎng)景包括電源突然接通或斷開，如電子設(shè)備的開機(jī)、關(guān)機(jī)瞬間，電路中的電壓或電流會(huì)出現(xiàn)類似階躍的變化；負(fù)載突然變化，像電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中，當(dāng)機(jī)械負(fù)載突然增加或減少時(shí)，可近似為階躍信號(hào)輸入；指令突然轉(zhuǎn)換，如電梯控制系統(tǒng)中，當(dāng)乘客按下樓層按鈕，電梯的速度控制指令會(huì)突然變化，可看作階躍信號(hào)。
斜坡信號(hào)
信號(hào)值隨時(shí)間呈線性增長(zhǎng)或減少，函數(shù)表達(dá)式為 $r(t)=At\times 1(t)$ , $A=1$ 時(shí)為單位斜坡信號(hào)。從其函數(shù)圖像來(lái)看就是一個(gè)正比例函數(shù)。在自動(dòng)加工機(jī)床的進(jìn)給系統(tǒng)中，刀具以恒定速度進(jìn)給，刀具的位置隨時(shí)間變化的關(guān)系可視為斜坡信號(hào)；汽車在巡航控制下，若速度設(shè)定為勻速增加或減少，其速度隨時(shí)間的變化就是斜坡信號(hào)的實(shí)際例子；還有電梯的勻速上升或下降階段，其位移隨時(shí)間的變化也可近似為斜坡信號(hào)。
加速度信號(hào)
拋物線信號(hào)，信號(hào)的變化率隨時(shí)間呈線性變化，函數(shù)表達(dá)式為 $r(t)=\frac{1}{2}At^2\times 1(t),A=1$ 時(shí)為單位拋物線信號(hào)。在航空航天領(lǐng)域，飛行器的起飛加速階段，若加速度恒定，其速度隨時(shí)間的變化可等效為加速度信號(hào)輸入下的系統(tǒng)響應(yīng)；在高速列車的加速過程中，若要實(shí)現(xiàn)勻加速啟動(dòng)，其位移隨時(shí)間的變化就符合加速度信號(hào)的特征。
脈沖信號(hào)
脈沖信號(hào)相對(duì)來(lái)看比較陌生，理想的單位脈沖信號(hào) $\delta(t)$ 滿足 $\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt=1$ 。在機(jī)械沖擊試驗(yàn)中，對(duì)試件施加的瞬間沖擊力可看作脈沖信號(hào)，用于測(cè)試試件在沖擊下的響應(yīng)；在雷達(dá)系統(tǒng)中，發(fā)射的短脈沖信號(hào)用于探測(cè)目標(biāo)，通過接收反射回來(lái)的脈沖信號(hào)來(lái)確定目標(biāo)的位置等信息；在數(shù)字通信中的抽樣脈沖，用于對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行抽樣，實(shí)現(xiàn)信號(hào)的離散化處理。
正弦信號(hào)
正弦信號(hào)的表達(dá)式為 $r(t)=Asin(\omega t + \varphi)$ , $A$ 為幅值， $\omega$ 為角頻率， $\varphi$ 為初相位。在機(jī)械沖擊試驗(yàn)中，對(duì)試件施加的瞬間沖擊力可看作脈沖信號(hào)，用于測(cè)試試件在沖擊下的響應(yīng)；在雷達(dá)系統(tǒng)中，發(fā)射的短脈沖信號(hào)用于探測(cè)目標(biāo)，通過接收反射回來(lái)的脈沖信號(hào)來(lái)確定目標(biāo)的位置等信息；在數(shù)字通信中的抽樣脈沖，用于對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行抽樣，實(shí)現(xiàn)信號(hào)的離散化處理。

2.2時(shí)域分析下的性能和指標(biāo)

??在典型輸入信號(hào)的作用下，任何一個(gè)控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)都是由暫態(tài)（動(dòng)態(tài)）過程和穩(wěn)態(tài)過程兩部分組成。在一開始，筆者就提到了一個(gè)控制系統(tǒng)最重要的是“穩(wěn)、準(zhǔn)、快”，其中最重要的是穩(wěn)定，穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能夠運(yùn)行的首要條件。如果一個(gè)系統(tǒng)不穩(wěn)定，那它的所有性能都是無(wú)稽之談。因此，也只有在暫態(tài)過程收斂時(shí)，研究系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能才有意義。

暫態(tài)性能
??一般認(rèn)為階躍輸入信號(hào)對(duì)系統(tǒng)而言是最嚴(yán)峻的工作狀態(tài)，因?yàn)樵陔A躍的一瞬間是突變的。如果系統(tǒng)能夠在階躍輸入信號(hào)下表現(xiàn)出較好的暫態(tài)性能，那么系統(tǒng)在其他形式的輸入信號(hào)作用下，其暫態(tài)過程也是毋庸置疑的。那么在單位階躍信號(hào)的作用下，系統(tǒng)會(huì)隨時(shí)間呈現(xiàn)出不同的暫態(tài)過程，在此情況下評(píng)價(jià)一個(gè)系統(tǒng)的指標(biāo)稱為暫態(tài)性能指標(biāo)。如圖1所示，結(jié)合此階躍響應(yīng)圖像，可以得到常見的時(shí)域暫態(tài)性能指標(biāo)的定義。（以下按照重要順序依次闡述）

圖1 單位階躍響應(yīng)

調(diào)節(jié)時(shí)間 $t_s$ 指響應(yīng)到達(dá)并保持在終值的 $\pm 5\%$ 內(nèi)所需的最短時(shí)間
超調(diào)量 $\sigma\%$ 指響應(yīng)的最大偏離量與終值的百分比，即 $\sigma\%=\frac{\Delta h}{h(\infty)}\times 100\%$
峰值時(shí)間 $t_p$ 指響應(yīng)超過其終值到達(dá)第一個(gè)峰值所需要的時(shí)間
延遲時(shí)間 $t_d$ 指響應(yīng)曲線第一次到達(dá)其終值的一半所需要的時(shí)間
上升時(shí)間 $t_r$ 指響應(yīng)從終值的 $10\%$ 上升到終值的 $90\%$ 所需要的時(shí)間。上升時(shí)間越短，響應(yīng)速度越快。

穩(wěn)態(tài)性能
穩(wěn)態(tài)性能通常是在階躍信號(hào)、斜坡信號(hào)或者加速度信號(hào)下進(jìn)行測(cè)量和計(jì)算的。若系統(tǒng)時(shí)間趨于無(wú)窮大的時(shí)候，系統(tǒng)的輸出量不等于輸入量，則系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差。如果用數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)表示則更加清晰，即： $e(\infty)=\lim_{t\to \infty}e(t)=\lim_{t\to \infty}(c(t)-r(t))$ 。
??在上述性能指標(biāo)來(lái)看，通常峰值時(shí)間和上升時(shí)間是用來(lái)評(píng)價(jià)系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間的，超調(diào)量是評(píng)價(jià)系統(tǒng)的阻尼程度(后面再結(jié)合相關(guān)內(nèi)容一起解釋)，而穩(wěn)態(tài)誤差則是評(píng)價(jià)系統(tǒng)的控制精度。所以，這也剛好呼應(yīng)了控制系統(tǒng)最重要的三個(gè)字“穩(wěn)、準(zhǔn)、快”。

3. 控制系統(tǒng)時(shí)域分析

??結(jié)合上述內(nèi)容，可以明確控制系統(tǒng)的時(shí)域分析就是通過對(duì)某一穩(wěn)定的系統(tǒng)輸入典型信號(hào)（如階躍信號(hào)），通過判斷其隨時(shí)間變化的響應(yīng)過程中暫態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)，從而可以對(duì)不同系統(tǒng)的快速響應(yīng)和對(duì)輸入信號(hào)復(fù)刻的準(zhǔn)確性有一個(gè)理性的判斷。以下結(jié)合一個(gè)實(shí)際的物理系統(tǒng)，用時(shí)域分析法對(duì)其進(jìn)行分析。
??RC 串聯(lián)電路在電子電路中應(yīng)用廣泛，如在濾波電路中，可根據(jù)電容和電阻的參數(shù)設(shè)置，讓特定頻率范圍的信號(hào)通過或阻止某些頻率的信號(hào)，起到篩選信號(hào)的作用；還可作為積分電路，在模數(shù)轉(zhuǎn)換器中對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行積分運(yùn)算等。如圖2所示，為一個(gè)RC電路。

圖2 RC電路

假設(shè)電容的初始電壓為

0

，即

u_0(0)=0

。利用基爾霍夫定律，可以得到

U_i=RC\frac{dU_0}{dt}+U_0\tag{1}

此處的輸入信號(hào)

r(t)=U_i

，響應(yīng)信號(hào)

c(t)=U_0

，將上述方程寫成更習(xí)慣的微分方程的形式，可以得到：

\dot{c}(t)+\frac{1}{\tau}c(t)=\frac{1}{\tau}r(t),\tau=RC\tag{2}

如果單從微分方程求解的角度，可以得到對(duì)應(yīng)的解為

c(t)=r(t)(1-e^{\frac{t}{\tau}})\tag{3}

假設(shè)輸入信號(hào)為單位階躍信號(hào)，即

r(t)=1

，則對(duì)應(yīng)的階躍響應(yīng)為

c(t)=1-e^{\frac{t}{\tau}} \tag{4}

從階躍響應(yīng)的解析式可以看出，時(shí)間常數(shù)

\tau

會(huì)影響系統(tǒng)的響應(yīng)速度，同時(shí)當(dāng)

t\rightarrow \infty，c(t)=1

，則穩(wěn)態(tài)誤差

e(\infty)=0

。
??由于該系統(tǒng)滿足零初始條件，我們也可以從傳遞函數(shù)的角度來(lái)分析此系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，同時(shí)可以將微分方程和拉普拉斯變換結(jié)合起來(lái)，更方便理解不同的表示方式。于是，可以得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{1}{\tau s+1}\tag{5}

此時(shí)，單位階躍信號(hào)

\frac{1}{s}

的響應(yīng)為

C(s)=\frac{1}{s(\tau s+1)}=\frac{1}{s}-\frac{1}{ s+1/\tau}\tag{6}

同樣再經(jīng)過拉普拉斯逆變換可以得到時(shí)域形式的階躍響應(yīng)如(4)式。
??根據(jù)暫態(tài)性能指標(biāo)定義，一階系統(tǒng)的暫態(tài)性能指標(biāo)為

t_d=0.69\tau,t_r=2.2\tau, t_s=3\tau

，峰值時(shí)間和超調(diào)都不存在，于是可以求得對(duì)應(yīng)的性能指標(biāo)。
??為了更直觀地了解系統(tǒng)的響應(yīng)過程，可以利用matlab將該系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的階躍響應(yīng)曲線給繪制出來(lái)，如圖3所示。

%% 基于微分方程的解求解階躍響應(yīng)的曲線
clc;
clear;
% 定義電路參數(shù)
R = 1000; % 電阻，單位：歐姆
C = 0.000001; % 電容，單位：法拉
Ui = 1; % 輸入直流電壓，單位：伏特

% 定義時(shí)間范圍和時(shí)間步長(zhǎng)
t = 0:0.0001:0.01; % 時(shí)間從0到0.01秒，步長(zhǎng)0.0001秒

% 計(jì)算電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)
U0 = Ui*(1 - exp(-t/(R*C)));

% 繪制電容電壓隨時(shí)間變化的曲線
plot(t, U0 );
xlabel('時(shí)間 (s)');
ylabel('電容電壓 (V)');
title('RC串聯(lián)電路零狀態(tài)響應(yīng)');
grid on;

%% 基于傳遞函數(shù)求解階躍響應(yīng)的曲線
clc;
clear;
% 定義RC電路參數(shù)
R = 1000; % 電阻，單位：歐姆
C = 1e-6; % 電容，單位：法拉
tau = R * C; % 時(shí)間常數(shù)

% 定義傳遞函數(shù)
num = 1;
den = [tau, 1];
sys = tf(num, den);

% % 繪制階躍響應(yīng)曲線
stepplot(sys);
xlabel('時(shí)間 (s)');
ylabel('輸出電壓');
title('RC電路的階躍響應(yīng)');
grid on;

圖3 RC電路階躍響應(yīng)曲線

??從微分方程的解以及matlab仿真的角度都可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行時(shí)域分析，求得其暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)的性能指標(biāo)，從而可以更好地得到系統(tǒng)在不同輸出信號(hào)下的響應(yīng)情況。同時(shí)，這對(duì)控制率的設(shè)計(jì)和控制系統(tǒng)的校正也提供了一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)。所以，時(shí)域分析是為了分析一個(gè)穩(wěn)定的控制系統(tǒng)（穩(wěn)定性判定后續(xù)再解釋）在不同的輸入信號(hào)激勵(lì)下的響應(yīng)情況，從而幫助我們判斷其快速性和準(zhǔn)確性。

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控制那些事兒（三）：時(shí)域分析之時(shí)域到底在分析什么？

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1.時(shí)域分析法的由來(lái)

2.時(shí)域分析法原理

2.1典型輸入信號(hào)

2.2時(shí)域分析下的性能和指標(biāo)

3. 控制系統(tǒng)時(shí)域分析

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