爐石傳說-究竟開多少包才能集齊巨龍降臨全卡

最近又回了爐石坑，正好趕上發(fā)布新版本，但是由于2年多沒玩落后了太多版本，這期間出了不少的卡牌，于是買了個(gè)預(yù)購100包追一下版本（因?yàn)楦F沒舍得再買了）。對(duì)于我這個(gè)收集玩家來說，還差了不少卡牌，于是就突然想計(jì)算下，究竟集齊卡牌需要開多少包。

卡牌統(tǒng)計(jì)

首先，得弄清爐石的開包機(jī)制是什么，因?yàn)闋t石卡牌是可以無限收集的，那么我猜想的抽取到同等品質(zhì)的卡牌就類似于投擲多面的均勻骰子，這樣在數(shù)量非常大的情況下，是滿足均勻分布的。
使用爐石盒子進(jìn)行了卡牌的統(tǒng)計(jì)后，發(fā)現(xiàn)無缺失卡牌，并且每張都有兩張以上，然后按照白卡抽到概率相同，模擬了白卡的統(tǒng)計(jì)直方圖，發(fā)現(xiàn)和盒子統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)基本一致。


爐石盒子統(tǒng)計(jì)
白卡直方分布圖

于是，問題就變成了卡牌收集問題，而卡牌收集問題其實(shí)類似如下問題：
1.拋多少次硬幣才能正反面各出現(xiàn)一次。
2.拋多少次骰子才能每個(gè)點(diǎn)數(shù)各出現(xiàn)一次。
3.優(yōu)惠券收集者問題：如果每個(gè)盒子都包含一個(gè)優(yōu)惠券，并且總共有n種不同類型的優(yōu)惠券，那么需要少盒子才能能購買到全部n個(gè)優(yōu)惠券？

在概率論經(jīng)典問題優(yōu)惠券收集者問題中，數(shù)學(xué)家們給出了求解：

設(shè)T為收集到所有N個(gè)優(yōu)惠券需要的次數(shù)，t_{i}為收集i ? 1 個(gè)優(yōu)惠券后收集第i個(gè)優(yōu)惠券的次數(shù)。將T和t_{i}視為隨機(jī)變量。觀察到收集新優(yōu)惠券的概率為 {\displaystyle p_{i}={\frac {n-i+1}{n}}}。因此， {\displaystyle t_{i}} 具有期望的幾何分布 {\displaystyle {\frac {1}{p_{i}}}}。通過期望的線性，我們有：

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (T)&=\operatorname {E} (t_{1})+\operatorname {E} (t_{2})+\cdots +\operatorname {E} (t_{n})={\frac {1}{p_{1}}}+{\frac {1}{p_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{p_{n}}}\\&={\frac {n}{n}}+{\frac {n}{n-1}}+\cdots +{\frac {n}{1}}\\&=n\cdot \left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+\cdots +{\frac {1}{n}}\right)\\&=n\cdot H_{n}.\end{aligned}}}

這里H_{n}是第N次諧波數(shù)。利用諧波數(shù)的漸近性，我們得到：

{\displaystyle \operatorname {E} (T)=N\cdot H_{n}=N\ln n+\gamma N+{\frac {1}{2}}+O(1/n)}

其中{\displaystyle \gamma \approx 0.5772156649}是歐拉-馬斯切羅尼常數(shù)。

當(dāng)然，爐石只有橙卡滿足式一，其余的卡牌我們都需要收集兩張。Donald J. Newman和Lawrence Shepp給出了優(yōu)惠券收集者問題中，收集全套優(yōu)惠券m份的推廣形式。令T_{m}為第一次收集每張優(yōu)惠券的m份，他們表明在這種情況下的期望可以滿足：

{E} (T_{m})=N(\ln N+(m-1)\ln \ln N+C_{m})+{\frac {1}{2}}+O(n)

其中C_{m} = \gamma - ln(m-1)!

在巨龍降臨全卡中，共有246張卡，其中
{\mathbf{表1-卡牌統(tǒng)計(jì)}}

普通 稀有 史詩 傳說
49*2 36*2 27*2 22+6(贈(zèng)卡)

在開卡包過程中，必有一張卡牌是稀有，其余卡牌根據(jù)概率出現(xiàn)，我們根據(jù)GAMEPEDIA網(wǎng)站開包數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，可以得到每種品質(zhì)的卡牌的平均出現(xiàn)概率，我認(rèn)為樣本量應(yīng)該是足夠的。

來自GAMEPEDIA的開包數(shù)據(jù)

去除2000（400包）以下的開包數(shù)據(jù)（可能有點(diǎn)少），計(jì)算各品質(zhì)平均出現(xiàn)概率如表2第一行所示。表3第二行是對(duì)其四舍五入得到一個(gè)近似概率，基本是我們?cè)跇颖玖孔銐虻那闆r下，每張卡出現(xiàn)品質(zhì)的概率。這也解釋了，一般情況下下（若臉不黑），40包（200張卡牌）一般是能開出來兩張傳說的，200 * 0.011 \approx 2 。

{\mathbf{表2-各品質(zhì)卡牌平均出現(xiàn)概率}}

普通 稀有 史詩 傳說
71.54% 22.89% 4.482% 1.092%
71.5% 22.9% 4.5% 1.1%

有了卡牌平均出現(xiàn)概率，就很好計(jì)算集齊每種品質(zhì)所需要的平均卡包數(shù)量了。通過計(jì)算期望我們可以得到平均抽多少張卡牌才能集齊該品質(zhì)的全卡(除橙卡外各兩張)。以白卡為例，平均需要抽到286張普通，才能使每張普通都有兩張，其余數(shù)據(jù)見表3

{\mathbf{表3-集齊各品質(zhì)卡牌期望}}

期望/質(zhì)量 普通 稀有 史詩 傳說
卡牌數(shù)量 286.06 196.23 137.27 106.02

根據(jù)集齊卡牌數(shù)量的期望，我們通過卡牌出現(xiàn)的概率，可以計(jì)算出總共多少張卡牌能達(dá)到期望的數(shù)量。如普通卡牌，可以得到 N = \frac{286.0677}{0.715} = 400.0946，計(jì)算結(jié)果如表4。

{\mathbf{表4-集齊各品質(zhì)卡牌需要卡包數(shù)量}}

全卡期望/質(zhì)量 普通 稀有 史詩 傳說
卡牌數(shù)量 400.09 856.92 3,050.53 7,381.97
卡包數(shù)量 80.01 171.38 610.10 1,476.39

很顯然，若不用粉塵的情況下，平均需要開1,476包才能得到全部的卡牌。

根據(jù)得到全卡史詩的期望，平均需要610包，共3050張卡牌，根據(jù)表2各品質(zhì)卡牌出現(xiàn)概率，計(jì)算出分解粉塵期望，如表5所示：
{\mathbf{表5-關(guān)于粉塵}}

粉塵/質(zhì)量 普通 稀有 史詩 傳說 總計(jì)
全卡合成所需粉塵 3,920 7,200 21,600 35,200 67,920
(171包)多余卡牌分解粉塵 2,573.49 2,484.69 ？ ？ >5,058.18
(610包)多余卡牌分解粉塵 10,415.67 12,531.46 33,309.67 ？ >56,256.81

可以看出，610包開完后，可以合成全部橙卡，還多出2W多粉塵。那么區(qū)間大致縮小在171~610包即可獲得巨龍降臨全卡。

根據(jù)hearthsim.info繪制出的有效粉塵期望和分解粉塵期望圖，可以看出，在150包之后，平均分解粉塵期望在55以上，獲得期望價(jià)值粉塵大概平均為165（猜的）。

粉塵期望

那么假設(shè)171包中，史詩開出171 * 5* 0.045 \approx 38 張，且都沒有超過2張，橙卡為171 *5 * 0.011 \approx 9張，且無重復(fù) ，接下來將剩余史詩和橙卡所需的粉塵加起來，除以期望價(jià)值粉塵，大概為165包（理想情況，應(yīng)該更多）。這種情況下，預(yù)計(jì)336包（165+171）能利用粉塵集齊全部卡牌。

假設(shè)卡牌全部收集到后，每包卡牌分解粉塵期望值為:
5 * (0.715 * 5 +0.229 * 10 + 0.045 * 100 + 0.011 * 400) = 73.825
觀察粉塵期望圖中的分解曲線，發(fā)現(xiàn)基本在350~500包中，期望粉塵大致擬合在一條直線上大概在70-80，說明卡牌基本集齊了。

結(jié)論：預(yù)計(jì)在400包內(nèi)，利用分解粉塵，可集齊巨龍降臨全部卡牌。

參考

[1]Newman, Donald J.; Shepp, Lawrence (1960), "The double dixie cup problem", American Mathematical Monthly, 67: 58–61, doi:10.2307/2308930
[2]https://hearthstone.gamepedia.com/Card_pack_statistics
[3]https://en.wikipedia.org/wiki/Coupon_collector's_problem
[4]https://hearthsim.info/blog/the-grand-tournament-card-pack-opening

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