學習數學為什么要學會怎樣解題？

我國頒布的《普通高中數學課程標準（實驗）》明確提出，數學課程的目標之一是提高數學的提出、分析和解決問題的能力；當今數學強國美國在《美國學校數學教育的原則與標準》中也把數學問題解決作為各年級數學課程的重要組成部分；國際數學管理委員會把解題能力列為十項基本技能的首位。數學大師單墫教授也曾這樣肯定的說：“學數學的目的，不是別的，就是為了學會解題”。而另一位數學大師G·波利亞也認為：“中學數學教學的首要任務就是加強解題的訓練”。

數學書上雖然有不少公式、法則、定義、定理，但這些都不需要死記硬背，而是要通過解題逐步地理解、掌握，只有通過解題才能更多、更好地掌握數學的內容、意義和方法。這里的“解題”不同于“題海戰(zhàn)術”，而是去解思路合理、見解獨到和有發(fā)現創(chuàng)造的題。

怎樣進行正確的思維？

雖然本文討論的數學中發(fā)現和發(fā)明的方法和規(guī)律，但是對于其他任何領域中怎樣進行正確思維都有明顯的指導作用。生活的過程其實也是解題的過程。

當我們試圖領會書中或者課堂中老師給出的題目解答時，是否想過：“這個解答看起來是可行的，似乎是正確的，但怎樣才能想到這樣一個解答呢？我自己如何才能想到或者發(fā)現這種方法呢？”我們不僅要盡力去理解這道或者那道問題的解答，而且要去理解這個解答的動機和步驟，并盡力向別人解釋這些動機和步驟。

解題的思維過程

由已知想性質，由結論想方法。

一、理解題目

解題之前我們必須理解題目，仔細審題。沒有經過仔細審題的解題毫無意義。問問自己：未知量是什么？已知數據是什么？條件是什么？條件是否充分？或者多余？或者矛盾？你有時候可以畫一張圖，引入適當的符合來幫助你更好地理解題目。

二、擬定方案

在擬定方案之前，你需要找出已知數據和未知量之間的聯(lián)系。如果實在找不到直接的聯(lián)系，試著去考慮輔助題目，試著回想一下你有沒有見過一道同樣或者相似的題目以一種稍有不同的形式出現。有沒有一道與它有關的題目？有沒有一條可能有用的定理？觀察未知量!盡量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的題目。有一道題和你的題目有關而且以前解過，你能利用它嗎？你能利用它的結果嗎？你能利用它的方法嗎？為了能夠應用它，是否應該引入某個輔助元素？你能以不同的方式重新敘述這道題目嗎？如果你不能解所提的題目，先嘗試去解某道有關的題目。你能否想到一道更容易著手的相關題目?一道更為普遍化的題目?一道得更為特殊化的題目?一道類似的題目?你能解出這道題目的一部分嗎?只保留條件的一部分，而丟掉其他部分，那么未知量可以確定到什么程度，它能怎樣變化?你能從已知數據中得出一些有用的東西嗎?你能想到其他合適的已知數據來確定該未知量嗎?你能改變未知量或已知數據，或者有必要的話，把兩者都改變，從而使新的未知量和新的已知數據彼此更接近嗎?你用到所有的已知數據了嗎?你用到全部的條件了嗎?你把題目中所有關鍵的概念都考慮到了嗎?

三、執(zhí)行方案

執(zhí)行你的解題方案，檢查每一個步驟。你能清除的看出這個步驟是正確的嗎?你能否證明它是正確的？

四、回顧

檢查已經得到的解答，你能檢驗這個結果嗎？你能檢驗這個論證嗎？你能以不同的方式推導這個結果嗎？你能一眼就看出來嗎？你能在別的題目中利用這個結果或這種方法嗎？

解題案例

已知數據是什么？

圓錐形容器高10m、上底半徑4m，水面高8m；水的密度1000kg/立方米，重力加速度9.8m/s*s。

未知量是什么？

將容器中的水全部從容器頂部抽出所做的功。

這是什么意思，你能用別的方式來表述嗎？

克服重力抽容器中水的力和該力在力的方向上通過位移的乘積。即

這時候可以畫一張圖，引入適當的符合來幫助我們更好地理解題目。如圖：

對了，現在A(x)是一個函數嗎？

是的，A(x)是在x處的水平截面面積，它隨水平截面半徑r而變化。

那么，我們自然而然的引入中間變量r?，F在，想想r跟x之間的關系，我們這一步的目的是為了找到A(x)與x的函數關系。

我們發(fā)現，隨著x離坐標原點越遠，即x越大，水平截面半徑r越小。

那么這里又有一個聯(lián)系了，聯(lián)系是什么呢？

當然，是相似三角形?；氐揭阎獢祿?，圓錐形容器高10m、上底半徑4m。

由相似三角形可知：

r/(10-x) = 4/10

即r=2*(10-x)/5

我們現在有了：

好了，現在我們把A(x)的表達式以及已知量帶入W得到：

后記

單墫教授曾說：“數學尖子就是解題能力強的同學，他們無非就是多做了一些題，掌握了一些解題方法，只要努力去做題，你也能成為班上的數學尖子”，而想要成為數學家并且有重大的數學的發(fā)現，更要重視平時的解題，因為平時的解題和數學發(fā)現之間，只有難易程度上的差別，在本質上是完全一樣的。

對于數學教師，如果他把分配給他的時間都用來讓學生操練一些常規(guī)運算，那么他就會扼殺他們的興趣阻礙他們的智力發(fā)展，從而錯失他的良機。相反地，如果他用和學生的知識相稱的題目來激起他們的好奇心，并用一些激勵性的問題去幫助他們解答題目，那么他就能培養(yǎng)學生對獨立思考的興趣，并教給他們某些方法。

同步自頭條號：航小北愛解題