今天談的是一道中考題解答的前前后后。出自今年某市中考選擇題最后一題，叫選擇題的壓軸題。乍一看到這題，立即意識到怎么出這么道簡單問題？從網(wǎng)傳學(xué)生記憶的這道中考題，才發(fā)覺不好玩。直到暑期業(yè)務(wù)培訓(xùn)，這半個多月里，對這題感覺好像迷迷瞪瞪的，沒有弄明白這題的分析思路與解答方法。這道題看上去很眼熟，題圖也不復(fù)雜，理應(yīng)不會成為棘手壓軸題。為什么卻困擾了我一段時間呢？看了得好好琢磨琢磨。

這題說的是，直角三角形ABC的一內(nèi)角A是30度，角B是直角。它所對的邊BC是2，直角邊AB的中點(diǎn)記作D，斜邊AC上有一點(diǎn)E，且AD：AB=DE：BC，請你求一求AE的長。相信不少同學(xué)和老師看了之后，認(rèn)為似曾相識，有種簡單感覺，但是做起來又猶豫不決。這個選擇題給四個選項(xiàng)，兩單個答案，兩雙個答案。具有迷惑性，究竟選哪個呢？第一個顯然不能選，無論從哪個角度都難求；選第二個答案2，又擔(dān)心還有別的解答嗎？可是另外答案又不可能存在。第三個第四選項(xiàng)呢？都是兩個答案，都有一個確定了的答案，一時拿不定主意。那么這道題究竟讓人迷惑在哪里呢？現(xiàn)在耐心細(xì)致地探究一下。

從圖形上來看，有三角形ADE相似于ABC，易得AE=2。如果AC上還有一點(diǎn)E，還有解的話，AD：AB=DE：BC，不成立，三角形ADE相似于ABC到了三角形難以成立。

誰又給你說的三角形ADE相似于ABC。自以為是，思維定勢干擾的結(jié)果。看著相似不中，必須嚴(yán)格推演。先看三角形ADE和三角形ABC相似證明一番。反證法來做。如何嚴(yán)謹(jǐn)說明兩三角形相似。根據(jù)相似三角形判定定理，兩組對應(yīng)邊和他們的夾角成比例，這兩個三角形相似。條件中已經(jīng)給了對應(yīng)邊成比例，不過不知道對應(yīng)角相等不。所以直接證明很困難，間接來證。實(shí)際上直接證明三角形相似判定條件是沒有用的。就這么一條，貌似行得通，實(shí)際行不通，就像全等三角形的兩組對應(yīng)邊和其中一組對應(yīng)邊的所對組對應(yīng)角相等，兩三角形全等。沒有邊邊角這樣的判定條件。最多看到一個答案，需要我們耐心尋找另一個答案，經(jīng)過嚴(yán)格推理，理論支撐，才算搞得明白，就容易產(chǎn)生接地氣的運(yùn)用效果。圖上給出了三角形中位線母題模型，幾何直觀告訴我們：毫無疑問兩三角形相似（嚴(yán)謹(jǐn)證明在后面）；如果在AC邊上再找一點(diǎn)構(gòu)成三角形ADE，和三角形ACB或ABC相似難上加難，長得不像，幾何直觀告訴我們不存在相似關(guān)系，也無法得到對應(yīng)線段成比例，那么第二種情形不存在，答案也莫須有了。所以選B?？墒窃趺床焕Щ?？擔(dān)心有第二個答案，其實(shí)不成立不存在，可是選項(xiàng)里明明給了有一題雙解答案兩個啊。

其實(shí)是自作多情、隨意增加條件惹得禍。這道題和三角形相似有聯(lián)系，又沒有聯(lián)系。像第一種情況，看上去相似，但是你還沒有充分的理由來說明他們相似。三角形ADE和三角形ABC，一對公共角，一組對邊和一組臨邊成比例，即DE與BC的比等于AD與AB的比，能說明兩三角形相似嗎？沒有這種判定定理。必須嚴(yán)格推理表達(dá)證明。從圖上看出來他們是相似關(guān)系，是沒有說服力的。這道可曾相識的問題，實(shí)質(zhì)和相似沒有必然聯(lián)系。那么這種情況下，怎么得到第二個答案AE=2呢？這題結(jié)合條件，直接代入計算求值，DE=1后，怎么說明DE ? BC是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)。直接證明困難，間接證明起來。取AC中點(diǎn)E'，連接DE'。根據(jù)三角形中位線性質(zhì)可得DE '? BC，DE'為1。過BC外一點(diǎn)D有且僅有一條直線與已知直線BC平行，即DE '平行于BC。三角形DEE'中，DE=DE'=1，以D為圓心，以DE為半徑畫弧，分別交AC于E、E''。一個與E'重合，一個不重合。重合理由兩條線段端點(diǎn)重合，線段長又相等，方向一致，另一組端點(diǎn)也重合。這時DE ? BC，三角形ADE相似于ABC，AD為2。另一種情形，E點(diǎn)與E'不重合，結(jié)果三角形ADE不相似于ABC，但是不妨礙計算AD長。在第一種情形下，三角形AEE''構(gòu)成特殊三角形等邊三角形，你能說明其中道理。原來如此，由第一種情形可知，角AED是60度，又因?yàn)镈E=DE''，所以，三角形DEE''是等邊三角形，邊長是1，AE為1了。第二種情形不要考慮三角形相似關(guān)系了。不要受這個三角形ADE是一個鈍角三角形，而ABC是直角三角形，所以沒有相似的可能等因素影響。這時跟相似沒有半毛錢關(guān)系。

所以題圖最大陷阱是引導(dǎo)你找三角形相似這個路子上去。嚴(yán)謹(jǐn)說明這題有缺陷。誤導(dǎo)人從圖形直觀上來判斷，是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，也是不科學(xué)的。應(yīng)該不給圖，讓人直接畫圖，訓(xùn)練看文想圖，全面真實(shí)地發(fā)展邏輯思維與嚴(yán)謹(jǐn)批判性思維，效果更好。這里圖文不嚴(yán)謹(jǐn)是本題的缺陷。“如圖了，答案就確定了。變化了的點(diǎn)一定說明，如E為動點(diǎn)”。

這道題歷經(jīng)半個多月終于想明白了，那么給我們的啟發(fā)是什么呢？在學(xué)習(xí)新知理解內(nèi)涵時，要以練促思，解決疑難問題時，一定要弄清楚條件和問題的含義，特別是知識點(diǎn)的來龍去脈，一定要理清楚，不可死記硬背。那樣的話，到關(guān)鍵時候會束手無策。同時，喜望我們教師不能急于求成，一定要講與做實(shí)驗(yàn)密切結(jié)合，思辨與變式練習(xí)相輔相成。讓學(xué)生體味品味成功學(xué)習(xí)的樂趣。第二，獨(dú)立思考，深入思考不是一蹴而就的，一定要堅持，一定要養(yǎng)成習(xí)慣，一定要有意思，下決心把問題想明白，弄清楚的不竭動力。才能培養(yǎng)獨(dú)立思考能力，培養(yǎng)批判精神。從而發(fā)展我們的核心素養(yǎng)。第三，做好實(shí)操練習(xí)。一驗(yàn)證知識深入理解，二練出導(dǎo)出問題和求知欲。想了馬上做，一定要算起來，解決問題，弄并且經(jīng)常的復(fù)習(xí)思考。