出自2019全國(guó)I卷
答案就在后面，同學(xué)們可以先動(dòng)手算一算
“人工智能先驅(qū)” 吳文俊
解析：
線面平行判定定理：1.平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。
2.平面外一條直線與此平面的垂線垂直，則這條直線與此平面平行。
第一小題由題目給出的直接條件，直棱柱，三個(gè)中點(diǎn)，E,M,N，很容易就能構(gòu)造出一個(gè)平行四邊形，結(jié)合線面平行判定定理1，可得MN//平面C1ED1.
第二小題用的向量法，建立直角坐標(biāo)系進(jìn)行向量運(yùn)算，需熟記線面角，線面余弦值，線面正弦值的向量公式和算法步驟。
出自2019全國(guó)I卷
15.甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球比賽，采取七場(chǎng)四勝（當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束）。根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主科主”。設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，甲隊(duì)以4：1獲勝的概率是( ) 。
答案就在后面，同學(xué)們可以先動(dòng)手算一算
“數(shù)學(xué)大滿貫得主”邱成桐
P=P1X0.6+P2X0.6=(P1+P2)X0.6=0.18
題目中說(shuō)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，可知其中有概率公式中的分步乘法。
出自2019全國(guó)I卷
3.已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,則
A. a<b<c
B. a<c<b
C. c<a<b
D. b<c<a
答案就在后面，請(qǐng)同學(xué)們先動(dòng)手算一算
“中國(guó)數(shù)學(xué)之王”蘇步青
解析：a=log20.2<0, 單調(diào)遞增；0<c=0.20.3<1,單調(diào)遞減； b=20.2>1單調(diào)遞增。
所以 a<c<b，選 b
對(duì)于這一題，同學(xué)如果比較熟練地掌握了指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像及其含義，則不難做此題。
上一期我們聊到了印度的天才數(shù)學(xué)家拉馬努金，這一期我們就來(lái)聊聊教導(dǎo)這位數(shù)學(xué)天才的導(dǎo)師——英國(guó)著名數(shù)學(xué)大師Godfrey Harold，哈代。
年少時(shí)的哈代
生平簡(jiǎn)述
哈代，于1877年2月7日生于英國(guó)克蘭利，1947年12月1日卒于劍橋大學(xué)。哈代的父親I．哈代(Hardy)是克蘭利中學(xué)的教師，母親索菲婭(Sophia)是林肯師范學(xué)院的教師，他還有一個(gè)妹妹．哈代的父母很有文化素養(yǎng)，也極重視數(shù)學(xué)，因經(jīng)濟(jì)拮據(jù)未能上大學(xué)，卻為兒女提供了良好的教育。13歲進(jìn)入以培養(yǎng)數(shù)學(xué)家著稱的溫切斯特學(xué)院。1896年去劍橋三一學(xué)院，并于1900年在劍橋獲得一個(gè)職位。同年得史密斯獎(jiǎng)。以后，在英國(guó)牛津大學(xué)、劍橋大學(xué)任教授。他和J.E.李特爾伍德長(zhǎng)期進(jìn)行合作，寫出了近百篇論文，在丟番圖逼近，堆壘數(shù)論、黎曼ξ函數(shù)、三角級(jí)數(shù)、不等式、級(jí)數(shù)與積分等領(lǐng)域作出了很大貢獻(xiàn)，同時(shí)是回歸數(shù)現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)者。在20世紀(jì)上半葉建立了具有世界水平的英國(guó)分析學(xué)派。
求學(xué)路程
13歲時(shí)，他獲得獎(jiǎng)學(xué)金進(jìn)入當(dāng)時(shí)以數(shù)學(xué)家搖籃而著稱的溫切斯特(Winches-ter)學(xué)院學(xué)習(xí)．1896年又獲入學(xué)獎(jiǎng)學(xué)金進(jìn)入劍橋大學(xué)三一學(xué)院繼續(xù)深造，他的數(shù)學(xué)生涯從此與劍橋緊密聯(lián)系起來(lái)。哈代很早就養(yǎng)成喜歡自由提問(wèn)和探索的習(xí)慣，在劍橋開(kāi)始學(xué)習(xí)時(shí)，他對(duì)于機(jī)械的授課模式不滿，后來(lái)幸運(yùn)地被允許轉(zhuǎn)聽(tīng)?wèi)?yīng)用數(shù)學(xué)家A．E．H．拉弗(Love)教授的課。這對(duì)于哈代后來(lái)成長(zhǎng)為一名數(shù)學(xué)家至關(guān)重要．他在著作(文獻(xiàn)[3]，第29節(jié))中生動(dòng)地寫道：“第一個(gè)使我撥云見(jiàn)日的是拉弗教授，他教了我?guī)讉€(gè)學(xué)期，使我對(duì)分析有了第一個(gè)嚴(yán)肅的概念。但最使我感激的是他建議我閱讀M．E．C．若爾當(dāng)(Jordan)的名著《分析教程》(Cours d’analyse)．我永遠(yuǎn)不會(huì)忘記我讀那本杰作時(shí)的震驚，這是我這代數(shù)學(xué)家受到的第一個(gè)啟迪，讀這本書(shū)時(shí)我才第一次認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)真正意味著什么?！?/p>
謙遜的合作者
哈代長(zhǎng)李特爾伍德8歲，他們結(jié)識(shí)于1904年，在長(zhǎng)達(dá)35年的合作中，聯(lián)名發(fā)表了約100篇論文，其中包括丟番圖逼近、堆壘數(shù)論、數(shù)的積性理論、黎曼ξ函數(shù)、不等式、一般積分、三角級(jí)數(shù)等廣泛的內(nèi)容。哈代-李特爾伍德極大函數(shù)，哈代-李特爾伍德圓法，哈代-李特爾伍德定理等聯(lián)系著二人名字的數(shù)學(xué)成果正是他們親密合作的寫照．在他們集中合作的1920—1931年間，哈代執(zhí)教于牛津而李特爾伍德執(zhí)教于劍橋，他們通過(guò)學(xué)院的郵政來(lái)郵寄數(shù)學(xué)信件，即使二人同在三一學(xué)院時(shí)也是如此，并且他們達(dá)成一種默契：當(dāng)互相收到信件時(shí)，先不讀解法，而是要獨(dú)立解決其中的問(wèn)題，直到取得一致意見(jiàn)，最后由哈代定稿。當(dāng)時(shí)，一些不了解內(nèi)情的國(guó)外數(shù)學(xué)家認(rèn)為李特爾伍德根本不存在，只是哈代虛構(gòu)的一個(gè)筆名．事實(shí)上，李特爾伍德本身就是一個(gè)出色的數(shù)學(xué)家。通過(guò)這種密切的學(xué)術(shù)合作，二人互相切磋促進(jìn)，共同建立了20世紀(jì)上半葉具有世界水平的英國(guó)劍橋分析學(xué)派。
哈代為人謙和，經(jīng)常強(qiáng)調(diào)合作者的重要性而對(duì)自己輕描淡寫。他曾說(shuō)過(guò)正是得益于與李特爾伍德和拉馬努金的平等合作才達(dá)到了他不同尋常的大器晚成。
浪漫師生情
哈代稱自己對(duì)拉馬努金的發(fā)現(xiàn)是他一生中的一段浪漫的插曲．拉馬努金出生于印度的馬德拉斯(Madras)，幼年即顯示出數(shù)學(xué)的興趣和才能，但因生活貧困，要不斷為生計(jì)奔波，只能靠自學(xué)汲取數(shù)學(xué)知識(shí)。1913年初他給哈代寄了一封信，信中陳述了他對(duì)素?cái)?shù)分布的研究并列有120條公式，涉及數(shù)學(xué)中多個(gè)領(lǐng)域．這些公式大部分已被別人證明，有些看起來(lái)容易，實(shí)際上證明起來(lái)很困難 [1] 。特別是后來(lái)被L．J．羅杰斯(Rogers)和G．N．沃森(Watson)證明的三個(gè)公式完全難倒了哈代。哈代確信拉馬努金是一位數(shù)學(xué)天才，于是邀請(qǐng)他到英國(guó)，但作為一個(gè)婆羅門教的信徒，拉馬努金對(duì)離開(kāi)印度感到躊躇。哈代繼續(xù)力勸拉馬努金到劍橋，并經(jīng)多方努力為他安排了獎(jiǎng)學(xué)金，1914年4月，拉馬努金來(lái)到英國(guó)。哈代花了很多心血教授拉馬努金現(xiàn)代歐洲數(shù)學(xué)知識(shí)，他發(fā)現(xiàn)拉馬努金知識(shí)的局限竟然與它的深?yuàn)W同樣令人吃驚。拉馬努金對(duì)于證明僅有一種模糊不清的概念，對(duì)于變量的增量、柯西定理根本不熟悉，但是對(duì)于數(shù)值和組合方面的事實(shí)，連分?jǐn)?shù)、發(fā)散級(jí)數(shù)及積分、數(shù)的分拆、黎曼ξ函數(shù)和各種特殊級(jí)數(shù)卻有深度的理解．他有很強(qiáng)的直覺(jué)和推理能力，其工作和思維方式多具挑戰(zhàn)性。在哈代和李特爾伍德等人的幫助下，拉馬努金進(jìn)步很快，在素?cái)?shù)分布、堆壘數(shù)論、廣義超幾何級(jí)數(shù)、橢圓函數(shù)、發(fā)散級(jí)數(shù)等領(lǐng)域取得了很多成果．
1919年2月拉馬努金回到了印度，次年4月去世，年僅33歲．哈代對(duì)這位印度數(shù)學(xué)奇才的英年早逝深感痛惜。哈代和拉馬努金這一段交往也長(zhǎng)期被數(shù)學(xué)界傳奇。
在這里分享一則迭事，也是一個(gè)廣為流傳的小故事：哈代有次在倫敦坐出租車去看望拉馬努金。在與拉馬努金的閑談中提及他是乘1729這個(gè)車牌號(hào)的出租車來(lái)醫(yī)院的：“這是一個(gè)無(wú)聊的數(shù)字，但愿它不是一個(gè)兇兆。”“不，”拉馬努金說(shuō)，“這是一個(gè)非常有趣的數(shù)字。我能用兩種方法把它表示成兩個(gè)立方之和：1729=93+103=13+123。”（事實(shí)上，1729是滿足這個(gè)性質(zhì)的最小的自然數(shù)。）后來(lái)，哈代曾興致勃勃地講這個(gè)故事的尾聲：“自然，我就問(wèn)他是否知道對(duì)應(yīng)于4次方的這樣一個(gè)問(wèn)題的答案。他想了一會(huì)，說(shuō)第一個(gè)這樣的數(shù)很大，是635318657?！?/b>
李特爾伍德聽(tīng)到這宗軼聞時(shí)感嘆地說(shuō)：“每個(gè)正整數(shù)都是拉馬努金的朋友?！焙髞?lái)1729就被稱為哈代-拉馬努金常數(shù)，或出租車數(shù)、的士數(shù)。
如果同學(xué)們對(duì)于哈代與拉馬努金這一對(duì)師生了解更多，可以去看一下電影《知者無(wú)涯》。
電影知者無(wú)涯劇照
最后再分享一本哈代的小書(shū)《一個(gè)數(shù)學(xué)家的辯白》，里面詳細(xì)的闡述了哈代本人對(duì)數(shù)學(xué)的看法，有興趣的同學(xué)可以去閱讀一番。
