2.3 素理想和極大理想

  1. 設(shè) F 是一個代數(shù)封閉域(即 F[x] 中每一個不可約多項式都是一次多項式), 求 F[x] 的全部素理想。
    【解答】 F[x]中的每個理想都是主理想，其中非(0)的主理想可以有首1的多項式生成，并且我們知道如果p(x)是次數(shù)大于一的多項式，我們有結(jié)論：

(p(x))是素理想\Longleftrightarrow p(x)是不可約多項式，因此F(x)的全部素理想包括:\{0\}和(x-c)其中c \in F

  1. 設(shè) R 是有單位元 1(\neq 0) 的交換環(huán), R_1 是 R 的一個子環(huán), 并且 R_1 與 R 有相同的單位元。設(shè) P 是 R 的一個素理想, 證明：P \cap R_1 是 R_1 的一個素理想。
    【解答】①首先很好驗證P \cap R_1是R_1的一個理想。
    ②接下來任取ab\in R_1,如果ab \in P，于是一定有a \in P或者b \in P，也就是說必有a \in P\cap R_1或者b \in P\cap R_2.這說明P \cap R_1是R_1的一個素理想。

  2. 求 \mathbb{Z}/(30) 的全部素理想。
    【解答】我們知道\mathbb{Z}的每個理想都是由一個非負(fù)整數(shù)生成的主理想。所以\mathbb{Z}/(30)所有的理想可以寫成(k)/(30)且滿足(30)\subseteq (k)也就是說k整除30。
    并且(k)/(30)是\mathbb{Z}/(30)的素理想當(dāng)且僅當(dāng)(Z/(30))/((k)/(30)) \cong Z/(k)是整環(huán)。所以k必須是素數(shù)，
    所以\mathbb{Z}/(30)的全部素理想就是(2)/(30),(3)/(30),(5)/(30)

  3. 設(shè) m = p_1^{r_1} p_2^{r_2} \cdots p_s^{r_s}，其中 p_1, p_2, \cdots, p_s 是兩兩不等的素數(shù)，r_i \geq 0, i = 1, 2, \cdots, s。求 \mathbb{Z}/(m) 的全部素理想。
    【解答】和第三題同樣的思路我們可以得到他的所有素理想形如：(p_i)/(m)

  4. 設(shè) R 是有單位元 1(\neq 0) 的交換環(huán), 證明：R 的所有素理想的交等于 R 的冪零根 \text{rad}(0)。
    【解答】證明雙包含關(guān)系。
    ①先假設(shè)a^n=0 \in P其中P為R的一個素理想，假設(shè)r是使得a^r \in P的最小的整數(shù)，于是a^r =a a^{r-1}\in P
    ，由此推出了a\in P或者a^{r-1}\in P矛盾，因此r=1，所以a屬于所有的素理想。
    ②假設(shè)b不是冪零元，

  1. 設(shè) m = p_1^{r_1} p_2^{r_2} \cdots p_s^{r_s}，其中 p_1, p_2, \cdots, p_s 是兩兩不等的素數(shù)，r_i \geq 0, i = 1, 2, \cdots, s. 證明：\mathbb{Z}/(m) 的冪零根等于 (p_1 p_2 \cdots p_s)/(m)。

  2. 求 \mathbb{Z}_{12} 的所有冪零元。
    【解答】根據(jù)第六題的結(jié)論12 = 2^2 \times 3
    所以Z_12的冪零根只有\overline{0}和\overline{2\times 3} = \overline{6}

  3. 設(shè) R 是有單位元 e(\neq 0) 的環(huán), 令 \mathbb{Z}e := \{ ne \mid n \in \mathbb{Z} \}。
    (1) 證明：\mathbb{Z}e 是 R 的一個子環(huán), 且有環(huán)同構(gòu) \mathbb{Z}/(m) \cong \mathbb{Z}e，其中 m 是某一個非負(fù)整數(shù), 我們把 m 叫做環(huán) R 的特征。
    【證明】先用減法和乘法封閉來說明是一個子環(huán)，
    隨后構(gòu)造同構(gòu)映射\sigma: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}e, n \to ne.
    這是一個滿同態(tài)，根據(jù)同態(tài)基本定理\mathbb{Z}/ker \sigma \cong \mathbb{Z}e,其中ker \sigma是由某一個非負(fù)整數(shù)生成的主理想。
    (2) 證明：如果 R 是整環(huán), 那么 R 的特征為 0 或者為一個素數(shù)。

【證明】如果R是整環(huán)，那么\mathbb{Z}e也是整環(huán)，也就是\mathbb{Z}/(m)是整環(huán)，從而(m)是素理想，也就是說m是素數(shù)。

  1. 設(shè) R 是有單位元 1(\neq 0) 的交換環(huán), 證明：(0) 是 R 的極大理想當(dāng)且僅當(dāng) R 是一個域。
    【解答】顯然這說明R中包含0的理想只有(o)和R，這說明他是一個域。

  2. 設(shè) R 是有單位元 1(\neq 0) 的交換環(huán), 證明：R 的極大理想一定是素理想。
    【解答】 假設(shè)M是R的一個極大理想，并且M\neq R就有R/M是域。所以他是一個整環(huán)，從而M是R的素理想。

  3. 設(shè) R 是有單位元 1(\neq 0) 的交換環(huán), 舉例說明：R 的素理想不一定是極大理想。
    【解答】考慮整系數(shù)一元多項式環(huán)\mathbb{Z}(x)中，考慮x的生成理想(x)它是一個素理想，但不是極大理想。

  4. 設(shè) R 是偶數(shù)環(huán) 2\mathbb{Z}，證明：4\mathbb{Z} 是 R 的一個極大理想, 但是 R/4\mathbb{Z} 不是域。

【解答】①4\mathbb{Z}對減法乘法封閉，且具有左右吸收性，它是2\mathbb{Z}的一個理想。
②現(xiàn)在假設(shè)I為包含但不等于4\mathbb{Z}的一個理想，它里面必有元素4k+2 = m,于是2 = m -4k \in I。進一步推出I = 2\mathbb{Z}這說明Z是R的極大理想。

③ (2 + 4\mathbb{Z})(2 + 4\mathbb{Z}) = 4\mathbb{Z}所以2+4\mathbb{Z}為非零的零因子，從而R/4\mathbb{Z}不是域。

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