古希臘哲學(xué)家芝諾是出了名的喜歡創(chuàng)制非常難解的謎題的人。他想出了一系列看似很有理、卻又明顯矛盾的情形，它們被稱為“芝諾悖論”。芝諾的系列悖論中最有名的一個是“阿喀琉斯和烏龜”。
“阿喀琉斯和烏龜”悖論說的是，英雄阿喀琉斯參加與一只烏龜?shù)拈L跑比賽。這不是一只普通烏龜，而是在擊敗了伊索（古希臘寓言作家）的兔子后洋洋自得的那只烏龜。為了公平起見，阿喀琉斯讓烏龜領(lǐng)先一步——比如1千米。比賽開始后，阿喀琉斯很快就到達了烏龜?shù)某霭l(fā)點。然而，此時烏龜已笨拙地前進了一段距離，例如1/10千米。阿喀琉斯又迅速跑完了這100米，但此刻烏龜又往前挪動了一小段距離——1/100千米……
芝諾悖論指出，由于烏龜總是領(lǐng)先阿喀琉斯一步——每當阿喀琉斯到達烏龜所在的上一個位置，烏龜總是又往前走了一段距離（盡管這段距離可能很短很短），所以阿喀琉斯永遠都追不上烏龜。雖然阿喀琉斯每次所跑的距離越來越短，但烏龜有無限段領(lǐng)先距離需要他跨越。這個距離用公式可表述為：1+1/10+1/100+1/1000+…10的無限次方分之一
根據(jù)芝諾所言，阿喀琉斯“不可能在有限時間內(nèi)跨越無限段的距離”。
直到19世紀，數(shù)學(xué)家才證明了芝諾悖論是錯的。隨著阿喀琉斯與烏龜之間的距離越來越短，阿喀琉斯追趕得也越來越快。事實上，阿喀琉斯與烏龜之間的距離最終會變得無限短，以至于他瞬間就跑過了烏龜。因此，他完全能趕上烏龜，輕易超越它。
那么，到什么位置時阿喀琉斯能追上烏龜呢？由于19世紀數(shù)學(xué)家們的工作，我們知道，對于任何介于0和1之間的數(shù)值n來說：1+n+n2 +n3 +…n的無限次方=1/（1-n）
對于芝諾悖論而言，取n=1/10，那么阿喀琉斯會在僅僅跑了1.11米之后就追上烏龜。
二分法與上面的悖論類似。假設(shè)一個人想要到達終點O，他必然要先到達中點A，但如果他想要到達A，他必須先到達起點與A點之間的中點B……以此類推，這個人想要達到某一點n，必須要先到達起點與這一點的中點m，因此他就困在這個二分的陷阱之中，永遠無法到達目的地。
